倒向随机微分方程的随机稳定性

D0I:10.13374.i8sn1001663x.1998.04.012 第20卷第4期 北京科技大学学报 Vol.20 No.4 1998年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.1998 倒向随机微分方程的随机稳定性* 张艳 秦明达 北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要 引进反Brown运动，反鞅等概念，并利用Lyapunov函数方法，讨论了如下形式的Ito型倒向 dy,=b(y )di-a(y t)dw,IE[0,T] 随机微分方程 的随机稳定性，得到了判据 (T)=5 a.s 关键词 倒向随机微分方程；反Brown运动；反鞅；随机稳定性 分类号0211.63 1990年，S.A.Peng"在对一般随机最大值原理的研究中引出了倒向随机微分方程（以下 简记为BSDE): dy,=f(v z)dt-=,dw,E[O.T] y(T)=5 a.s 并证明了在系数f满足Lipschitz条件下(*)的解存在唯一性.而后把这个方程用在金融市场 中，此时y,代表总投资，z,代表投资股票部分，y,一就代表投资证券部分.本文中根据经济环境 的制约，取z,=-oy,)的形式，于是可将(*)转化为下列Ito型BSDE: dy,=by)dt+)dw,E[0,T] (T)=5 a.s 其中b0y,)=f(y,-a(y,),),进而引进反Brown运动、反鞅等概念，并利用Lyapunov直接 法，研究了（⊙）的随机稳定性的充分条件， 1基本概念和记号 给定概率空间(2，F,P).记（或定义）E1维欧氏空间，E会[0，+x); La,B1≤P≤o):满足PJf(O'd<o}=1的随机过程fu,w的类； Ma,B1≤P<oo):满足∫eLa,]且Ef(0d<o的随机过程f(u,wm)的类： K:满足中eC(0p),E,(0)=0且中()关于u是严格递增的函数中的类；(0<p≤o): y(0t小)=. 1997-04-15收稿张拖女，26岁，硕士，现工作单位北京建筑工程学院 ·国家自然科学基金资助课题(No,19671004)

DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1998．04．012

Vol.20 No.4 张艳等：倒向随机微分方程的随机稳定性 .391· dy,b(y,1dt +av,)dw,, te[0,刀 考虑Ito型BSDE:(o) T)=5 a.S 其满足条件： 对于廿y,)∈E,×[0,刀，向量b0,)和矩阵0y,)=(o,0,),0,0y,),“,0x0,)T是 0少，)的连续函数，且对于某个常数B>0,和廿y2yeE,1[0,T]有： ,0-,0|+含，0-00|≤B-: b0|+2|,00s1+1川). 则(o)的解过程，w)存在且以概率1唯一.证明可参看文献[2]. 设(N)为(2，F,P)上任一递减左连续的σ-域族. 定义1一个连续(N)适应过程(W)叫做(V)Brown运动，如果0≤S<t≤T.W,-W与 N相互独立，并且成-而~NM0,1-). 定义2称《)为[0，刀上的(N)反鞅（相应地，反上鞅，反下鞅），如果)是()适应的， EXg<0且0≤s≤1≤T,有E[Xs川N=) a.s(相应地，≤，≥)，若《0>0，t[0, 刀且M)为(N)反上鞅，则称《0为(N)反正上鞅. 引理1（反上鞅不等式）如果0为N,=σ{S),1≤s≤T}反上鞅，则廿ε>0有 teto,T] 证明：令)=《T-),N,=N,,则X()为(N适应的，EX()<0,且(N)为F的一 递增的子σ-域族. 又因X()为(N)反上鞅，即0≤s≤t≤T,有E[XS)lN]≤() a.s. 所以有EN]=E[MT-N,-≤T-)=)因而，)为(N)上鞅. 由上鞅不等式，ε>0，有P [sup xw)>e E0,w) te[o,T] 即 E(红wm| 1e[0,T] 引理2若{f(),te[0,T]}为(N适应过程，且E6/()ds<∞，(0≤1≤).W,为[0，T]上 的反Brown运动，则有：f(u,w)dWN】=0a.s.(0≤4，<1，≤T). 证明：令f(,w=f(T-io).N=N,-,W,=W,-,类似引理1.即可证明. 2随机稳定性 现利用(o)的解过程(0构造一特殊的σ-域族

