P=F×(1+-) 3.年金的计算 年金( Annuity)是指等额、等时间间隔的系列收支。主要有后付年 先付年金、递延年金和永续年金 ◆后付年金又称为普通年金 Ordinary Annuity),是指每期期末收付的年金。 ◆先付年金又称为预付年金或即付年金,是指每期期初收付的年金 ◆递延年金指第一次支付发生在第二期或第二期以后的年金 ◆永续年金是指无限期的定额支付的年金,是后付年金的一种特例,即n→ (1)后付年金终值计算 已知年金A,期数n,利率i,求第n期期末的终值之和V (m-1) A t+++1) +4+++i) +t+i) n期年金的终值可以分解为n个复利终值之和,即 V=A(l-+i A(1+i)“+…+A(1+1)+A (1)式两边同时乘以(1+i)得 V(1+i)=A(1+i)+A(1+1)“+…+A(1+i)(2) (2)式减去(1)式得 V(1+i)-V=A(1+1)"-A (1+i)-1 A·FIF 上式中FFA 称为后付年金终值系数,可通过查表取
P＝ F ×（1＋ m i ） - m n 3．年金的计算 年金（Annuity）是指等额、等时间间隔的系列收支。主要有后付年金、 先付年金、递延年金和永续年金。 ◆后付年金又称为普通年金(Ordinary Annuity)，是指每期期末收付的年金。 ◆先付年金又称为预付年金或即付年金，是指每期期初收付的年金。 ◆递延年金指第一次支付发生在第二期或第二期以后的年金。 ◆永续年金是指无限期的定额支付的年金，是后付年金的一种特例，即 n→ ∞。 （1）后付年金终值计算 已知年金 A，期数 n ，利率 i , 求第 n 期期末的终值之和 Vn 0 1 2 3 … （n－1） n A A … A A A（1＋i） …… A（1＋i）n-2 A（1＋i）n-1 n 期年金的终值可以分解为 n 个复利终值之和，即： Vn= A（1＋i）n-1 ＋ A（1＋i）n-2＋…＋ A（1＋i）＋A （1） （1）式两边同时乘以（1+ i）得： Vn（1＋i）= A（1＋i）n ＋ A（1＋i）n-1＋…＋A（1＋i） （2） （2）式减去（1）式得： Vn（1+ i）－ Vn＝ A（1+ i） n －A Vn ＝ A · i i n (1+ ) −1 ＝ A·FVIFA i , n 上式中 FVIFA i , n＝ i i n (1+ ) −1 称为后付年金终值系数，可通过查表取 得
【例题4】有甲乙两种付款方式,一种是现在起5年内每年末支付100万元 另一种是第3年末支付200万元,第5年末再支付360万元,假设存款利率为 10%,应选择哪种付款方式? 甲付款方式: 100100100100100 乙付款方式 如果选择在5年末进行比较,分别计算两种支付方式第5年末的终值,计算如 (1+) A· FVIFA 100× FVIFA Ion,=100×6.1051 =610.51(万元) 乙=P(1+i)“+360=200×(1+10%)2+360 02(万元) 显然乙付款方式的总支付额较低。因而,应选择乙付款方式 (2)后付年金现值计算 已知年金A,利率i,期数n,求现值V A(1+i) A(1+1) A(1+i)-a-0 A(1+1)
【例题 4】有甲乙两种付款方式，一种是现在起 5 年内每年末支付 100 万元， 另一种是第 3 年末支付 200 万元，第 5 年末再支付 360 万元，假设存款利率为 10%，应选择哪种付款方式？ 解：甲付款方式： 0 1 2 3 4 5 100 100 100 100 100 乙付款方式： 0 1 2 3 4 5 200 360 如果选择在 5 年末进行比较，分别计算两种支付方式第 5 年末的终值，计算如 下： V 甲 ＝ A · i i n (1+ ) −1 ＝ A·FVIFA i , n ＝ 100×FVIFA 10% , 5＝100×6.1051 ＝ 610.51（万元） V 乙 ＝ P×（1＋i）n＋360＝200×（1+10%）2＋360 ＝ 602（万元） 显然乙付款方式的总支付额较低。因而，应选择乙付款方式。 （2）后付年金现值计算 已知年金 A，利率 i，期数 n，求现值 V0 0 1 2 3 （n－1） n A A … … A A A（1＋i） -1 A（1＋i） -2 …… A（1＋i）- (n-1) A（1＋i）-n
