D0I:10.13374/i.issnl00It03.2009.06.015 第31卷第6期 北京科技大学学报 Vol.31 No.6 2009年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun.2009 有限厚度的Marangoni对流边界层问题的解析近 似解 张 艳1 郑连存)张欣欣) 1)北京科技大学应用科学学院，北京1000832)北京建筑工程学院理学院，北京100044 3)北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要讨论了由不同温度介质的界面张力梯度而诱导的有限厚度Marangoni对流的边界层问题.假设界面张力是温度的 平方函数，下表面保持恒温，上表面的温度是水平距离的线性函数·通过坐标变换和巧妙引入小参数对速度和温度边界层控 制方程组摄动渐进展开，得到了问题的解析近似解.研究了Marangoni数和Prandtl数对速度，温度边界层的影响，对相应的流 动特性进行了探讨· 关键词Marangoni对流：边界层；近似解；渐进展开 分类号0351.2：0357.4 Analytical approximate solution to the boundary layer flow of finite thickness Marangoni convection ZHA NG Yan.2),ZHENG Lian-cun),ZHANG Xin-xin3) 1)School of Applied Science.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China 2)School of Science.Beijing Institute of Civil Engineering and Arehitecture.Beijing 100044.China 3)School of Mechanical Engineering University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACT Marangoni convection induced by surface tension gradient along the liquid of finite thickness was researched.It is as- sumed that the surface tension is a quadratic function of temperature,the under surface temperature is constant,and the super surface temperature is a linear function of horizontal distance.The Marangoni convection boundary layer problem was solved by an efficient transformation and asymptotic expansion technique.and the analytical approximate solution to this Marangoni convection was ob- tained.The effects of Marangoni number and Prandtl number on the velocity and temperature boundary layers were discussed and the associated transfer mechanism was analyzed in detail. KEY WORDS Marangoni convection:boundary layer:approximate solution:asymptotic expansion 1855年，Thomson在英国皇家科学院作的一次 引作用所放大的界面运动，被称为Marangoni对 演讲中，首次报道了由表面/界面张力差引起的对 流[-).发生于界面的Marangoni对流作为影响流 流，在气液或液液体系中，物质的蒸发、溶解和 体稳定性的因素，对化学工程、材料工程、流体力学 表面活性物质的迁移或温度变化都可能导致界面张 和空间科学研究有着重要的影响，很多科学工作者 力梯度的出现，而这种界面张力梯度的存在又会导 对各种几何图形的Marangoni对流进行了研 致自发的界面运动（如界面变形、界面流等），1871 究)，最近，Slavtchev!研究了引起热毛细流动的 年，Marangoni完成了一份有关此类现象的长篇综 最小表面张力，Chamkhaf]给出了由温度和浓度变 述，并得出了一般性的结论：低表面张力液体将在高 化共同引起的Marangoni对流的相似解， 表面张力液体表面扩展，这种被界面区域流体的牵 Simanovskii们研究了多层体系中的非线性 收稿日期：2008-08-31 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。·50476083) 作者简介：张艳(1972-)，女，副教授，博士研究生；郑连存(l957一)：男，教授，博士生导师，Emal:liancunzheng@sina-com
