58 高等数学重点难点100讲 第18讲连殃函数的几个重要定理(2) 定理1最大值最小值定理:在闭区间上连续的函数必有最大值与最小值 也就是说如果f(x)是闭区间[ab上的连续函数,则 (1)在闭区间[a,b]上至少存在一点c1,对闭区间[a,b]上的一切x值,恒有 f(x)≤f(c1) (2)在闭区间[a,b]上至少存在一点c2,对闭区间[a,b]上的一切x值,恒有 f(x)≥f(c2) 上述的f(c1)、f(c2)分别称作函数f(x)在闭区间[a,b上的最大值与最小值,即 f(c1)≤f(x)≤f(c2),x∈[a,b 注意函数有没有最大值或最小值的问题在理论上或实用上都很重要定理1指出 闭区间上的连续函数有最大最小值,定理的两个条件—闭区间,连续函数——缺一不可 如y=x在(0,1)内连续,但既无最大值也无最小值.又如定义在闭区间[0,2]上的函数: x+1,0≤x<1; y=f(x)={1 x+3,1<x≤2. 它在[0,2]上既无最大值又无最小值,但同时应注意到定理的条件仅是充分的而非必要的 例1设f(x)在(a,b)内连续,且limf(x)=-∞,limf(x)= 试证f(x)在(a, b)内有最大值 证对于M=八 2/,因为imf(x)= o,limf(x)=-∞,所以由极限定义 知:有足够小的a1>0,当x∈(a,a+81)时,f(x)<M,有足够小的2>0,当x∈(b 62,b)时,f(x)<M 又由f(x)在(a,b)内连续,从而f(x)在闭区间[a+1,b-82]上连续,由定理1知:存 在x∈[a+01,b-a2],使f(x0)≥f(x),x∈[a+81,b-02].进而知f(x0)≥M>f(x), x∈(a,a+δ1)∪(b-2,b) 总之,f(x0)≥f(x),x∈(a,b),即f(x)在开区间(a,b)内有最大值f(x) 读者可仿例1证下例 例2设f(x)在(a,b)内连续,且limf(x)=+∞,limf(x)=+∞,证明f(x)在(a b)内有最小值 由最值定理立即可推知定理2 定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界. 例3设f(x)在(-∞,+∞)内连续,且limf(x)=A,试证:f(x)在(-∞,+∞) 内有界. 证∴1imf(x)=A,对∈=1,有x>0,当|>x时,恒有|(x)-A|<1 即|Jf(x)|=|f(x)-A+A|≤|f(x)-A|+|A|≤|A|+1,x∈(-∞,X)U (X,+∞) 在闭区间[一x,X]上,()连续由定理2知,有M1>0,使1/(x)<M. 总之,对(一∞,+∞)上的一切x,有|f(x)|<M=mx{A|+1,M1},即f(x)在
第18讲连续函数的几个重要定理(2) 59 (-∞,+∞)有界 定理3(介值定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在这区间的端点取不同的 函数值f(a)=A,f(b)=B,则不论C是A与B之间的怎样的一个数,在开区间(a,b)内至 少有一点,使f()=C.这个结果叫做连续函数的介值定理 例4设f(x)在[ab]上连续,且a<c<d<b试证:存在∈[a,b],使 mf(c)+nf(d)=(m+n)f()(m,n为自然数) 证∵f(x)在闭区间[a,b]连续,f(x)在[a,b]上取得最大值M,最小值m,即 ≤f(x)≤M(a≤x≤b) 当然有 m≤f(c)≤M,m≤f(d)≤M, 进而有 (m+n)m≤mf(c)+nf(d)≤mM+nM=(m+n)M, 或 m≤m()+n(d)≤M 数p= mf (c)+nf(d) 介于最小值m与最大值M之间,由介值定理,必有∈[a,b]使 f()=mf(c)+nf(d) 即mf(c)+nf(d)=(m+n)f()(a≤5≤b). 由介值定理可推出下面的定理4 定理4(零点定理,也称为根的存在定理)设f(x)在[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异 号,则在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使f()=0 例5试证明方程x2x=1至少有一个小于1的正根 证设f(x)=x2-1,x∈[0,1],f(x)是闭区间[0,1]上的连续函数,且f(x)在区 间端点上的函数值异号: f(0)=-1<0,f(1)=1>0,即f(0)·f(1)<0 所以由介值定理知:至少存在一个∈(0,1)使得f()=0,即2=1. 这就证明了在0与1之间,所给方程至少有一个根 例6设f(x)在[0,1上连续,且0≤f(x)≤1,试证明至少存在一点c∈[0,1],使 f(c) 证要证明在[0,1]内至少有一点c,使f(c)-c=0,也就是要证明函数f(x)-x在 闭区间[0,1]上至少有一个零点,即存在点c∈[0,1],使 因此,考虑辅助函数 F(x)=f(r) F(x)在[0,1]上连续,F(0)=f(0)-0=f(0),F(1)=f(1)-1 ()若f(0)≠0,f(1)≠1,由0≤f(x)≤1知,f(0)>0,f(1)<1,故 F(0)·F(1)<0, 由根的存在定理,存在c∈(0,1),使F(c)=0,即f(c)=c (i)若f(0)=0,则取c=0∈[0,1] (i)若f(1)=1,则取c=1∈[0,1] 总之,存在c∈[0,1],使f(c)=c. 例7试证:一元三次方程x3+a1x2+a2x+a3=0至少有一个实根 证设∫(x)=x3+a1 +a,x
60 高等数学重点难点100讲 因limf(x)=-∞,故必存在一点A(A<0),使∫(A)<0. 又因lmf(x)=+∞,所以必存在一点B(B>0),使f(B)>0 因为f(x)是闭区间[A,B]上的连续函数,且在端点A,B处的值f(A)与f(B)异号,所 以至少存在一点∈(A,B),使f()=0,即一元三次方程f(x)=0至少有一个实根 一般地,同理可证,当n为奇数时,方程 +a1x”-1+…+ 0 至少有一个实根 例8设f(x)为连续函数,x=a,x=b是f(x)的两个相邻的根.试证:如果在(a,b) 内存在一点c,使f(c)>0,则f(x)在(a,b)内必处处为正 证用反证法,设d为(a,b)内一点,且f(d)<0,则f(c)·f(d)<0.由根的存在定 理知:在c,d之间至少有一点,使f()=0,可见x=为f(x)=0的一个根,这与题设 f(x)在(a,b)内无零点矛盾.所以f(x)>0,x∈(a,b) 例9设f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=f(1),试证:存在x。∈[0,1],使f(x。)= 证即要证函数()-(x+在01有个零点f()-(x+ Jer 考虑F()=()-八(x+),x∈[0,3]F()是[0.]上的连函数若对任何 x∈[o]均有F()≠0则由介值定理知在[,]上必有F()>0或F(x)<0不 妨设F(x)>0,当x分别取0,1,1,3时,则有 f(0) 4 F(0)>0 1()-1( 0 4 3 3 相加得f(0)-f(1)>0,即f(0)>f(1),这与∫(0)=f(1)矛盾.故存在x。∈ 0,使F(x)=0.即有x∈[0,1],使f(x)