n期年金的现值可以分解为n个复利现值之和,即: l=A(1+i)-+A(1+i)=+…+A(1+i) (1) (1)式两边同时乘以(1+i)得 (1+i)=A(1+i)°+A(1+1)=+…+A(1+i)-(2) (2)式减去(1)式得 (1+1)-=A-A(1+1) l-(1+i) A· PVFA 上式中PWFM小1-(1+)称为后付年金现值系数,可通过查表取得 【例题5】某投资者现将1000万元投资于一项目,假设该项目有效期为10年, 10年中每年末可产生等额资金回收。假设他要求投资报酬率不低于10%,则每 年应至少回收多少资金? Vo =A 1-(1+n) A· PVIFA A=l÷PIF 1000÷ PWFA =1000÷6.1446=162.74(万元) 即:每年应至少回收162.74万元资金 【例题6】某投资者现在投资1000万元,假设该项目有效期为5年,5年中 每年末可回收资金280万元,则该项投资的报酬率为多高? H=A·PIFA:.s PHFa=V÷A=1000÷280=3.5714 查一元年金现值系数表可知: 1 =12% PVIFA I 3.6048 PVIFA J 3.4331 运用插值法 i-12%3.5714-3.6048 4%-12%3.4331-3.6048 1=12.39% 该项投资的报酬率为12.39%
n 期年金的现值可以分解为 n 个复利现值之和，即： V0= A（1＋i） -1 ＋ A（1＋i） -2＋…＋ A（1＋i） -n （1） （1）式两边同时乘以（1＋i）得： V0（1＋i）= A（1＋i）0 ＋A（1＋i）-1＋…＋A（1＋i）-n+1 （2） （2）式减去（1）式得： V0（1＋i）－ V0＝ A－ A（1＋i）-n V0 ＝ A · i i −n 1− (1+ ) ＝ A·PVIFA i , n 上式中 PVIFA i , n＝ i i −n 1− (1+ ) 称为后付年金现值系数，可通过查表取得。 【例题 5】某投资者现将 1000 万元投资于一项目，假设该项目有效期为 10 年， 10 年中每年末可产生等额资金回收。假设他要求投资报酬率不低于 10%，则每 年应至少回收多少资金？ 解： ∵V0 ＝ A · i i −n 1− (1+ ) ＝ A·PVIFA i , n ∴A ＝ V0÷PVIFA i , n ＝ 1000÷PVIFA 10% , 10 ＝ 1000÷6.1446 ＝ 162.74（万元） 即：每年应至少回收 162.74 万元资金。 【例题 6】 某投资者现在投资 1000 万元，假设该项目有效期为 5 年，5 年中 每年末可回收资金 280 万元，则该项投资的报酬率为多高？ 解： ∵ V0 ＝ A·PVIFA i , n ∴PVIFA i , n ＝ V0 ÷ A＝1000÷280＝3.5714 查一元年金现值系数表可知： i ＝12% PVIFA 12% , 5 ＝ 3.6048 i ＝14% PVIFA 14% , 5 ＝ 3.4331 运用插值法： − − 14 12 i 12 ＝ 3 4331 3 6048 3 5714 3 6048 − − i＝12.39% 即：该项投资的报酬率为 12.39%
(3)先付年金终值计算 (n-1)n +++i) tt+i) H1+) 上图表示的是一个n期的先付年金,第一次支付在第一年的年初(第0 年末),第n次支付在第n年初(第n-1年末) 先付年金终值的计算有三种方法 【方法一】将其分解为n个复利终值的计算,即: lA(1+1)“+A(1+1+…+A(1+ (1)式两边同时乘以(1+i)得: V(1+i)=A(1+i)m+A(1+i)2+…+A(1+i)2(2) (2)式减去(1)式得 V(1+1)-V=A(1+1)-A(1+i (1+i) 1]=A·(FV 上式中(FIFA,m-1)为先付年金终值系数,它是(n+1)期的后付年 金终值系数再减去1,即“期数加1,系数值减1”。 【方法二】 第一步:将该n期年金作为后付年金,计算其终点第(m-1)期期末的终值 根据后付年金终值计算公式,则有第(m-1)期期末的终值: (1+i) 第二步:根据复利终值的计算方法将(m-1)期期末的终值换算为第n期期 末的终值,则先付年金在第n期期末的终值为: =A.(1+)-1 (1+1)=A·FIF·(1+) 【方法三】
