42 高等数学重点难点100讲 第13讲利用阜调有界准则求数列极限 在极限理论中有这样一个准则:单调上升有上界的数列、单调下降有下界的数列必有极 限 这条准则的重要意义在于能使我们完全依据数列本身的两个特性(单调性与有界性) 来判定数列极限的存在而不必预先知道它的极限值,对数列的单调性的证明和有界性的估 计通常采用数学归纳法其关键是要建立数列相邻两项之间的关系式 1·2·3 ··7 例1设xn= 3·5…(2n-1) ,n=1,2,…,求lmxn 解先证明数列极限的存在性 显然x,>0(m=1,2,…),2=n+1<1,所以x,+<x(n=12… {xn}单调递减且有下界0 由准则知,im,存在设mx,=a,在等式x,=x,·n两边取极限得 imx,+!= limrn·lim忽 n82n+1 即 所以a=0. 于是, limx=0. 从上例可以看出利用单调有界数列必有极限这一准则求极限的一般方法是: (1)首先判断所给数列是否是单调有界的; (2)若是,设所求极限为a,并由相邻两项x与x+1的关系式两端取极限得一关于a的 方程; (3)解上面的方程求出a,即为所求的极限 例2设0<x0<1,{xn}满足条件:xn+1=x(2-xn)(n=0,1,2,…),求 limx. 解首先用数学归纳法证明数列单调有界 (1)当n=0时,0<x<1; (2)当n=k时,设有0<xk<1; (3)当n=k+1时,对所给关系式进行变形,得 进而有0<1-(1-x4)2<1,即0<x+1<D+)2<1 0<x<1, 0<1-x<1,0<(1 ∴{xn}有界,注意到xk1=x(2-x)>x4(k=0,1,2,…),故{x}单调增 imx存在,设 limx=a 在x x (2 )中取极限,得 limx+1= limx(2-limx,),即a=a(2-a),亦 即a(1-a)=0 因为a>x0>0,所以a≠0,于是,a=1,即 limx=1. 注意用该准则求极限时,必须先证明原数列的极限存在;然后,再去求该数列的极 限否则,可能出现荒谬的结论例如,对数列xn=n(n=1,2,…)有关系式 贸然地令n→∞取极限,便会导出 limr+1= limr+1.两边减去lmxn便得0=1,得出 这一荒谬结果的原因就是忽略了数列收敛这一前提
第13讲利用单调有界准则求数列极限 43 例3已知数列通项为 1 证明lmxn存在并求出极限值 证先证{xn}是单调递增数列 由通项知,x1=1,x2=1 因此,有x2>x1设x4>x-1,则 x"+1-x=1+ (1+x)(1+ 根据数学归纳法,即知{xn}单调增加 又当n≥2时,x1≥x=1,所以,1十xn <1,xn 1+x,< ∴{xn}是有界数列 由单调有界准则知,mxn存在,设其值为a,在等式x1+2xn两端令n→∞,得 +a由此解出a=1+√5 由于a>x1=1,所以要求的解是a=1+。5,即所求极限Imx 1+√5 2 例4设x1=10,x,=√6+xn,(n=1,2,…),试证数列{xn}收敛,并求其极限 分析先计算前几项来观察数列的单调有界性 x1=10,x2=√6+10=4<x1,x3=√6+4=√10<x2, x,=√6+√10<√6+4=√10=x3, x=√6+√6+√10>√6+√6+3=√6+3=3, √6+3=3 从前6项初步看出:{xn}递减,且有下界3,下面用归纳法证明之 证先证{xn}有下界,即xn>3(n=1,2,…) 当n=1时,x1>3 当n=k时,设有x>3,当n=k+1时,x1=√6+x>√6+3=3, ∴对一切自然数n,有xn>3 再证{xn}单调减少,即xn+1<xn(n=1,2,…) 6 已知xn>3(n=1,2,…), ∴{xn}单调减少.从而 limx存在,设为a 在关系式xn+1=√6十x,两端令n→∞,得 √6+a或 6=0,或(a+2)(a-3)=0. 因a≥3,故a+2≠0,于是a=3,即lmxn=3