第二章立体 2.1学习要求 (1)理解并掌握平面立体上点线的画法。 (2)理解并堂握曲面立体上点线的画法」 (3)理解并掌握常见的平面立体和常见曲面立体的基本视图，根据立体投影能够想象出立 体的空间形状。并能根据己有视图补画其他视图。 (4)理解并掌握截交线和相贯线的画法。 2.2内容简述 在学习了点线面投影的基础上，进一步研究基本几何形体的投影特点。本章的主要内容 包括平面立体上点线的画法、曲面立体上点线的画法、常见平面立体的三视图、常见曲面立 体的三视图、截交线的画法以及相贯线的画法。本章所指立体主要是平面立体（立方体、棱 柱、棱锥等)和曲面立体（圆柱、圆锥、球等）。通过本章的学习为后续的组合体部分的学 习奠定基础。 2.2.1平面立体 (1)立方体、棱柱、棱锥等的基本视图画法。 (2)立方体、棱柱、棱维表面上取点、线时的投影。在平面立体上求取点时要运用点在平 面上，则点一定在平面的一条直线上这一从属关系，并注意直线、平面的投影是否有 积聚性。平面立体上求取线的投影时， 先要在线上找特殊位置点和 要找特殊位置上的点，作好特殊位置点和一般位置点的投影后再连线。连线时应注意 可见性。 (3)平面立体被截切后的基本视图画法。 2.2.2曲面立体 (1)圆柱、圆锥、球等的基本视图画法。 (2)圆柱、圆锥、球表面上取点、线时的投影。在曲面立体上求取点的投影时要运用点在 曲面上，则点一定在曲面的一条线上这一从属关系，并注意曼、面的投影是杏有积聚 性。曲面立体上求取线的投影时，先要在线上确定特殊位置点和一般位置点，尤其要 找特殊位置上的点，这会为作图 供便利。 作好特殊位置点和一般位置点的投影后再 连线。连线时应注意可见性以及光滑连接。 (3)曲面立体被截切后的基本视图画法。 2.2.3截交线 截交线是空间立体和截平面间共有点的集合。因此截交线既在空间立体上，也在截平面 上。平面立体与截平面的截交线形状是封闭多边形。曲面立体与截平面的截交线形状与曲面 立体的形状以及截平面的位置有关。截平面与圆柱的截交线包括矩形、圆和椭圆三种形状。 载平面与圆锥的截交线包括三角形、圆、椭圆、物线和双曲线五种形状。截平面与球的载 交线形状为圆，但是投影可以为直线、椭圆或圆。 绘制截交线的基本作图步骤如下： 多
第二章 立体 2.1 学习要求 （1）理解并掌握平面立体上点线的画法。 （2）理解并掌握曲面立体上点线的画法。 （3）理解并掌握常见的平面立体和常见曲面立体的基本视图，根据立体投影能够想象出立 体的空间形状。并能根据已有视图补画其他视图。 （4）理解并掌握截交线和相贯线的画法。 2.2 内容简述 在学习了点线面投影的基础上，进一步研究基本几何形体的投影特点。本章的主要内容 包括平面立体上点线的画法、曲面立体上点线的画法、常见平面立体的三视图、常见曲面立 体的三视图、截交线的画法以及相贯线的画法。本章所指立体主要是平面立体（立方体、棱 柱、棱锥等）和曲面立体（圆柱、圆锥、球等）。通过本章的学习为后续的组合体部分的学 习奠定基础。 2.2.1 平面立体 （1）立方体、棱柱、棱锥等的基本视图画法。 （2）立方体、棱柱、棱锥表面上取点、线时的投影。在平面立体上求取点时要运用点在平 面上，则点一定在平面的一条直线上这一从属关系，并注意直线、平面的投影是否有 积聚性。平面立体上求取线的投影时，先要在线上找特殊位置点和一般位置点，尤其 要找特殊位置上的点，作好特殊位置点和一般位置点的投影后再连线。连线时应注意 可见性。 （3）平面立体被截切后的基本视图画法。 2.2.2 曲面立体 （1）圆柱、圆锥、球等的基本视图画法。 （2）圆柱、圆锥、球表面上取点、线时的投影。