16 高等数学重点难点100讲 第5讲极限定义 、数列极限的E—N定义 limr=a台对于任意给定的正数e,总存在正整数N,使得当n>N时,恒有 <ε 上述定义的内涵是:对于给定的E,说明总存在相应的N,而说明存在的最好方式,即是 具体找出来因此,证明极限存在的要点,即是对于给定的e,如何找相应的N,由于定义中 只需说明存在,并不需要找到最小的N,所以常用的处理方式是“放大与缩小”添加限制条 件等. 例1根据定义证明(1)im32、、%(2)lim2n-1 4 证(1)任给定c>0(不妨设∈<2)找N使/3n+1-2<9?+1 2+)21聊n>2(2-1,取N=[(2-1 ∴对任给定的>0(这里不妨设<t),取N= 当n>N时,有 <e,即有im3 2n+ 这种通过解不等式|xn-a|<E来求N的方法,是一种基本方法有时计算比较复杂 般可通过“放大”的技巧来求得一个较大的N,因为定义中只需要存在这样的N即可.如 2(2n+1)<∠1∠e,即n>g,取N=1 该例可通过:1 ,当n>N时,一样有 2(2n+1<e (2)有时为求N在“放大”过程中还需加一定的限制条件.对ε>0,找N使得 n2+n-4-0<c,即2n=1 n2+n-4 而 当n≥2时 2n 4 n2+n-4 (当n≥5时) 注意到极限过程是:n→∞,所以可以限制n≥5,则 2 <n<e,即有、VN 对任给的c>0,取N=max{5 (注意:N宁大勿小!),当n>N时 0<c即Iim2n-1 0. 小结用极限定义证明极限就方法而言,一般是采用先分析后综合的方法(如例1) 证明 limo=a的一般步骤为: 1)将|xn-a化简或适当地放大成|x。-a|≤n); (2)对任给的E>0,要使|x,-al<e,只须%n)<,由此解出n>(e); (3)取N=[e)];
第5讲极限定义 17 (4)当n>N时,恒有|xn-a|<e (5)综上,得; limx=a, 例2证明 lim Vn=1 证(1)把|vn-1化成|yn-11≤%n).令a=yn-1,易知a≥0,由此 得v=1+a,即n=(+y,展开成n=1+nm+(n1)2+…g 注意到上式右端各项的非负性,可得 n(n 2a2,即0≤a≤ 3或|vn-1≤Nn-1 P(n) (2)对任指定的e>0要使|n-1|<e,只须rn)=√n<(这里设n≥2) 解此不等式得:n>e)=+1. (3)取N=[(e)]=+ (4)对上述e>0,当n>N时,恒有|n-1|<ε (5)综上,得lmyn=1 二、函数极限的—8定义 limf(x)=A台对于任意给定的正数E>0,总存在正数a>0,使得当0<|x-x。< δ时,有|f(x)-A|<ε恒成立 例3根据定义证明:(1)lim√x=2; (2)limx2=9 证如例1,例2,仍采用先分析再综合的证明方法 (1)对任给定的c>0,找8,使|√ 2|<.而|√x-21=-x4 +2 2<e,即|x-4|<2e,取d=2e ∴对任给定的>0,有=2,当0<1x-4<8时,√x-2|<E,故 lir 2. (2)对任给的E>0找8,使|x2-9|<e,x2-9|=|(x-3)(x+3)|,注意到极限 过程是:x→3,即动点x与定点3的距离|x-3|可以任意地小,所以可以限制|x-3< 1,即2<x<4从而得 x2-9|=|x+3||x-3|<(4+3)|x-3=7|x-3|<e,即|x-3/<s 取 所以对任给的e>0,有8=m{7(注意8宁小勿大),当0<x-3< 时,|x2-9<e,故limx2=9 小结证明lmf(x)=A的一般步骤如下: (1)将|f(x)-A|化简或适当放大成|∫(x)-A|≤g(|x-x)(不等式右端是|x x的函数); (2)对任给的e>0要使|f(x)-A|<e,只须g|x-x|)<ε,由此解出|x-x。 e); (3)取8=e);
18 高等数学重点难点100讲 (4)当0<|x-x|<δ时,恒有|f(x)-A|<e; (5)综上,得imf(x)=A. 注意(1)定义中的e具有任意性与固定性表示精确度,是衡量f(x)与A接近的程 度的e愈小,接近的程度愈好.它除了限于正数(e>0)外,不受任何限制.|f(x)-A|<c 表明∫(x)与A能接近到任何程度,因此,c具有任意性;另一方面,e一旦给出(在下面的证题 过程中)就应暂时看作固定不变的,它具有固定性以便根据(固定的)它来找.论证时,定 义中的|(x)-A|<∈中的E可换成2e,3∈,e2,而且不等式中的“<”号也可换成“≤”号 (2)定义中的δ是依赖于ε的∈是预先给定的,0是根据E随后找到的有时我们也将 写成(e),这表明了8与的依赖关系,但不是函数关系,因为δ不是由ε惟一确定的事实 上对任给的e>0,有>0,当0<|x-xn<时,恒有(x)-A|<E.取6,=°(m 1,2,…),则当0<|x-x。|<δ时,也有|f(x)-A|<δn其实δ取多大无关紧要,只 关心它的存在性.即只要找到一个δ就行了 (3)定义中的0<|x-x0<δ告诉我们,在极限过程中,完全没有涉及到函数f(x)在 点的情况—f(x)在x点有无定义和若有定义,f(x)取什么值都撤开不管.就是说我 们让这个概念侧重地描述∫(x)在x→x且x≠x时的变化趋势.在讨论limf(x)是否存 在的全过程中都是在假定x≠x的条件下进行的,读者务必充分注意这一点 三、函数极跟的ε一X定义 limf(x)=A台对于任意给定的正数e,总存在正数X,使当|x|>X时,恒有f(x) A|<ε. 例4根据定义求极限:(1)limx=0;(2)im 证(1)任给ε>0找X>0,使当|x>X时, sInr 0|<E,而 Inr 即|{x|>1,取X=1 对任给的>0有x-2当1>N时,田-0<故m-=0 46>0x千-(=1-c面千+1-m:于极限 过程是x→∞,故可限制|x|>1,从而 41|<m21<解出1>2+,取X + 对任给的>0,有X=mx(1.2+1}-2 +1,当|x|>X时,有 x (-1)<e,故im 小结证明lim∫(x)=A的一般步骤为: 1)将(x)-A化简或适当放大成f(x)-A≤g|x1); (2)对任给的e>0,要使|f(x)-A|<ε,只须g(|x|)<ε,由此解出|x|中<(e); (3)取X=y(e); (4)当|x|>X时,恒有|f(x)-A|<E; (5)综上,得lmf(x)=A