有限厚度的 Marangoni 对流边界层问题的解析近 似解 张 艳12） 郑连存1） 张欣欣3） 1） 北京科技大学应用科学学院北京100083 2） 北京建筑工程学院理学院北京100044 3） 北京科技大学机械工程学院北京100083 摘 要 讨论了由不同温度介质的界面张力梯度而诱导的有限厚度 Marangoni 对流的边界层问题．假设界面张力是温度的 平方函数下表面保持恒温上表面的温度是水平距离的线性函数．通过坐标变换和巧妙引入小参数对速度和温度边界层控 制方程组摄动渐进展开得到了问题的解析近似解．研究了 Marangoni 数和 Prandtl 数对速度、温度边界层的影响对相应的流 动特性进行了探讨． 关键词 Marangoni 对流；边界层；近似解；渐进展开 分类号 O351∙2；O357∙4 Analytical approximate solution to the boundary layer flow of finite thickness Marangoni convection ZHA NG Y an 12）ZHENG Lian-cun 1）ZHA NG Xin-xin 3） 1） School of Applied ScienceUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China 2） School of ScienceBeijing Institute of Civil Engineering and ArchitectureBeijing100044China 3） School of Mechanical EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT Marangoni convection induced by surface tension gradient along the liquid of finite thickness was researched．It is assumed that the surface tension is a quadratic function of temperaturethe under surface temperature is constantand the super surface temperature is a linear function of horizontal distance．T he Marangoni convection boundary layer problem was solved by an efficient transformation and asymptotic expansion techniqueand the analytical approximate solution to this Marangoni convection was obtained．T he effects of Marangoni number and Prandtl number on the velocity and temperature boundary layers were discussed and the associated transfer mechanism was analyzed in detail． KEY WORDS Marangoni convection；boundary layer；approximate solution；asymptotic expansion 收稿日期：2008-08-31 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．50476083） 作者简介：张 艳（1972—）女副教授博士研究生；郑连存（1957—）男教授博士生导师E-mail：liancunzheng＠sina．com 1855年Thomson 在英国皇家科学院作的一次 演讲中首次报道了由表面／界面张力差引起的对 流．在气—液或液—液体系中物质的蒸发、溶解和 表面活性物质的迁移或温度变化都可能导致界面张 力梯度的出现而这种界面张力梯度的存在又会导 致自发的界面运动（如界面变形、界面流等）．1871 年Marangoni 完成了一份有关此类现象的长篇综 述并得出了一般性的结论：低表面张力液体将在高 表面张力液体表面扩展．这种被界面区域流体的牵 引作用所放大的界面运动被称为 Marangoni 对 流［1—2］．