·392· 北京科技大学学报 1998年第4， 令F,=oy,t≤s≤乃，下，=∩F,则()是一递减左连续的o-域族. 显然，ytE0,T]关于（厅）是倒向适应的.设方程(o)中W,为(F)反Brown运动，且与W, e[0,j相互独立. 定义3(o)的平凡解y0=0称它是随机稳定的，如果ε<0和e<0,存在ò>0，使 [sup yrs(t,w)>e 当te0,T],l51<6时就有：P te[O,T] 对于函数V(y,)∈CE,×E,,E陆]，令二阶微分算子 L0y0= av b0,0+ 1∂2V 2iF18y oy a0,0, 这里a,=含0,0=12小 定理（随机稳定性）假设存在函数Vy,)=(Yy,),…,,)T满足： (H)EGE×[O,T],E],V,,Vn存在且连续，，)EE×[0,T]: (H)y00,)·o00.0eM[0,; (H8+L0,0≥g,9,0≥0,0,0∈Ex0,T5 H0.0=0,200≥a(U.0,eE×0,T],这里a6eK则 (){V0(0,),F,i=1,2,,m是反正上鞅，这里的0，[0，刀为系统(o)的解过程； ()随机系统(o)的平凡解是随机稳定的. 证明：()因为(o)中的W为(F)反Brown运动，又由(H,)和引理2知，廿E[0,T]和 EIfv(v(s),s)a(y(s),s)dwF]=0 a.s. 从而，EJTV(s,s)a(s,s)dW=E[FY,(s,s)a((s,)dW(D=]= E(ESv(v(s),s)a(v(s),s)dw.lFlly(T)=]=0 再由条件(H)及Ito公式，廿1e[0,T]有： 0sgW00=g,刀-E影+0o: d≤0y(D,T)-EJg%(),s,)ds≤(T),T), 所以廿e[0,T小，∈E,Eg0(0,,(i=1,2,,m存在，并且进一步还有： 民小R影+L%0=1.2m网包存在， 再次运用It心公式得，0≤1≤4，≤T,(0.0)式为 ote-oug+∫（+Lo0,t+∫aw-12.m) 又显然E{(V0(),).·o0(),)dWF,}=0 a.s

Vol.20 No.4 张艳等：倒向随机微分方程的随机稳定性 ·393· av. av. 由()知+L'v00,》d≥0.所以有，Ea+L~v00,01F小20(=1.2…m网 由(0.0)式知，Ey0))lF]≤0))a.s.(=1,2,…,m),即{V00,0,F}(G= 1,2,…,m)是反正上鞅； (i)由于V(y,)连续且V(0,)=0,故e>0,e>0,TD0,总存在一正数δ=6(T,e,e)<e, 使当1g1≤ò时就有(0.1)式：三化，)<ae)·e.另外，由⑩知{00，，F}i=1,2.…,m是 反正上鞅，从而(200，)，F}也是反正上鞅，于是当1G1≤0时，由反正上鞅不等式（引理1） 及(0.1)式：有： 含g刀 <Ei E[O,T] a(e) 再由条件(H,)易得Pr 灯0之“，同随机系统(o的平只解是道机稳定的。 ∈0，T] 参考文献 1 Peng S.A General Stochastic Maximum Principle for Optimal Control Problems.SIAM J Contorl Opim,1990,28(4):966 2 Gihman II.Differential Equation with Random Function.Kiev:Akad Nauk Ukrain SSR,1964.41 3胡宜达.随机微分方程稳定性理论.南京：南京大学出版社，1990.93 4 Peng S.Adapted Solution of Backward Stochastic Equation.System Control Lett,1990,14:55 Stochastic Stability of Backward Stochastic Differential Equation of Ito Type Zhang Yan Oi Mingda Applied Science School,UST Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT Some concepts such as inverse brownian motion,inverse martingle are introduced,and relative properties are investigated.By the method of Lyapunov function, the stochastic stability of backward stochatic differenttial equation(BSDE)of Ito type is dy,=b(y 1)dr+av t)dw E[O,T] studied as follow y(T)=a.s KEY WORDS backward stochastic differential equation;inverse Brown motion;inverse martingle;stochastic stability