复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（习题解答与试题）第三章补充题目

第三章补充题目 1.设100A010=456,求A 001(001丿(789 010 解100是初等矩阵E(,2,其逆矩阵就是其本身 001 0 010是初等矩阵E(1,21),其逆矩阵是 01 E(1,2(-1)=010 001 01012310-1 A=100456010 001人789001 45610-1)(452 123010=122 789人001)(782 2.试利用矩阵的初等变换,求下列方阵的逆矩阵:

第三章补充题目 1 设                          987 654 321 100 010 101 100 001 010 A  求 A 解         100 001 010 是初等矩阵 E(1 2) 其逆矩阵就是其本身         100 010 101 是初等矩阵 E(1 2(1)) 其逆矩阵是 E(1 2(1))           100 010 101                            100 010 101 987 654 321 100 001 010 A                            287 221 254 100 010 101 987 321 654  2 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵

(1)315 321100(321100 解315010~0-14-110 323001(002-101 203/20-1/2)(300722-9/2 0-1011-2~0-101 (002-101)(001-l/201/2 00762/3-3/2 010-1-12 001-1/201/2 723 故逆矩阵为 611202 02 1-2-3-2 0121

(1)         323 513 123  解         100 010 001 323 513 123 ~           101 011 001 200 410 123 ~            101200 211010 2/102/3023 ~            2/102/1100 211010 2/922/7003 ~            2/102/1100 211010 2/33/26/7001 故逆矩阵为                2 1 0 2 1 211 2 3 3 2 6 7  (2)              1210 2321 1220 1023 

解 3010 222 0232 2 1000 0 000 0 2 000 2142 00 292 151 000 0 030 0100 000 2100 3212 0010 000 030 0142 1000 2100 210 0012 1036 1000 00 000 2036 01402160 000 012 2036 4160

解             1000 0100 0010 0001 1210 2321 1220 1023 ~             0010 0301 1000 0100 1220 5940 1210 2321 ~               2010 4301 1000 0100 1200 1100 1210 2321 ~              10612 4301 1000 0100 1000 1100 1210 2321 ~               10612 6311 10`10 2211 1000 0100 0010 0021 ~               10612 6311 1010 4211 1000 0100 0010 0001

11-2-4 故逆矩阵为_019 6 21-6-10 3(1设A=22 B=2 求X使AX=B 解因为 (4,B)=22122-010-15-3, 001124 102 所以X=AB=-15-3 124 02 (2)设A=2-13|,B 求X使XA=B 解考虑AX=B.因为 02-312),(1002-4 (4,B)=2-132-3|~010-17 13-431)(001-14 所以X7=(4)B=-17

故逆矩阵为                10612 6311 1010 4211  3 (1)设            113 122 214 A             13 22 31 B  求 X 使 AXB 解 因为              13 22 31 113 122 214 BA ) ,(          412 315 210 100 010 001 ~ r  所以           412 315 210 1 BAX  (2)设           433 312 120 A          132 321 B  求 X 使 XAB 解 考虑 AT XT BT  因为             13431 32312 21320 ) ,( TT BA            41100 71010 42001 ~ r  所以              41 71 42 )( 1 TTT BAX 

从而x=B=_2-1 4.设A=01-1,AX=2X4+A,求X 解原方程化为(A-2EX=A.因为 (A4-2E,A)=0-1-101-1 10-1-101 10001 010-101 0011-10 所以x=(4-2E)A-101 5.从矩阵A中划去一行得到矩阵B,问A,B的秩的关系怎 样? 解r(A)≥r(B)

从而            474 1 112 BAX  4 设             101 110 011 A  AX 2XA 求 X 解 原方程化为(A2E)X A 因为               101101 110110 011011 AEA ) ,2(            011100 101010 110001 ~  所以              011 101 110 )2( 1AEAX  5 从矩阵 A 中划去一行得到矩阵 B 问 A B 的秩的关系怎 样? 解 r(A)r(B)