发生于界面的 Marangoni 对流作为影响流 体稳定性的因素对化学工程、材料工程、流体力学 和空间科学研究有着重要的影响．很多科学工作者 对各 种 几 何 图 形 的 Marangoni 对 流 进 行 了 研 究［3—4］．最近Slavtchev ［5］研究了引起热毛细流动的 最小表面张力Chamkha ［6］给出了由温度和浓度变 化 共 同 引 起 的 Marangoni 对 流 的 相 似 解 Simanovskii ［7］ 研 究 了 多 层 体 系 中 的 非 线 性 第31卷 第6期 2009年 6月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．31No．6 Jun．2009 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2009．06．015
.800 北京科技大学学报 第31卷 Marangoni对流问题，Zheng!⑧]研究了由温度梯度 y=d处的速度边界条件是： 引起的汽一液表面的Marangoni对流和In一GaSb v(x,d)=0, 系统中Marangoni对流[o的近似解问题， 号影-是-议T-T品 、r 本文利用坐标变换和渐进展开的方法研究在两 种不同能量边界条件下，Marangoni对流的边界层 两个温度边界层条件如下： 问题解析近似解 条件1一当y=0时，=0：当y=1时 1边界层控制方程 T=T0十Ax; 条件Ⅱ一当y=0时，T=Tw;当y=d时， 在本文的模型中（如图1），位于下方的是一种 T=T0十Ax, 黏性液体，宽度不限，厚度为d,是有限的，在流体的 引入相似变换： 上方是无限厚度的静止气体。假设流体的各项物理 参数都是常数，只有表面张力随温度变化，且符合公 axF'(刃， 式g=十(T-Tw,其中，和T0都是正常 (0-p,=含+（可. 数.当T=To时，表面张力取到最小值0·δ为 T=T10()+Adx0() T=To时，表面张力关于温度的梯度，液体的下表 其中，Pg是气体压力，入是一个未知的常数.在条件 面满足换热率为零或者是恒温，而在上表面，存在温 I里，T1=To:在条件Ⅱ里，T1=T 度梯度A,这里规定A>0,T0是上表面的初始温 可以将动量方程转化为： 度，T。是液体下表面的温度 F"+M(FF"-F'2)=λ (4) 动量方程边界条件简化为： F(0)=F'(0)=0,F(1)=0,F"(1)=P(1), T=T。+Ar 其中，M=4心王，称为Marangoni数，而入是与M 以2 有关的常数， 能量方程转化为以下两个方程： 部0成元 +MPrFO=0 (5) 0'+MPr(F0'-F'0=0 (6) 图1 Marangoni对流边界层示意图 Fig.I Marangon convection boundary layer 其中，二g长是P数 能量方程边界条件为： 假设流动是二维不可压缩的，忽略体积力、外部 条件I一(0)=0,0(1)=1,0(0)=0， 压力梯度的影响，描述牛顿流体的质量守恒、动量守 0(1)=1; 恒和能量守恒边界层方程用量纲1形式可以表示 为： 条件一4(0)=1，()=是0)=0， 0(1)=1. (1) a 2动量方程求解 月十v(,)= 假设初始条件为F(0)=c,引入一个人工小参 别+ +g(0,-g)(2) 数e,作如下变换： (3) F(0=(5)+5=g(5)+35只， 其中，u为沿x轴方向的速度，v为沿y轴方向的速 -e3n. 度，q是密度，卫是压力，“是动力黏性系数，g是重 代入方程(4)，控制方程可以改写为： 力加速度，K是热扩散系数， (cg+o y=0处的速度边界条件是： u(x,0)=0,v(x,0)=0. (eig'+eio)?=x (7)
Marangoni 对流问题Zheng ［8—9］ 研究了由温度梯度 引起的汽—液表面的 Marangoni 对流和 In—Ga—Sb 系统中 Marangoni 对流［10］的近似解问题． 本文利用坐标变换和渐进展开的方法研究在两 种不同能量边界条件下Marangoni 对流的边界层 问题解析近似解． 1 边界层控制方程 在本文的模型中（如图1）位于下方的是一种 黏性液体宽度不限厚度为 d是有限的在流体的 上方是无限厚度的静止气体．假设流体的各项物理 参数都是常数只有表面张力随温度变化且符合公 式σ＝σ0＋ δ 2 （ T— T0） 2其中δ、σ0 和 T0 都是正常 数．当 T ＝ T0 时表面张力取到最小值 σ0．δ为 T＝T0时表面张力关于温度的梯度．液体的下表 面满足换热率为零或者是恒温而在上表面存在温 度梯度 A这里规定 A ＞0T0 是上表面的初始温 度T w 是液体下表面的温度． 图1 Marangoni 对流边界层示意图 Fig．