在曲面立体上求取点的投影时要运用点在 曲面上，则点一定在曲面的一条线上这一从属关系，并注意线、面的投影是否有积聚 性。曲面立体上求取线的投影时，先要在线上确定特殊位置点和一般位置点，尤其要 找特殊位置上的点，这会为作图提供便利。作好特殊位置点和一般位置点的投影后再 连线。连线时应注意可见性以及光滑连接。 （3）曲面立体被截切后的基本视图画法。 2.2.3 截交线 截交线是空间立体和截平面间共有点的集合。因此截交线既在空间立体上，也在截平面 上。平面立体与截平面的截交线形状是封闭多边形。曲面立体与截平面的截交线形状与曲面 立体的形状以及截平面的位置有关。截平面与圆柱的截交线包括矩形、圆和椭圆三种形状。 截平面与圆锥的截交线包括三角形、圆、椭圆、抛物线和双曲线五种形状。截平面与球的截 交线形状为圆，但是投影可以为直线、椭圆或圆。 绘制截交线的基本作图步骤如下： 19
(1)首先进行形体分析，通过立体的空间形状以及截平面的截切位置分析截交线的形状。 (2)在已知视图中找到截交线的已有投影。 任上知投影上取一些点，包，括特殊位置点和一般位置点。特殊位置点包括最高点、最 低点 最左点 、最右点、最前点、最后点以及转向素线上的点。 殊位置点以外的点。 (4)先求特殊位置点的投影，后求一般位置点的投影。 (5)判别可见性，将点的投影光滑连线，擦去多余的线，不可见部分用虚线表示。 2.2.4相贯线 由立体相交而形成的表面交线称为相贯线。因此相贸线在两个立体表面上。相贯线的形 状与两个回转体的立体形状、立体大小以及相对位置有关。一般情况下相贯线是封闭的空间 曲线，特殊桔况下也可以是平面曲线成有线。 相贯线的基本作图步骤如 (1)首先进行形体分析，通过相交立体的空间形状分析相贯线的形状。 (2)在已知视图中找到相贯线的已有投影。 (3)在已知投影上取一些点，包括特殊位置点和一般位置点。特殊位置点包括最高点、最 低点、最左点、最右点、最前点、最后点以及转向素线上的点。一般位置点是指除特 殊位置占以外的占 (4)用立体表面取点法求点的投影，先求特殊位置点的投影，后求一般位置点的投影 (5)判别可见性，将点的投影光滑连线，擦去多余的线，不可见部分用虚线表示。 在绘制相贯线时，应该注意以下几点： (1)特殊点和一般位置点需要选好。 (2)一般点的数量视点之间的空格大小而定。 (3)连线时应注意可见性。 2.3本章知识点 (1)阅读平面立体视图，想象出空间立体形状以及补画其他视图 (2)平面立体表面上点和线的投影。 (3)阅读曲面立体视图，想象出空间立体形状以及补画其他视图 (4)曲面立体表面上点和线的投影。 (5)截交线画法，应注意截切位置不同以及立体空间形状不同对截交线形状的影响。 (6)相贯线画法，应注意不同空间立体以及空间立体之间的相对位置关系对相贯线形状的 影响。 2.4思考题 (1)两个圆柱相交时，两者直径大小变化对相贯线形状的影响？ (2)平行于圆柱轴线的平面对圆柱进行截切时，截交线是什么形状？ (3)垂直于圆柱轴线的平面对圆柱进行截切时，截交线是什么形状？ (4)两个直径相等，轴线相交的圆柱相贯时，相贯线是什么形状？ 2.5例题与习题解答 2.5.1例题
