复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（习题解答与试题）第二章补充题目

第二章补充题目 123 设A B=-1-24,求3AB-2A及AB 051 解3AB-2A=311 1H3 058 21322 0-56 1-1=-2-1720, 290 429-2 123)(058 AB=11 24=0-56 2.计算下列乘积 23|2

第二章补充题目 1 设           111 111 111 A           150 421 321 B  求 3AB2A 及 AT B 解                             111 111 111 2 150 421 321 111 111 111 AAB 323                              2294 20172 22132 111 111 111 2 092 650 850 3                             092 650 850 150 421 321 111 111 111 BAT  2 计算下列乘积 (1)                  1 2 7 075 321 134 

3 4×7+3×2+1×1(35 解 1×7+(-2)×2+3×1=6 57 5×7+7×2+0×1)(49 2(1232 解(123)2=(1×3+22=10 2x(-1)2×2(-24 12)=1×(-1)1×2 3×(-1)3×2 21400-12 1400-12 6-78 解 1-1341 20-5-6 2

解                  1 2 7 075 321 134                 102775 132)2(71 112374          49 6 35  (2)         1 2 3 )321(  解         1 2 3 )321( (132231)(10) (3) )21( 3 1 2          解 )21( 3 1 2                       23)1(3 21)1(1 22)1(2             63 21 42  (4)                     204 131 210 131 4311 0412  解                     204 131 210 131 4311 0412          6520 876 

a12a1 (5)(x x2 x3)a2 a22 a23x2 q12a1 (x x, x3 22a2 a3a23a3人x M =(a1x+012X2+01x301X+0x+023X①13x1+02X2+03x3)x2 =a1x2+a2x2+a32x2+2a12x1x2+2a1x2+2a22x3 3.举反列说明下列命题是错误的 (1)若A2=0,则A=0; 解取A=0 0 则A2=0,但A≠0 2)若A2=A,则A=0或A=E; 解取4(0)0但0且ME (3)若AX=Ay,且A≠0,则XY

(5)                 3 2 1 332313 232212 131211 321 )( x x x aaa aaa aaa xxx  解                 3 2 1 332313 232212 131211 321 )( x x x aaa aaa aaa xxx (a11x1a12x2a13x3 a12x1a22x2a23x3 a13x1a23x2a33x3)         3 2 1 x x x 322331132112 2 333 2 222 2 111      222 xxaxxaxxaxaxaxa  3 举反列说明下列命题是错误的 (1)若 A2 0 则 A0 解 取        00 10 A  则 A2 0 但 A0 (2)若 A2 A 则 A0 或 AE 解 取        00 11 A  则 A2 A 但 A0 且 AE (3)若 AXAY 且 A0 则 XY  解 取

X 01 则AX=AY,且A≠0,但X≠Y 4.设A=/10 求A2,A3,…,A 解A2=(1010 λ1人x1(241 A3=42A 2λ1人1(3元1 A 5.设A=041,求A (002 解首先观察 λ10Y10)(x221 A2=0元10元1=0x22 002人002)(002 33232 A3=A2.A=0 23 322 00O

       00 01 A          11 11 X         10 11 Y  则 AXAY 且 A0 但 XY  4 设        1 01  A  求 A2  A3     Ak  解                    12 01 1 01 1 2 01  A                     13 01 1 01 12 23 01  AAA               1 01 k Ak  5 设             00 10 01 A  求 Ak  解 首先观察                        00 10 01 00 10 01 2 A          2 2 2 00 20 12               3 23 23 23 00 30 33      AAA 

244A362 A=A3.A=024 002x4 25524100 A5=A4·A=0A5 00A5 补kx1(k-Dx 20 008k2 00 用数学归纳法证明 当k=2时,显然成立 假设k时成立,则k+1时, 誉k1A(k-1 -2 AAH=A.A-02k10元1 00 4(+12秒1(+1)x 0x+1(k+1)2-1 0 由数学归纳法原理知

         4 34 234 34 00 40 64      AAA           5 45 345 45 00 50 105      AAA             k A k kk kkk k kk k    00 0 2 )1( 1 21          用数学归纳法证明 当 k2 时 显然成立 假设 k 时成立，则 k1 时，                                00 10 01 00 0 2 )1( 1 21 1 k kk kkk kk k kk k AAA                    1 11 111 00 )1(0 2 )1( )1( k kk kkk k kk k     由数学归纳法原理知