1 Marangon convection boundary layer 假设流动是二维不可压缩的忽略体积力、外部 压力梯度的影响描述牛顿流体的质量守恒、动量守 恒和能量守恒边界层方程用量纲1形式可以表示 为： ∂u ∂x ＋ ∂v ∂y ＝0 （1） q u ∂ ∂x ＋v ∂ ∂y （ uv ）＝ — ∂p ∂x ∂p ∂y ＋μ ∂2u ∂x 2 ∂2u ∂y 2 ＋q（0—g） （2） u ∂T ∂x ＋v ∂T ∂y ＝ K ∂2T ∂y 2 （3） 其中u 为沿 x 轴方向的速度v 为沿 y 轴方向的速 度q 是密度p 是压力μ是动力黏性系数g 是重 力加速度K 是热扩散系数． y＝0处的速度边界条件是： u（ x0）＝0v （ x0）＝0． y＝ d 处的速度边界条件是： v （ xd）＝0 μ ∂u ∂y ＝ ∂σ ∂x ＝δ（ T— T0） ∂T ∂x ． 两个温度边界层条件如下： 条件Ⅰ———当 y＝0时 ∂T ∂y ＝0；当 y＝ d 时 T＝ T0＋ A x； 条件Ⅱ———当 y＝0时T ＝ T w；当 y＝ d 时 T＝ T0＋ A x． 引入相似变换： x＝ x d η＝ y d u＝ δA 2d 2 μ xF′（η） v＝— δA 2d 2 μ F（η）p— pg＝δA 2d λ 2 x 2＋ p（η） T＝ T1θ1（η）＋ A d xθ（η）． 其中pg 是气体压力λ是一个未知的常数．在条件 Ⅰ里T1＝ T0；在条件Ⅱ里T1＝ T w． 可以将动量方程转化为： F●＋ M（FF″—F′2）＝λ （4） 动量方程边界条件简化为： F（0）＝F′（0）＝0F（1）＝0F″（1）＝θ2（1）． 其中M＝ qδA 2d 3 μ2 称为 Marangoni 数而 λ是与 M 有关的常数． 能量方程转化为以下两个方程： θ″1＋ MPrFθ′1＝0 （5） θ″＋ MPr（Fθ′—F′θ）＝0 （6） 其中Pr＝ μ qK 是 Prandtl 数． 能量方程边界条件为： 条件Ⅰ———θ′1（0）＝0θ1（1）＝1θ′（0）＝0 θ（1）＝1； 条件Ⅱ———θ1（0）＝1θ1（1）＝ T0 T w θ（0）＝0 θ（1）＝1． 2 动量方程求解 假设初始条件为 F″（0）＝c引入一个人工小参 数ε作如下变换： F（η）＝εg（ξ）＋ c 2 η2＝εg（ξ）＋ε 2 3 c 2 ξ2 ξ＝ε — 1 3η． 代入方程（4）控制方程可以改写为： g●＋ M εg＋ε 2 3 c 2 ξ2 （ε 1 3 g″＋c）— （ε 2 3 g′＋ε 1 3cξ） 2 ＝λ （7） ·800· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷
第6期 张艳等：有限厚度的Marangoni对流边界层问题的解析近似解 .801 边界条件为g(0)=0,g'(0)=0,g"(0)=0. (列=y+M业+MBW+ p2E2+ 把g()在=0处展开成如下幂级数形式： 6 24 360 g(5)=g0十g1e3+g2e3+gsE十g4e+ M2PrXc M2PrYNG M2PrYAc 720 1008 2520 7+ 将展开式代入方程(7)，比较E同次幂的系数，可以 MerxMerxx 得到 P+ 8064 20160 F=5+合+瓷p+微+- MPr'YeMPrYe 12960 362880 明， r器 22680070+ 利用条件(1)=1，可以计算Y. +品 M3c4 317M5 第2种边界条件下，能量方程的求解 2905943040075, 假设初始条件为： 从而 1(0)=a,0'(0)=b. F=e+含+器+船+f- 60 360 利用适当的坐标变换和摄动展开可得： 瑞-- 226807°+ 0()=1+a-MpracMrak 24 120 严+8品26. M3c4 M2Pr2ac2 M2Prac2 504 7+ 5040 利用条件F(1)=0和F"(1)=P(1)=1,就可 M2 Pr2 acA M2 PracX 以确定参数c和入的值 1152 20160 的+ 图2给出了量纲1的速度函数F'()的曲线 M2Pr2aλ2 M2 Prax + 从图中可以发现：当M非常小时，在液体中从下边 10368 181440 界到自由表面，速度变化全部非常剧烈，从而没有速 MPr2ac MpracMprac 43200 12960 3628800 度边界层产生；而当M足够大时，下层液体中速度 变化非常微小，靠近自由表面处速度变化开始剧烈， 和 从而会产生较薄的速度边界层，同时还可以发现， 0()=67MPrbeM 24 60 自由表面处的速度F'(1)随着M的增大而减小. 025 M2pb2-NePhc2+a032(2MrPmbcλ- 1008 020 。-0.00043 0.15 138 -A-1032 23n2pr2bc)f+2592(Mn2PnbA- 0.10 1 2MP181440MP- 0.05 1 604800n'pr2bc3+453600M3Prtc70. -0.05 0.10 利用条件（山=和0(=1，可以计算a和6. 0.2 0.4 0.6 0.8 图3是第1种能量边界条件下，当Pr=1,M 取不同的值时，()的分布图像.从图中可以看出： 图2量纲1的速度变化 Fig.2 Change in dimensionless velocity 当M足够大时，下层的液体中温度变化非常微小， 而在靠近自由表面处温度变化开始剧烈，从而会产 3能量方程求解 生温度边界层；而M较小时，没有温度边界层产 生，图4是当M=100时，Pr取不同的值，()的 第1种边界条件下，能量方程的求解 分布图像，可以看到：当P,比较小时，整层液体中 首先求解式(5)，类似于动量方程的求解，显然 的温度变化都很剧烈，所以没有温度边界层产生；而 0=1.再求解式(6)，假设初始条件为(0)=Y,可 当P,比较大时，在靠近自由表面处温度开始了快 以得到： 速的变化，从而有较薄的温度边界层在自由表面附
