复旦大学信息科学与工程学院 《线性代数》期终考试试卷 (A卷)共9页 课程代码:INFO120007.0 考试形式:闭卷2008年1月17日13:00-15:0 (本试卷答卷时间为120分钟,答案必须写在试卷上,做在草稿纸上无效) 专业 学号 姓名 成绩 题号 五六|七|八总分 得分 计算n阶行列式的值:(共20分) ⌒装订线 (10分) 内 x a 不要答题 第1页
第 1 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 复 旦 大 学 信 息 科 学 与 工 程 学 院 《线性代数》期终考试试卷 （A 卷）共 9 页 课程代码：INFO120007.0_ 考试形式：闭卷 2008 年 1 月 17 日 13:00-15:00 （本试卷答卷时间为 120 分钟，答案必须写在试卷上，做在草稿纸上无效） 专业 学号 姓名 成绩 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 一、 计算ｎ阶行列式的值： （共 20 分） 1. a a a a x a a a x a a a x a a a x a a a x a a a a An − − − − − − − − − − = （10 分）
n-1 n Bn (10分) (n-2)0 000 n-1 (n-1) 第2页
第 2 页 2. 0 0 0 1 ( 1) 0 0 0 ( 2) 0 0 2 2 0 0 1 1 0 0 0 1 2 3 1 − − − − − − − − = n n n n n Bn （10 分）
二、假设 Frobenius矩阵 10 F=01 000 ,其中a,≠0 00 (1)求逆阵F- (2)计算: F,其中F是行列式第行,第j列元素所对应的代数余子式。(11分) ⌒装订线内不要答题 第3页
第 3 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 二、假设 Frobenius 矩阵： 1 2 1 0 0 ... 0 1 0 ... 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 ... 1 n n n a a F a a − − − − = − − ，其中 an 0。 （1）求逆阵 −1 F ； （2）计算： = = n i n j Fij 1 1 ，其中 Fij 是行列式 F 第 i 行，第 j 列元素所对应的代数余子式。（11 分）
三、设E1,E2E32E4是复数域上四维线性空间V的一组基,T是V上的一个线性变换,它在这组 基下的矩阵为A= ,即T(51,E2,63,E4)=(E1,E2,E3,E4)A。 1-1-12 (1)求T的所有的特征值与特征向量 (2)求一个正交阵Q使得QAQ为对角阵。(12分) 第4页
第 4 页 三、设 1 2 3 4 , , , 是复数域上四维线性空间 V 的一组基， T 是 V 上的一个线性变换，它在这组 基下的矩阵为 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 A −−− − − − = − − − −−− ，即 T( 1 , 2 , 3 , 4 ) = ( 1 , 2 , 3 , 4 )A。 （1）求 T 的所有的特征值与特征向量； （2）求一个正交阵 Q 使得 Q AQ T 为对角阵。(12 分)
四、证明:任何实二次型f(x1,x2…x)=XAX的标准形不是唯一的,但规范形是唯一的。(共 ⌒装订线内不要答题 第5页
第 5 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 四、证明：任何实二次型 1 2 ( , , , ) T n f x x x X AX = 的标准形不是唯一的，但规范形是唯一的。（共 12 分）