付年金现值系数再加上1,即“期数减1,系数值加1 【方法二】 第一步:将该n期年金作为后付年金,计算(-1)期期末的现值。 v=4.1-(+D)=4. PVIEA 第二步:根据复利终值的计算方法将(-1)期期末的值换算为第0期期末 的值,则先付年金在第0期期末的现值为: (1+1) A· PVIFA (1+1) 【方法三】 第一步:假设第一期的期初没有支付A元,则先付年金就变成了(m-1)期 的后付年金,根据后付年金现值计算公式可以求出这(n-1)期后付年金的现 l-(1+i) =A… PVIFA 第二步:由于第一期的期初实际支付了A元,因此要在 (m-1)期的后付年金现值中再加上A元,则先付年金在第0期期初的现值为 +i)- l-(1+1) +1] A·[PHFA-+1] (5)递延年金终值计算 递延年金的终值计算比较简单,只需按实际发生的收付次数作为后付年金 的期数,按后付年金终值的计算公式计算即可 012…mm+1 +
付年金现值系数再加上 1，即“期数减 1，系数值加 1”。 【方法二】 第一步：将该 n 期年金作为后付年金，计算（－1）期期末的现值。 V ＝ A · i i −n 1− (1+ ) ＝ A·PVIFA i , n 第二步：根据复利终值的计算方法将（－1）期期末的值换算为第 0 期期末 的值，则先付年金在第 0 期期末的现值为： V0 ＝ A · i i −n 1− (1+ ) · （1＋i） ＝ A ·PVIFA i , n · （1＋i） 【方法三】 第一步：假设第一期的期初没有支付 A 元，则先付年金就变成了（n－1）期 的后付年金，根据后付年金现值计算公式可以求出这（n－1）期后付年金的现 值。 V ＝ A · i i −( n− ) − ( + ) 1 1 1 ＝ A·PVIFA i , n-1 第二步：由于第一期的期初实际支付了 A 元，因此要在 （n－1）期的后付年金现值中再加上 A 元，则先付年金在第 0 期期初的现值为： V0 ＝A· i i −( n− ) − ( + ) 1 1 1 ＋A ＝A ·[ i i −( n− ) − ( + ) 1 1 1 ＋1] ＝A·[PVIFA i , n-1＋1] （5）递延年金终值计算 递延年金的终值计算比较简单，只需按实际发生的收付次数作为后付年金 的期数，按后付年金终值的计算公式计算即可。 0 1 2 … m m+1 m+2 m+3 … m+n A A A … A
上图中,年金递延了m期后才发生,第1次收付发生在第(m1)期期末, 第n次发生在第(mn)期期末,此时只需看成一个n期的后付年金求终值即可。 因此,该递延年金的终值是 (1+i)"-1 A·FFA;.a (6)递延年金现值计算 递延年金现值的计算有两种方法 【方法一】 第一步:将递延年金看成为零点是m期期末,终点是(mm)期期末的n期后 付年金,利用后付年金现值的公式计算这n期收付额在第m期期末的现值V mr+I m+2 NT 1-(1+1) A·PIFA:.s 第二步:利用复利现值计算公式,将第m期期末的值换算到第0期期末的价 A 1-(1+i) (1+1) [方法二]: 第一步:分别计算m期与(m+n)期的后付年金的现 l-(1+) =A·PFA:. 1-(1+1)- =A·PHFt, 第二步:将两个后付年金的现值相减,即为递延年金的现值。 A·PF.-A·PHr
上图中，年金递延了 m 期后才发生，第 1 次收付发生在第(m+1)期期末， 第 n 次发生在第(m+n)期期末，此时只需看成一个 n 期的后付年金求终值即可。 因此，该递延年金的终值是： Vn ＝ A · i i n (1+ ) −1 ＝ A·FVIFA i , n （6）递延年金现值计算 递延年金现值的计算有两种方法： 【方法一】 第一步：将递延年金看成为零点是 m 期期末，终点是(m+n)期期末的 n 期后 付年金，利用后付年金现值的公式计算这 n 期收付额在第 m 期期末的现值 Vm。 