（1）首先进行形体分析，通过立体的空间形状以及截平面的截切位置分析截交线的形状。 （2）在已知视图中找到截交线的已有投影。 （3）在已知投影上取一些点，包括特殊位置点和一般位置点。特殊位置点包括最高点、最 低点、最左点、最右点、最前点、最后点以及转向素线上的点。一般位置点是指除特 殊位置点以外的点。 （4）先求特殊位置点的投影，后求一般位置点的投影。 （5）判别可见性，将点的投影光滑连线，擦去多余的线，不可见部分用虚线表示。 2.2.4 相贯线 由立体相交而形成的表面交线称为相贯线。因此相贯线在两个立体表面上。相贯线的形 状与两个回转体的立体形状、立体大小以及相对位置有关。一般情况下相贯线是封闭的空间 曲线，特殊情况下也可以是平面曲线或直线。 相贯线的基本作图步骤如下： （1）首先进行形体分析，通过相交立体的空间形状分析相贯线的形状。 （2）在已知视图中找到相贯线的已有投影。 （3）在已知投影上取一些点，包括特殊位置点和一般位置点。特殊位置点包括最高点、最 低点、最左点、最右点、最前点、最后点以及转向素线上的点。一般位置点是指除特 殊位置点以外的点。 （4）用立体表面取点法求点的投影，先求特殊位置点的投影，后求一般位置点的投影。 （5）判别可见性，将点的投影光滑连线，擦去多余的线，不可见部分用虚线表示。 在绘制相贯线时，应该注意以下几点： （1）特殊点和一般位置点需要选好。 （2）一般点的数量视点之间的空格大小而定。 （3）连线时应注意可见性。 2.3 本章知识点 （1）阅读平面立体视图，想象出空间立体形状以及补画其他视图。 （2）平面立体表面上点和线的投影。 （3）阅读曲面立体视图，想象出空间立体形状以及补画其他视图。 （4）曲面立体表面上点和线的投影。 （5）截交线画法，应注意截切位置不同以及立体空间形状不同对截交线形状的影响。 （6）相贯线画法，应注意不同空间立体以及空间立体之间的相对位置关系对相贯线形状的 影响。 2.4 思考题 （1）两个圆柱相交时，两者直径大小变化对相贯线形状的影响？ （2）平行于圆柱轴线的平面对圆柱进行截切时，截交线是什么形状？ （3）垂直于圆柱轴线的平面对圆柱进行截切时，截交线是什么形状？ （4）两个直径相等，轴线相交的圆柱相贯时，相贯线是什么形状？ 2.5 例题与习题解答 2.5.1 例题 20
例1在圆柱上有两点A和B,己知它们的正面投影a'和b'，作出这两点的水平投影和侧 面投影（参见图2.1(a)。 解题分析：通过已有视图可以看出该圆柱为一个轴线铅垂的直立圆柱，本题主要考查圆柱曲 面上点的投影。应该分清楚是在圆柱曲面上，还是在圆柱的上下端面上。本题中两点A和B 都在圆柱曲面上。圆柱上点的投影应利用积聚性来解题。圆柱曲面上的点积聚在具有圆的视 图上。位于圆柱面上的点的投影会积聚在直线上。 解题步骤： 1.从点A和B的正面投影可以分析出点A在圆柱曲面上，点B在圆柱上端面上。 2.根据积聚性可知，点A和B的水平投影都积聚在俯视图的圆上。根据长对正的投影规律， 从正面投影a'和b'分别做竖直线与俯视图的圆相交，交点a和b就是点A和B的水 平投影。 3.根据宽相等，高平齐的投影规律，辨别可见性，作出点A和B的侧面投影a”和b” 由于点B的侧面投影不可见，因此加括号，完成的水平投影和侧面投影参见图2.1(b)。 图2.1
例 1 在圆柱上有两点 A 和 B，已知它们的正面投影 a′和 b′，作出这两点的水平投影和侧 面投影（参见图 2.1（a））。 解题分析：通过已有视图可以看出该圆柱为一个轴线铅垂的直立圆柱，本题主要考查圆柱曲 面上点的投影。应该分清楚是在圆柱曲面上，还是在圆柱的上下端面上。本题中两点 A 和 B 都在圆柱曲面上。圆柱上点的投影应利用积聚性来解题。圆柱曲面上的点积聚在具有圆的视 图上。位于圆柱端面上的点的投影会积聚在直线上。 解题步骤： 1． 从点 A 和 B 的正面投影可以分析出点 A 在圆柱曲面上，点 B 在圆柱上端面上。 2． 根据积聚性可知，点 A 和 B 的水平投影都积聚在俯视图的圆上。根据长对正的投影规律， 从正面投影 a′和 b′分别做竖直线与俯视图的圆相交，交点 a 和 b 就是点 A 和 B 的水 平投影。 3． 根据宽相等，高平齐的投影规律，辨别可见性，作出点 A 和 B 的侧面投影 a〞和 b〞， 由于点 B 的侧面投影不可见，因此加括号。完成的水平投影和侧面投影参见图 2.1（b）。 （a） (b) 图 2.1 21
