空间坐标依然是力学变量，而时间不是。在量子力学里，时间具 有特殊的地位，它是衙写任何系统演化进程的一个普适的参数， 而不是描写每个系统物理性质的力学变量。时间当然可以被测 ,但它不是“可观察量”，而只是在观察中指示过程演进的一个 、/参是。这彬，在和对论里争得同室间坐标平梦夜的时饲变纸 在量了力学限义落到了一个特殊的位置。我们将在第五章比较详 细地讨论这个问题。在这里我们限于指出，力学变最原意不是描 写机械运动的录，而是“动力学变录”，本身就含有随时间而变化的 意义。那么，把描写这种变化的时间参数不计入力学变量，就是 件很自然的事了。 其次，应当强调，描写一个物理系统需要多少个力学变量，原 则上：没有什么限制，特别是不受对这系统的经典描写的限制。例 如，很简单的一个质子，在经典力学里，只有固有质量和母有电街 这两个特征量。在量子理论的描写里，质子还具有固有的角动 量一一自旋。自旋角动量是人们发现的第一个不可以州经典座 标和动量等力学变量表示的量子理论特有的力学变量。随着粒子 物理学的发展，我们又陆续给质子派上了重子数、超荷、粲数… 等一弗可加量子数，同时又有空间字称、同位旋字称等反演量子数 和同位旋、么正旋等推广的“角动量”。由此可见，没有什么先验的 原则来决定描写一个质子需要多少个量子数，或者对应于这些量 子数的多少个力学变量。事实上，我们对物理系统的描写的复杂 程度，取决于我们对它们认识的深入程度。谁也不能说，我们今天 已经走到了认识的终点。就已经达到的认识说来，我们看到，在量 子物理学里，微观粒子话动的舞台在经典物理圣里宽广得多，不 是普通的三维空间所包容得了的。只要有需要，就不仅可以在原有 的空间自由度内引进新的力学变显，而凡可以扩充到前所未闻的、 的空问出度完全独立的新的门山度，新的空间，以及进在 ·24·
新的空间自电度内的全新的力学变量。这就是量下理论里的力学 变量同经典理论里的物理址之间的实质性差别。 我们要讨论的最后一个原始概念是态的概念。这也是一个很 难预先精确定义的概念。如上所述，Dirac对可观察量的规定需 要用到态的概念。更常见的-一种做法是，用一组力学变量的取值 (本征值)来规定一个特殊的状态。实际上，具体先引入态还是先 引入力学变量，都是可以的。我们在这里把它们一起作为未经严 格定义的原始概念先年出来，在讨论量子力学基本原理的过程中 反复对它们加深理解。 量子力学用Schr心dinger方程里的中函数来描写系统的状 态。起初谁也不知道中是个什么东西，只是因为Schrodinger方 程形式上同经典物理学的被动方程很相象，所以把中叫做波函数， 这个名称一直沿用到现在。当然，还可以把中函数当做是de Bro glie波的波函数，Schr心dinger正是在这~一概念的基趾土提出他的 方程的。可是，当时de Brogiie Schro心dinger对于这种l物质粒 子（电子）相联系的波动，持着不「同的解释。直到Born的儿率诠释 提出来之后，才确定妙函数是发现粒子的几率幅；微观粒了的状 态，就是虫L率顿地来描写的。以，在下面我们一般把中叫做态 函数面不用波函数的叫法。 必须强调，量子力学里的态函数单，同经典物理学里描写系统 的代态方程有着根本的区别。在经典物理学里，总是通过系统的 一些不同物理量之间所满足的确定关系，来描写物理系统的状态。 例如，描写质点简谐振湖的黑=Asin(ot十p),描写理想气体的 P=WT等等状态方程，都是用有关的物理量所满足的关系来 表示系统的状态及其变化。然而，量子力学里的态函数本身不 是力学变量，它不具有任何经典物理坐中的物理量的意义， 可以说，这一是量了理论里最惊人的持征，足鲨握收子力学 25·
基本概念的关键。系统的状态并不由物理最之间的关系直接确定， 态函数本身并不是物理量。如果按照经典物理学的习惯，认为中 /函数描写一种物理波动，或者把对于物理量的种种要求强加到中 函数身上，就难免要生出许多不必要的麻烦求，量子力学的所有 神秘之处，所有理解上的障碍，都司这一点有密切的关系。 既然态函数本身不描写物理量之间的关系，那么态函数的演 化也不直接描写物理景随时间的变化。在这种意义上说来，态好 象是某种超越于物理世界的东西，态函数确实是超越于经典物理 学的，但它却是量了理论里首要的概念。态本身不是物理量，但它 提供了各种力学变量的取值及其变化的知识。关于这一点，最好 的办法是先不要问为什么会是这样，而简单地把它接受下来。