边界条件为 g（0）＝0g′（0）＝0g″（0）＝0． 把 g（ξ）在ε＝0处展开成如下幂级数形式： g（ξ）＝g0＋g1ε 1 3＋g2ε 2 3＋g3ε＋g4ε 4 3＋…． 将展开式代入方程（7）比较 ε同次幂的系数可以 得到 F＝ c 2 η2＋ λ 6 η3＋ Mc 2 120 η5＋ Mλc 360 η6＋ Mλ2 2520 η7— M 2c 3 40320 η8— M 2λc 2 90720 η9— M 2cλ2 226800 η10＋ M 3c 4 1478400 η11＋ 181M 3c 3λ 479001600 η12— 317M 4c 5 29059430400 η13 从而 F′＝cη＋ λ 2 η2＋ Mc 2 24 η4＋ Mλc 60 η5＋ Mλ2 360 η6— M 2c 3 5040 η7— M 2λc 2 10080 η8— M 2cλ2 22680 η9＋ M 3c 4 134400 η10＋ 181M 3c 3λ 39916800 η11— 317M 4c 5 2235340800 η12． 利用条件 F（1）＝0和 F″（1）＝θ2（1）＝1就可 以确定参数 c 和λ的值． 图2给出了量纲1的速度函数 F′（η）的曲线． 从图中可以发现：当 M 非常小时在液体中从下边 界到自由表面速度变化全部非常剧烈从而没有速 度边界层产生；而当 M 足够大时下层液体中速度 变化非常微小靠近自由表面处速度变化开始剧烈 从而会产生较薄的速度边界层．同时还可以发现 自由表面处的速度 F′（1）随着 M 的增大而减小． 图2 量纲1的速度变化 Fig．2 Change in dimensionless velocity 3 能量方程求解 第1种边界条件下能量方程的求解． 首先求解式（5）类似于动量方程的求解显然 θ1＝1．再求解式（6）假设初始条件为 θ（0）＝γ可 以得到： θ（η）＝γ＋ MPrγc 6 η3＋ MPrγλ 24 η4＋ — M 2Pr 2γc 2 360 ＋ M 2Prγc 2 720 η6＋ — M 2Pr 2γλc 1008 ＋ M 2Prγλc 2520 η7＋ — M 2Pr 2γλ2 8064 ＋ M 2Prγλ2 20160 η8＋ M 3Pr 3γc 3 12960 — M 3Prγc 3 362880 η9． 利用条件θ（1）＝1可以计算 γ． 第2种边界条件下能量方程的求解． 假设初始条件为： θ′1（0）＝ aθ′（0）＝b． 利用适当的坐标变换和摄动展开可得： θ1（η）＝1＋ aη— MPrac 24 η4— MPraλ 120 η5＋ M 2Pr 2 ac 2 504 — M 2Prac 2 5040 η7＋ M 2Pr 2 acλ 1152 — M 2Pracλ 20160 η8＋ M 2Pr 2 aλ2 10368 — M 2Praλ2 181440 η9＋ M 3Pr 2 ac 3 43200 — M 3Pr 3 ac 3 12960 ＋ M 3Prac 3 3628800 η10 和 θ（η）＝bη＋ MPrbc 24 η4＋ MPrbλ 60 η5＋ M 2Prbc 2— M 2Pr 2bc 2 1008 η7＋ 1 40320 （12M 2Prbcλ— 23M 2Pr 2bcλ）η8＋ 1 25920 （ M 2Prbλ— 2M 2Pr 2bλ2）η9＋ 1 181440 M 3Pr 3bc 3— 1 604800 M 3Pr 2bc 3＋ 1 453600 M 3Prbc 3 η10． 利用条件θ1（1）＝ T0 T w 和θ（1）＝1可以计算 a 和 b． 图3是第1种能量边界条件下当 Pr＝1M 取不同的值时θ（η）的分布图像．从图中可以看出： 当 M 足够大时下层的液体中温度变化非常微小 而在靠近自由表面处温度变化开始剧烈从而会产 生温度边界层；而 M 较小时没有温度边界层产 生．图4是当 M＝100时Pr 取不同的值θ（η）的 分布图像．可以看到：当 Pr 比较小时整层液体中 的温度变化都很剧烈所以没有温度边界层产生；而 当 Pr 比较大时在靠近自由表面处温度开始了快 速的变化从而有较薄的温度边界层在自由表面附 第6期 张 艳等： 有限厚度的 Marangoni 对流边界层问题的解析近似解 ·801·