例2在圆锥上有点A,已知它的正面投影a',作出该点的水平投影和侧面投影（参见图2.2 (a))。 解分析：通过已有视图可以看出目中为销线铅垂的圆维、本主要考在圆维曲面上点的 投影。求取圆锥曲面上点的投影一般有两种方法求解，素线法和辅助圆法。 解愿步骤： 素线法作点的投影： 1.从点A的正面投影可以分析出点A在圆锥曲面上。 2.过圆锥项点和点A的正面投影a'作一条直线，该直线与圆锥底面的正面投影交于点B, 从而得到点B的正面投影b'。 3.根据长对正的投影规律，从正面投影b'做竖直线与俯视图的圆相交，交点b就是点B 4.根据宽相等，高平齐的投影规律，辨别可见性，作出点A的侧面投影a”。参见图22 (b). 辅助圆法作点的投影 1.从点A的正面投影可以分析出点A在圆锥曲面上。 2.过点A做一个水平辅助圆，该水平辅助圆的正面投影积聚为一条直线，点A的正面投影 a'必然在这条直线上。该水平辅助圆的水平投影为圆，点A的水平投影a必然在这个 圆上。 3.过点A的正面投影a'作一条直线，与圆锥的主视图相交，得到该水平辅助圆的半径r。 4.在俯视图中，以圆锥俯视图的圆心为圆心，以r为半径作出水平辅助圆的水平投影。根 据长对正的投影规律，从点A的正面投影a'作竖直线与俯视图的水平辅助圆投影相交， 交点为点A的水平投影a。 5. 根据宽相等，高平齐的投影规律，辨别可见性，作出点A的侧面投影a”。参见图2.2 (c)
例 2 在圆锥上有点 A，已知它的正面投影 a′，作出该点的水平投影和侧面投影（参见图 2.2 （a））。 解题分析：通过已有视图可以看出题目中为轴线铅垂的圆锥。本题主要考查圆锥曲面上点的 投影。求取圆锥曲面上点的投影一般有两种方法求解，素线法和辅助圆法。 解题步骤： 素线法作点的投影： 1. 从点 A 的正面投影可以分析出点 A 在圆锥曲面上。 2. 过圆锥顶点和点 A 的正面投影 a′作一条直线，该直线与圆锥底面的正面投影交于点 B， 从而得到点 B 的正面投影 b′。 3. 根据长对正的投影规律，从正面投影 b′做竖直线与俯视图的圆相交，交点 b 就是点 B 的水平投影。连接俯视图圆心和 b 得到一条直线，点 A 的水平投影 a 必然在这条直线上， 从正面投影 a′做竖直线与这条直线相交，得到点 A 的水平投影 a。 4. 根据宽相等，高平齐的投影规律，辨别可见性，作出点 A 的侧面投影 a〞。参见图 2.2 （b）。 辅助圆法作点的投影： 1. 从点 A 的正面投影可以分析出点 A 在圆锥曲面上。 2. 过点 A 做一个水平辅助圆，该水平辅助圆的正面投影积聚为一条直线，点 A 的正面投影 a′必然在这条直线上。该水平辅助圆的水平投影为圆，点 A 的水平投影 a 必然在这个 圆上。 3. 过点 A 的正面投影 a′作一条直线，与圆锥的主视图相交，得到该水平辅助圆的半径 r。 4. 在俯视图中，以圆锥俯视图的圆心为圆心，以 r 为半径作出水平辅助圆的水平投影。根 据长对正的投影规律，从点 A 的正面投影 a′作竖直线与俯视图的水平辅助圆投影相交， 交点为点 A 的水平投影 a。 5. 根据宽相等，高平齐的投影规律，辨别可见性，作出点 A 的侧面投影 a〞。参见图 2.2 （c）。 (a) (b) 22
图2.2 例3补画全三视图（参见图2.3(a)。 a'b c'd)e'(f)i) h 图23
(c) 图 2.2 例 3 补画全三视图（参见图 2.3（a））。 (a) (b) 图 2.3 23