1.总体与随机样本什么是统计量？>令Xn=（Xi，…,Xn）为来自某一总体，样本容量为n的随机样本。统计量T(Xn）= T(Xi,,Xn）是随机样本Xn的实值或向量值函数。>函数T(X1，,Xn）是从n维样本空间Xn到低维欧氏空间的一个映射。统计量T（X）不包含任何未知参数，它完全是随机样本X的函数。给定任何一个数据集xn，可获得统计量T（Xn）的一个实数值或向量值。>统计量T(Xn）可用于有效刻画数据的某些特征（如最大值、最小值、中位数、均值、标准差等），估计未知参数值，进行参数假设检验等。概率论与统计学11
概率论与统计学 ➢ 令 𝑋 𝑛 = (𝑋1, . ,𝑋𝑛) 为来自某一总体，样本容量为 𝑛 的随机样本。统计 量 𝑇 𝑋 𝑛 = 𝑇(𝑋1, . ,𝑋𝑛) 是随机样本 𝑋 𝑛 的实值或向量值函数。 ➢ 函数 𝑇(𝑋1, . ,𝑋𝑛) 是从 𝑛 维样本空间 𝑋 𝑛 到低维欧氏空间的一个映射。 统计量 𝑇 𝑋 𝑛 不包含任何未知参数，它完全是随机样本 𝑋 𝑛 的函数。给 定任何一个数据集 𝑥 𝑛 ，可获得统计量 𝑇 𝑋 𝑛 的一个实数值或向量值。 ➢ 统计量 𝑇 𝑋 𝑛 可用于有效刻画数据的某些特征 (如最大值、最小值、中 位数、均值、标准差等)，估计未知参数值，进行参数假设检验等。 11 1. 总体与随机样本 什么是统计量？
1.总体与随机样本例1：[样本均值]>令Xn=（X1,,Xn）为一个随机样本，则统计量样本均值Xn==Zn=1Xi因为X1，,Xn是随机变量，故Xn也是随机变量。>问题：(i) E(Xn) = ?(ii) var(Xn) = ?(iii）Xn～概率分布（抽样分布）？概率论与统计学12
概率论与统计学 例1：[样本均值] ➢ 令 𝑋 𝑛 = (𝑋1, . , 𝑋𝑛) 为一个随机样本，则统计量样本均值 𝑋ത 𝑛 = 1 𝑛 σ𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖 。 因为 𝑋1, . , 𝑋𝑛 是随机变量，故 𝑋ത 𝑛 也是随机变量。 ➢ 问题： （i） 𝐸(𝑋ത 𝑛) = ？ （ii）𝑣𝑎𝑟(𝑋ത 𝑛) = ？ （iii） 𝑋ത 𝑛 ~概率分布（抽样分布）？ 12 1. 总体与随机样本
02样本均值的抽样分布概率论与统计学13
概率论与统计学 02 样本均值的抽样分布 13
2.样本均值的抽样分布定理：E（Xn）=H>假设X1,Xn为具有相同总体均值μ的n个同分布随机变量序列，则对所有 n ≥ 1,E(区n) = μ, 且偏差(Bias)为 E(Xn)-μ>证明E(Xn)= n=1E(Xi)= -1=μ概率论与统计学14
概率论与统计学 2. 样本均值的抽样分布 ➢ 假设 𝑋1, . , 𝑋𝑛 为具有相同总体均值 𝜇 的 𝑛 个同分布随机变量序列，则 对所有 𝑛 ≥ 1，𝐸(𝑋ത 𝑛) = 𝜇, 且偏差 (Bias) 为 𝐸(𝑋ത 𝑛) − 𝜇。 ➢ 证明: 𝐸(𝑋ത 𝑛)= 1 𝑛 σ𝑖=1 𝑛 𝐸(𝑋𝑖)= 1 𝑛 σ𝑖=1 𝑛 𝜇=𝜇 14 定理 (i): 𝑬 𝑿ഥ𝒏 = 𝝁, ∀ 𝒏
2.样本均值的抽样分布定理 (): var(Xn) = 2>假设Xn是来自均值为 μ，方差为2的IID随机样本。则对所有n≥1,var(Xn) =>x，的抽样分布在不同样本容量下都以总体均值为中心（即E(n）=μ)，且其分散化程度随样本容量 n 的不断增加而减小(即 var(区n)=→ 0)> var(Xn) =E(Xn - E(Xn))2= E(Xn -μ)2=→ 0,as n → 0 ,因 此 ,Xn → μ,as n → o0概率论与统计学15
概率论与统计学 2. 样本均值的抽样分布 ➢ 假设 𝑋 𝑛 是来自均值为 𝜇，方差为 𝜎 2 的 IID 随机样本。则对所有 𝑛 ≥ 1， 𝑣𝑎𝑟 𝑋ത 𝑛 = 𝜎 2 𝑛 ➢ 𝑋ത 𝑛 的抽样分布在不同样本容量下都以总体均值为中心 (即 𝐸(𝑋ത 𝑛) = 𝜇)， 且其分散化程度随样本容量 𝑛 的不断增加而減小 (即 𝑣𝑎𝑟 𝑋ത 𝑛 = 𝜎 2 𝑛 → 0) ➢ 𝑣𝑎𝑟 𝑋ത 𝑛 = 𝐸(𝑋ത 𝑛 − 𝐸 𝑋ത 𝑛 ) 2= 𝐸(𝑋ത 𝑛 − 𝜇) 2= 𝜎 2 𝑛 → 0, 𝑎𝑠 𝑛 → ∞ ， 因 此 ， 𝑋ത 𝑛 → 𝜇, 𝑎𝑠 𝑛 → ∞ 15 定理 (ii): 𝒗𝒂𝒓 𝑿ഥ𝒏 = 𝝈 𝟐 𝒏