,802 北京科技大学学报 第31卷 近产生 中的温度变化几乎是线性的，尤其是较下层的液体 12 中；而当M或Pr足够大时，下层的液体中温度变化 1.0 不明显，而在靠近自由表面处温度变化开始明显，从 0.8 。40.001 而会在自由表面处产生温度边界层，而且从比较可 0.6 ---100 一M1000 以看出，P对温度边界层的产生较M的影响更为 0.4 0.2 显著 0 1.0 -02 0.9 -0.4 -0.6 0.8 0.2 0.40.6 0.8 1.0 50.7 Pr=5 图3在第1种边界条件下当P=1时量纲1的温度变化 0.6 -P=10 Fig.3 Change in dimensionless temperature at Pr=1 under the Ist 0.5 boundary condition 040 02 0.4 0.6 0.81.0 1.2 1.0 08 图6在第2种边界条件下当M=100且T/T.=0.5时，量纲 0.6 P=10 1的温度变化 0.4 Fig.6 Change in dimensionless temperature at M=100 and To 02 T=0.5 under the 2nd boundary condition 0 02 图7是第2种能量边界条件下，当Pr=2,M -0.4 取不同的值时，()的分布曲线，图8是当M=100 066 0.2 0.40.6 0.8 10 时，Pr取不同的值，()的分布曲线，从两幅图中 可以发现共同的特点：当M或P较小时，液体中的 图4在第1种边界条件下当M=100时量纲1的温度变化 温度变化几乎是线性的，尤其是较下层的液体中；当 Fig.4 Change in dimensionless temperature at M=100 under the M或P足够大时，下层的液体中温度变化不明显， Ist boundary condition 而在靠近自由表面处温度变化开始明显，从而会在 图5是第2种能量边界条件下，当Pr=1,M 自由表面处产生温度边界层。两种能量边界条件 取不同的值时，0()的分布曲线，图6是当M= 下，共同的特点是：当P较小而M较大时，有温度 100时，Pr取不同的值，0()的分布曲线，从两幅 边界层产生；而当M较小而P较大时，没有温度边 图中可以发现共同的特点：当M或P较小时，液体 界层产生 12 0.9 1.0 ·0.001 0.8 =--100 08 —1000 50.7 0.6 ·f-0.001 0.6 =---=100 0.4 41000 0.5 02 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 020 0.2 0.40.60.810 图5在第2种边界条件下当Pr=1且To/T.=0.5时，量纲1 的温度变化 图7在第2种边界条件下当P=2且To/T.=0.5时，量纲1 Fig.5 Change in dimensionless temperature at Pr=1 and To/T.= 的温度变化 0.5 under the 2nd boundary condition Fig.7 Change in dimensionless temperature at Pr=2 and To/T. 0.5 under the 2nd houndary condition
近产生． 图3 在第1种边界条件下当 Pr＝1时量纲1的温度变化 Fig．3 Change in dimensionless temperature at Pr＝1under the1st boundary condition 图4 在第1种边界条件下当 M＝100时量纲1的温度变化 Fig．4 Change in dimensionless temperature at M＝100under the 1st boundary condition 图5 在第2种边界条件下当 Pr＝1且 T0／T w＝0∙5时量纲1 的温度变化 Fig．5 Change in dimensionless temperature at Pr＝1and T0／T w＝ 0∙5under the2nd boundary condition 图5是第2种能量边界条件下当 Pr＝1M 取不同的值时θ1（η）的分布曲线图6是当 M＝ 100时Pr 取不同的值θ1（η）的分布曲线．从两幅 图中可以发现共同的特点：当 M 或Pr 较小时液体 中的温度变化几乎是线性的尤其是较下层的液体 中；而当 M 或Pr 足够大时下层的液体中温度变化 不明显而在靠近自由表面处温度变化开始明显从 而会在自由表面处产生温度边界层．而且从比较可 以看出Pr 对温度边界层的产生较 M 的影响更为 显著． 图6 在第2种边界条件下当 M＝100且 T0／T w＝0∙5时量纲 1的温度变化 Fig．