0 1 2 m m+1 m+2 … m+n A A … A Vm Vm＝ A · i i −n 1− (1+ ) ＝ A·PVIFA i , n 第二步：利用复利现值计算公式，将第 m 期期末的值换算到第 0 期期末的价 值。 V0 ＝ A · i i −n 1− (1+ ) · （1＋i）-m ＝ A · PVIFA i , n· PVIF i , m [方法二]： 第一步：分别计算 m 期与(m+n)期的后付年金的现值。 V0＝ A · i i −m 1− (1+ ) ＝ A·PVIFA i , m V0＝ A · i i −(m+n ) 1− (1+ ) ＝ A·PVIFA i , m+n 第二步：将两个后付年金的现值相减，即为递延年金的现值。 V0 ＝ A·PVIFA i , m+n－A·PVIFA i , m
【例题7】某公司准备开发新产品,该新产品的寿命周期为10年。项目投产前 年无收益,后七年每年可净赚10000元,年利率为 10%,问该项目预计总收益的现值是多少? 解:V。= AXPVIFA.×PVIF, 10000XPVIFA 0,7XPVIF 10.3 【例题8】有三种付款方式,第一种付款方式是现在起15年内每年末支付10 万元,第二种付款方式是现在起15年内每年初支付9.5万元,第三种付款方 式是前5年不支付,第6年起到第15年每年末支付18万元,假设存款利率为 0%,哪一种付款方式最有利? 从题意分析可知:第一种付款方式属于后付年金,第二种付款方式属于先 付年金,第三种付款方式属于递延年金。 【方法一】如果选择比较的基准是15年末,则计算各种付款方式第15年末的 终值如下: 第一种付款方式 =A·FFA,=10× FVIFA IO 10×31.772=317.72(万元) 第二种付款方式 =9.5× FVIFA I0,×(1+10%) =9.5×31.772×(1+10%)=332.02(万元) 第三种付款方式: 18×15.9 286.866(万元) 第三种方式支付额的终值最低,故应选择第三种方式。 【方法二】如果选择比较的基准是现在,即第1年初,则计算各种付款方式的 现值如下: 第一种付款方式 h=A·PH.=10×PVFm, 第二种付款方式
【例题 7】某公司准备开发新产品，该新产品的寿命周期为 10 年。项目投产前 三年无收益，后七年每年可净赚 10000 元，年利率为 10%，问该项目预计总收益的现值是多少？ 解：V0 ＝ A×PVIFAi，n×PVIFi，m ＝ 10000×PVIFA 10%，7×PVIF 10%，3 ＝ 10000×4.868 × 0.751＝36559（元） 【例题 8】有三种付款方式，第一种付款方式是现在起 15 年内每年末支付 10 万元，第二种付款方式是现在起 15 年内每年初支付 9.5 万元，第三种付款方 式是前 5 年不支付，第 6 年起到第 15 年每年末支付 18 万元，假设存款利率为 10%，哪一种付款方式最有利？ 解：从题意分析可知：第一种付款方式属于后付年金，第二种付款方式属于先 付年金，第三种付款方式属于递延年金。 【方法一】如果选择比较的基准是 15 年末，则计算各种付款方式第 15 年末的 终值如下： 第一种付款方式： V15 ＝ A·FVIFA i , n ＝ 10×FVIFA 10% , 15 ＝ 10×31.772 ＝ 317.72（万元） 第二种付款方式： V15 ＝ A· FVIFA i , n·（1+ i） ＝ 9.5× FVIFA 10% , 15×（1+10%） ＝ 9.5×31.772×（1+10%）＝ 332.02（万元） 第三种付款方式： V15 ＝ A·FVIFA i , n ＝ 18×FVIFA 10% , 10 ＝ 18×15.937 ＝ 286.866（万元） 第三种方式支付额的终值最低，故应选择第三种方式。 【方法二】如果选择比较的基准是现在，即第 1 年初，则计算各种付款方式的 现值如下： 第一种付款方式： V0 ＝ A·PVIFA i , n ＝ 10×PVIFA 10% , 15 ＝ 10×7.606 ＝ 76.06（万元） 第二种付款方式：