导 (2)环绕法。 借助环绕中心天体做圆周运动的行星（或卫星）计算中心天 体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下： 万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明 G天 v2 =一 n r为行星（或卫星）的轨道 r G 天 r3@2 半径，y、w、T分别为行 r2 =mro2 m天G 星（或卫星）的线速度、 m天m 4π2 4π2r3 r2 mr T2 n天 GT2 角速度和周期
导航 (2)环绕法。 借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天 体的质量,俗称“借助外援法”。常见的情况如下: 万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明 G 𝐦天 𝐦 𝐫 𝟐 =m 𝐯 𝟐 𝐫 m 天= 𝐫𝐯 𝟐 𝐆 r 为行星(或卫星)的轨道 半径,v、ω、T 分别为行 星(或卫星)的线速度、 角速度和周期 G 𝐦天 𝐦 𝐫 𝟐 =mrω2 m 天= 𝐫 𝟑 𝛚𝟐 𝐆 G 𝐦天 𝐦 𝐫 𝟐 =mr 𝟒𝝅 𝟐 𝐓𝟐 m 天= 𝟒𝝅 𝟐 𝐫 𝟑 𝐆𝐓𝟐
导航 2.计算天体的密度。 若天体的半径为R,则天体的密度pRg: mo 将= 代入上式得 3πr3 GT2R3 当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R, 则p 3π
导航 2 .计算天体的密度 。 若天体的半径为 R,则天体的密度 ρ = 𝒎 𝟎 𝟒𝟑 𝛑 𝑹 𝟑, 将 m0=𝟒𝛑𝟐𝒓𝟑 𝑮𝑻𝟐 代入上式得 ρ = 𝟑 𝛑 𝒓 𝟑 𝑮 𝑻 𝟐 𝑹 𝟑。 当卫星环绕天体表面运动时,其轨道半径 r 等于天体半径 R, 则 ρ= 𝟑𝛑 𝑮𝑻𝟐
导期 ?情境体验 航天员驾驶飞船绕月球表面飞行一周的时间为T,怎样利用 这个条件估测月球质量？ 提示：设月球质量为m月，半径为R, 由万有引力提供向心力，G”m钙R 4π2 4π2R3 m月三 GT2·
导航 航天员驾驶飞船绕月球表面飞行一周的时间为T,怎样利用 这个条件估测月球质量? 提示:设月球质量为m月,半径为R, 由万有引力提供向心力,G 𝒎月 𝒎 𝑹𝟐 =m 𝟒𝛑 𝟐 𝑻𝟐 R m 月= 𝟒𝛑 𝟐 𝑹 𝟑 𝑮𝑻𝟐
典例剖析 右图是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕 土星飞行的轨道，若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星 表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t,已知引力常 量为G,则下列关于土星质量m土和平均密度p的表达式正确的是(D An 4π2(R+h)3。 3π(R+h)3 Gt Gt2R3 B.m± 4m2(R+h3 3πR+h)3 Gt2 ,0 Gt2R3 C.m± 4π2t2(R+h)3 3πt2(R+h)3 Gn2 Gn2R2 D.m±= 4n2n2(R+h)3 3πn2(R+h3 Gt2 Gt2R3
典例剖析 导航 右图是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行,进入绕 土星飞行的轨道,若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星 表面高h的圆形轨道上绕土星飞行,环绕n周飞行时间为t,已知引力常 量为G,则下列关于土星质量m土和平均密度ρ的表达式正确的是( ) A.m 土= 𝟒𝛑 𝟐(𝑹+𝒉) 𝟑 𝑮𝒕 ,ρ= 𝟑𝛑(𝑹+𝒉) 𝟑 𝑮𝒕 𝟐 𝑹𝟑 B.m 土= 𝟒𝛑 𝟐(𝑹+𝒉) 𝟑 𝑮𝒕 𝟐 ,ρ= 𝟑𝛑(𝑹+𝒉) 𝟑 𝑮𝒕 𝟐 𝑹𝟑 C.m 土= 𝟒𝛑 𝟐𝒕 𝟐(𝑹+𝒉) 𝟑 𝑮𝒏𝟐 ,ρ= 𝟑𝛑𝒕 𝟐(𝑹+𝒉) 𝟑 𝑮𝒏𝟐 𝑹𝟐 D.m 土= 𝟒𝛑 𝟐 𝒏 𝟐(𝑹+𝒉) 𝟑 𝑮𝒕 𝟐 ,ρ= 𝟑𝛑𝒏 𝟐(𝑹+𝒉) 𝟑 𝑮𝒕 𝟐 𝑹𝟑 D
导航 解析：对卫星有G=m0R+h0-严 2πn t 解得m上-4r2n2R+h3 Gt2 土星的体积R3,土里的密度p% m土 3n2(R+h)3 Gt2R3 选项D正确
导航 解析:对卫星有 G 𝒎土 𝒎 (𝑹+𝒉) 𝟐 =mω2 (R+h),ω= 𝟐𝛑 𝑻 = 𝟐𝛑𝒏 𝒕 , 解得 m 土= 𝟒𝛑 𝟐 𝒏 𝟐 (𝑹+𝒉) 𝟑 𝑮𝒕 𝟐 , 土星的体积 V=𝟒 𝟑 πR3 ,土星的密度 ρ= 𝒎土 𝑽 = 𝟑𝛑𝒏 𝟐 (𝑹+𝒉) 𝟑 𝑮𝒕 𝟐 𝑹𝟑 , 选项 D 正确