6 Change in dimensionless temperature at M ＝100and T0／ T w＝0∙5under the2nd boundary condition 图7 在第2种边界条件下当 Pr＝2且 T0／T w＝0∙5时量纲1 的温度变化 Fig．7 Change in dimensionless temperature at Pr＝2and T0／T w＝ 0∙5under the2nd boundary condition 图7是第2种能量边界条件下当 Pr＝2M 取不同的值时θ（η）的分布曲线图8是当 M＝100 时Pr 取不同的值θ（η）的分布曲线．从两幅图中 可以发现共同的特点：当 M 或Pr 较小时液体中的 温度变化几乎是线性的尤其是较下层的液体中；当 M 或 Pr 足够大时下层的液体中温度变化不明显 而在靠近自由表面处温度变化开始明显从而会在 自由表面处产生温度边界层．两种能量边界条件 下共同的特点是：当 Pr 较小而 M 较大时有温度 边界层产生；而当 M 较小而Pr 较大时没有温度边 界层产生． ·802· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷
第6期 张艳等：有限厚度的Marangoni对流边界层问题的解析近似解 ,803 1.2 参考文献 1.0 。P-2 [1]Napolitano L G.Surface and buoyancy driven free convection P6 0.8 Acta Astronaut.1982,9:199 -P=10 [2]Napolitano L G.Golia C.Coupled Marangoni boundary layers. 0.6 Acta Astronaut,1981,8:417 0.4 [3]Arafune K.Hirata A.Thermal and solutal Marangoni convection 02 in In Ga Sb system.J Cryst Growth,1997,197:811 [4]Arafune K.Hirata A.Investigation of thermal Marangoni convee- tion in low and high Prandtl number fluids.I Chem Eng Ipn. 04 1999,32:104 [5]Slavtchev S G.Dubovik K G.Thermocapillary convection in a 图8在第2种边界条件下当M=100时量纲1的温度变化 rectangular cavity at minimum of surface tension.Theor Appl Fig-8 Change in dimensionless temperature at M=100 under the Mech,1992,23:85 2nd boundary condition [6]Al-Mudhaf A.Chamkha A J.Similarity solutions for MHD ther- mosolutal Marangoni convection over a flat surface in the presence 4结论 of heat generation or absorption effects.Heat Mass Transfer. 2005,42.112 (1)当M非常小时，没有速度边界层产生；而 [7]Simanovskii I.Nonlinear Marangoni convection with the inclined 当M足够大时，会产生较薄的速度边界层，自由表 temperature gradient in multilayer systems.IPhys Rev E.2006. 面处的速度F(1)随着M的增大而减小. 73.066310 (2)第1种能量边界条件下，当Pr固定，M较 [8]Zheng L C.Sheng X Y.Zhang X X.Analytical approximate for 小时，()没有温度边界层产生，当M足够大时， Marangoni convection boundary layer equations.Acta Phys Sin, 2006,55(10):5298 会产生温度边界层；当M固定，Pr较小时，()没 (郑连存，盛晓艳，张欣欣.一类Marangoni对流边界层方程 有温度边界层产生，而当P比较大时有较薄的温 的近似解析解.物理学报，2006,55(10)：5298) 度边界层在自由表面附近产生， [9]Zheng L C.Zhang XX,Gao Y T.Analytical solution for (③)第2种能量边界条件下，当M或Pr较小 Marangoni convection over a vapor-liquid surface due to an im- 时，液体中的温度1()和()的变化几乎都是线 posed temperature gradient.Math Compu Modelling.2008. 48:1787 性的，尤其是较下层的液体中；而当M或P,足够大 [10]Zheng L C.Chen X H.Zhang XX.et al.An approximately 时，()和()在自由表面处产生温度边界层 analytical solution for the Marangoni convection in an In-GaSb 而且P对温度边界层的产生较M的影响更为显著. system.Chin Phys Lett.2004,21:1983