用 Feynman的话说就是：“谁也不知道它怎么会象那个样子。”如果 一定要钻牛角尖，那就会陷进谁也逃不出来的死胡同里去。”：) 以上对物理系统、力学变量和态这几个原始概念做了初步的 讨论，主要目的在于强调它有可经典物理学概念的区别。做子这些 准备，下一节我们就将详细陈述量子力学的基本假设。以上的讨 论不是！么定义，我们也不认为在陈述作为理论出发点的基本假 设之前，有可能对任何基本概念作出严格的定义。2我们磁过，对这 几个原始概念的认识，需要反复讨论、逐步深入。特别是对于志的 概念，我们将在第六章再作进一步的详细讨论。 2.2量子力学的善本假设 从物理系统、力学变量和态这儿个原始概念出发，就可以构蠹 出一套量子力学的基本假设。为了把注意力集中在其中的物理学 内容上，我们尽可能简化数学表述，采用一种简明的陈述方式。下 面要介绍的一套量子力学的基本假设，基本上以Marg6nau的讲 法21为监本，细节上做了一些改动，_并且进行我们自己认为适 ·26
当和必要的说明和讨论。 对量子力学的理论体系作出公理式的表述，首先要归功于 von Neumann在二十年代未的工作1。后来，他把这些工作，总 结在量子力学的数学基础>这本已成为经典的著作里1)。von Neumann的公理体系比较抽象，以Hilbert空间的数学为基础， 又包含了我们不准备接受的“波包编缩”假设。因而，我们比较倾 向于Margenau的比较简单明隙的一套公理基础。事实上，这是 被绝大多数物理学家承认并且使用的一套起码的基本假设。例如， 在我国广为流行的由国内外作者撰写的不同的儿本教科书5-)， 都明确地概括出同Margenau的陈述实际上被此等价或者非常接 近的一些基本假设。既然如此，我们并不认为以下的陈述是一成 不变、无法改动的。采用以上所指的几本教科书中任何一本里的 基本假设，对本书以下的讨论不会产生实质性的影响。 量子力学的基本假设可以概括为一组五条公设的形式： 公设()描写物理系统的每一个力学变量都对应于一个线 性算符。 算符代表施加在态函数上的二种数学运算，运算的结果得到 另一个态函数。例如，算符A作用在态函数中上，结果得到另· 个态函数P。用式子表示，就是 A9=p. (1) 首先要注意的是，这里把态函数同力学变量的地位截然分开 来了。力学变景表现为对态函数施加作用的算符，而不直接是描 写态函数的变量。这样，就给对态函数的解释留下了余地，也引起 了无穷的误解和争议。 其次，既然每个力学变量总同一定的算符相对应，我们常常对 它们不加区分，使用同一个符号去表示，运用同一个名称去称你呼它 们。例如，坐标“、动量卫，还有角动最J等等，这些符号都可以问时 ·2·
表示有关的力学变量以及同它们相对应的算符。有-一个例外是，与 √系统能景E相对应的算符，称为哈密顿算符H,这是由经典力学 传下来的叫法。至于时间t,上一节已经讲过，它不是量子力学里 的力学变量，因而没有对应的算符表示。 不同的算符所施行的运算，可以是对态函数简单地乘上某一 函数，可以是对态函数的微分运算，也可以是以矩阵形式表示的某 种变换，包括连续的和不连续的变换，例如在坐标空间中的平移、 转动和反射、反演等等，还可以是在自旋空间和同位旋（电荷）空间 中的运算…。至于如1何确定与每，一力学变量相对应的算符的具 体形式，是通过-·些特定的具体假定而实现的。这一部分内容不 必放到基本假设（公设）里面去， 最后，线性算符的意思是，算符对态函数的运算是线性的，或 者说算符对态函数施行的是线性变换。设算符A作用在态函数： 和种2上，分别得到p:和P2,即A,=p,1中2=P25那么，对线性 算符A总有A(中：十中2)=p:十p2。再普遍些，设c1和2是两个 任意（复）常数，算符A是线性的条件是 A(C1p1十c2p2)=c1Ap1÷C2Ap2:一 (2) :面举例的乘以一指定函数或者施行微分等运算，都明显地是线 性运算，所以表示这些运算的算符就是线性算符。假使有一个算 符A,它作用到态函数中上，结果得到中的平方，即A妙=2，那样 的算符就不是线性的，它不满条件(2)，在量子力学里用不到那样 的算符。 公设(1)每次测量一个力学变量所得到的结果，只可能是 与该力学变量相对应的算符的所有本征值当中的一个。 算符A的本征值是由下述本征值方程决定的： Aun-Gnua (3) 式中常数a.称为算符A的本征值，而a。则为相应的本征函嫩； 28