（3）先付年金终值计算 0 1 2 3 … （n－1） n A A A …… A A（1＋i） … A（1＋i）n-2 A（1＋i）n-1 A（1＋i） n 上图表示的是一个 n 期的先付年金，第一次支付在第一年的年初（第 0 年末），第 n 次支付在第 n 年初（第 n－1 年末）。 先付年金终值的计算有三种方法： 【方法一】将其分解为 n 个复利终值的计算，即： Vn= A（1＋i）n ＋A（1＋i）n-1＋…＋ A（1＋i） （1） （1）式两边同时乘以（1＋i）得： Vn（1＋i）= A（1＋i）n+1 ＋A（1＋i）n＋…＋A（1＋i）2（2） （2）式减去（1）式得： Vn（1＋i）－ Vn＝ A（1＋i）n+1 －A（1＋i） Vn ＝ A·[ i i n 1 1 1 ( + ) − + －1]＝ A·（FVIFA i , n+1－1） 上式中（FVIFA i , n+1－1）为先付年金终值系数，它是（n＋1）期的后付年 金终值系数再减去 1，即“期数加 1，系数值减 1”。 【方法二】 第一步：将该 n 期年金作为后付年金，计算其终点第（n－1）期期末的终值。 根据后付年金终值计算公式，则有第（n－1）期期末的终值： V ＝ A · i i n (1+ ) −1 第二步：根据复利终值的计算方法将（n－1）期期末的终值换算为第 n 期期 末的终值，则先付年金在第 n 期期末的终值为： Vn ＝A· i i n (1+ ) −1 ·（1＋i）＝ A·FVIFA i , n·（1＋i） 【方法三】
第一步:假设第n期期末也支付了A元,则先付年金就变成了 (n+1)期的后付年金,根据后付年金终值计算公式可以求出这(n+1)期后 付年金的终值。 V= A A·FFAx,a 第二步:由于第n期期末并没有实际支付A元,因此要从 (n+1)期的后付年金终值中再减去A元,则先付年金在第n期期末的终值为 (1+i)"-1 A=A· (1+n)“-1 A·(FIF.a-1) (4)先付年金现值计算 (n-1)n A A(1+i) A(1+i) A(1+1) 先付年金现值的计算可以有三种方法: 【方法一】 将其分解为n个复利现值的计算, 1=A+A(1+i)+…+A(1+i) (1) (1)式两边同时乘以(1+1)得 l(1+)=A(1+i)+A+…+A(1+ -u-2)(2) (2)式减去(1)式得 (1+i-V=A(1+i)-A(1+i)-- =A·r1-(1+0)+1]=A·LPHF-+1] 中(PFA,1+1)称为先付年金现值系数,它是(n-1)期的后
第一步：假设第 n 期期末也支付了 A 元，则先付年金就变成了 （n＋1）期的后付年金，根据后付年金终值计算公式可以求出这（n＋1）期后 付年金的终值。 V ＝ A · i i n 1 1 1 ( + ) − + ＝ A ·FVIFA i , n+1 第二步：由于第 n 期期末并没有实际支付 A 元，因此要从 （n＋1）期的后付年金终值中再减去 A 元，则先付年金在第 n 期期末的终值为： Vn ＝ A· i i n 1 1 1 ( + ) − + －A ＝A ·[ i i n 1 1 1 ( + ) − + －1] ＝ A·（FVIFA i , n+1－1） （4）先付年金现值计算 0 1 2 … （n－1） n A A A … A A（1＋i）-1 A（1＋i）-2 …… A（1＋i）- (n-1) 先付年金现值的计算可以有三种方法： 【方法一】 将其分解为 n 个复利现值的计算，即： V0 ＝A ＋A（1＋i）-1＋…＋A（1＋i）- (n-1) （1） （1）式两边同时乘以（1＋i）得： V0（1＋i）= A（1＋i）＋ A ＋…＋A（1＋i） - (n-2) （2） （2）式减去（1）式得： V0（1＋i）－ V0＝ A（1＋i）－A（1＋i）- (n-1) V0 ＝ A ·[ i i −( n− ) − ( + ) 1 1 1 ＋1]＝ A·[PVIFA i , n-1＋1] 上式中（PVIFA i , n-1 ＋1）称为先付年金现值系数，它是（n－1）期的后