图8 在第2种边界条件下当 M＝100时量纲1的温度变化 Fig．8 Change in dimensionless temperature at M＝100under the 2nd boundary condition 4 结论 （1） 当 M 非常小时没有速度边界层产生；而 当 M 足够大时会产生较薄的速度边界层．自由表 面处的速度 F′（1）随着 M 的增大而减小． （2） 第1种能量边界条件下当 Pr 固定M 较 小时θ（η）没有温度边界层产生当 M 足够大时 会产生温度边界层；当 M 固定Pr 较小时θ（η）没 有温度边界层产生而当 Pr 比较大时有较薄的温 度边界层在自由表面附近产生． （3） 第2种能量边界条件下当 M 或 Pr 较小 时液体中的温度θ1（η）和θ（η）的变化几乎都是线 性的尤其是较下层的液体中；而当 M 或Pr 足够大 时θ1（η）和 θ（η）在自由表面处产生温度边界层． 而且 Pr 对温度边界层的产生较 M 的影响更为显著． 参 考 文 献 ［1］ Napolitano L G．Surface and buoyancy driven free convection． Acta Astronaut19829：199 ［2］ Napolitano L GGolia C．Coupled Marangoni boundary layers． Acta Astronaut19818：417 ［3］ Arafune KHirata A．Thermal and solutal Marangoni convection in In-Ga-Sb system．J Cryst Growth1997197：811 ［4］ Arafune KHirata A．Investigation of thermal Marangoni convection in low and high Prandtl number fluids．J Chem Eng Jpn 199932：104 ［5］ Slavtchev S GDubovik K G．Thermocapillary convection in a rectangular cavity at minimum of surface tension． Theor Appl Mech199223：85 ［6］ A-l Mudhaf AChamkha A J．Similarity solutions for MHD thermosolutal Marangoni convection over a flat surface in the presence of heat generation or absorption effects．J Heat Mass T ransfer 200542：112 ［7］ Simanovskii I．Nonlinear Marangoni convection with the inclined temperature gradient in multilayer systems．J Phys Rev E2006 73：066310 ［8］ Zheng L CSheng X YZhang X X．Analytical approximate for Marangoni convection boundary layer equations．Acta Phys Sin 200655（10）：5298 （郑连存盛晓艳张欣欣．一类 Marangoni 对流边界层方程 的近似解析解．物理学报200655（10）：5298） ［9］ Zheng L CZhang X XGao Y T．Analytical solution for Marangoni convection over a vapor-liquid surface due to an imposed temperature gradient． Math Comput Modelling2008 48：1787 ［10］ Zheng L CChen X HZhang X Xet al．An approximately analytical solution for the Marangoni convection in an In-Ga-Sb system．Chin Phys Lett200421：1983 第6期 张 艳等： 有限厚度的 Marangoni 对流边界层问题的解析近似解 ·803·