以O为球心，过P点作半径为r的闭合球面S(高斯面)，各点处面积元dS的法线方向 与该点处的方向相明.所以应-5-5-生5=如.由商新定理Ew号，因 此得到E= 之风.同理作高斯面S有E4=0，即E-0（KR) 图817 图8-18 图819 图8-19 【讨论】 (1)当g0时，E的方向沿矢径向外，当q<0时，E的方向沿矢径由外指向球心O. }内部场是处处为零：外部场强分布与将球面上电荷集中于球心的点电荷扬强分布相 不连续 作过P点以带电直线为轴，半径为”，高为h的圆柱形高斯面S,通过S的电通量为 =fE.ds=[Eas+[Eas+[Eds =[faScosor+fdScos9+[Scos90=Efds=E.2l 高斯面5内所包调的电背为区？-2，由高新定理得2一兰所以得E=品 【讨论】(1)当元>0时，E的方向沿矢径向外：当元<0时，E的方向沿矢径指向带电 直线 (2)5曲线 (3)半径为R的无限长均匀带电圆柱面，沿轴线方向线电荷密度为，其场强分布为 B=0,R:E=2r≥R 【例4】求均匀带电无限大薄平板的空间场强分布，设电荷密度为。， 由对称性 “轴垂直带电 荷为∑9A=。4S.由高斯定理，当。>0，E的方向垂直平板离开平板：当。<0，E的方向垂 低用高新定解的步 直平板指 1)根据电荷 布的对称性分析电场分布的对称性
11 以 O 为球心，过 P 点作半径为 r 的闭合球面 S（高斯面），各点处面积元 dS 的法线方向 与该点处 的方向相同，所以 2 S S d EdS E dS E4 r S e = = = = E S . 由高斯定理 0 2 4 q E r = ，因 此得到 ( ) 4 1 2 0 r R r q E = . 同理作高斯面 S' 有 4 0 2 E r = ，即 E=0 （r<R）. 图 8-17 图 8-18 图 8-19 图 8-19 【讨论】 （1）当 q＞0 时，E 的方向沿矢径向外，当 q＜0 时，E 的方向沿矢径由外指向球心 O . （2）E-r 曲线。 （3）内部场强处处为零；外部场强分布与将球面上电荷集中于球心的点电荷场强分布相 同；场强分布在球面处不连续，产生突变。 （4）半径为 R，均匀带电球体的场强分布。 【例 3】 求无限长均匀带电直线的空间电场分布。已知直线上线电荷密度为 . 【解】 由对称性分析，E 分布为轴对称性，即与带电直线距离相等的同轴圆柱面上各点 场强大小相等，方向均沿径向。 作过 P 点以带电直线为轴，半径为 r，高为 h 的圆柱形高斯面 S ，通过 S 的电通量为 E S E S E S E S E rl . S S S S S S S e = = + + = + + = = d d d d d cos0 d cos90 d cos90 d 2 剪切 上环 下环 剪切 上环 下环 E S E S E S E S 高斯面 S 内所包围的电荷为 q = l ，由高斯定理得 0 2 l E rl = ，所以得 2 0 r l E = . 【讨论】（1）当 0 时，E 的方向沿矢径向外；当 0 时，E 的方向沿矢径指向带电 直线。 （2）E-r 曲线。 （3）半径为 R 的无限长均匀带电圆柱面，沿轴线方向线电荷密度为 ，其场强分布为 E = 0 ，r<R ； r E 2 0 = ， r R ． 【例 4】 求均匀带电无限大薄平板的空间场强分布，设电荷密度为 . 【解】 无限大均匀带电薄平板可看成无限多根无限长均匀带电直线排列而成，由对称性 分析，平板两侧离该板等距离处场强大小相等，方向均垂直平板。其一轴垂直带电平面，高为 2 r 的圆柱面为高斯面，通过它的电通量为 E S S S S e = = + = d d d 2 剪切 内环 E S E S E S . S 内包围的电 荷为 q内 = S . 由高斯定理，当 0 ，E 的方向垂直平板离开平板；当 0 ，E 的方向垂 直平板指向平板。 【小结】 应用高斯定理解题的步骤 （1）根据电荷分布的对称性分析电场分布的对称性
(2)在待求区域选取合适的封闭积分曲面（称为高斯面）. (3)应用高斯定理求解出E的大小。 (4)说明E的方向。 【注意】(1)曲面必须通过待求场强的点，曲面要简单易计算面积： 面产装分曲击客的兮设处的E方向一致或直或是成恒定角度，以 便于计 图8-21 图822 8.3电场力的功电势 8.3.1.静电场力所作的功 静电场的另一重要性质就是在静电场中，电场力做功与电荷移动路径无关。即静电场是保 守 (1)点电荷电场 图8-23电场力的功 设点电荷g固定于某处，另一点电荷g0在g产生的电场中从点▣经任意路径L移动到 点b,在L上任取微小位移d,该处场强为E,则电场力对q所作的元功为 dW=F·dl=qE·dl=g Edl cos0. 移动有限路程L时，总功为九=4ca0=品0：瓷仁-之， 式中d山=dlcos0.在点电荷电场中，电场力对试验电荷所作的功，只取决与试验电荷q0及其始 末位置，与路径无关 (2)静止的点电荷系、电荷连续分布带电体 电场力对试探电荷所作的功为W=goEd山=(E,+E2++E)d山， 12
12 （2）在待求区域选取合适的封闭积分曲面（称为高斯面）. （3）应用高斯定理求解出 E 的大小。 （4）说明 E 的方向。 【注意】 （1）曲面必须通过待求场强的点，曲面要简单易计算面积； （2）面上或某部分曲面上各点的场强大小相等； （3）且面上或某部分曲面上各点的法线与该处的 E 方向一致或垂直或是成恒定角度，以 便于计算。 图 8-21 图 8-22 8.3 电场力的功 电势 8.3.1．静电场力所作的功 静电场的另一重要性质就是在静电场中，电场力做功与电荷移动路径无关。即静电场是保 守场。 （1）点电荷电场 E a b L dl dr r a r b r+dr r q E dl 图 8-23 电场力的功 设点电荷 q 固定于某处，另一点电荷 q0 在 q 产生的电场中从点 a 经任意路径 L 移动到 点 b ，在 L 上任取微小位移 dl，该处场强为 E ，则电场力对 q0 所作的元功为 dW = F dl = q0E dl = q0Edl cos . 移动有限路程 L 时，总功为 ) 1 1 ( 4 d cos 4 d cos 0 0 2 0 0 0 a b L L ab r r qq l r q A q E l q − = = = ， 式中 dr = dl cos . 在点电荷电场中，电场力对试验电荷所作的功，只取决与试验电荷 q0 及其始 末位置，与路径无关。 （2）静止的点电荷系、电荷连续分布带电体 电场力对试探电荷所作的功为 = = + + + l W q n E l E E E l l 0 d ( 1 2 ) d
m=6+a++,r-22 也与路径无关。 【结论】试验电荷在任何静电场中移动时，电场力的功只与电场本身性质（场源电荷及其 8.3.2.环路定理 单位正试验电荷沿闭合路径a©6移动回到出发点时，电场力所作的功为 fE.d=fE.d+fE.d=0, .f 即Ed山=0，上式左项是场强E沿闭合路径的线积分，称为静电 场场强￡的环流。即在静电场中，场强沿闭合路径的线积分等于 零。也称为场强环流定理。 【说明】运动电荷的场不是保守场，而是非保守场，将在磁场 部分讨论。 图824电场场环路定理 8.3.3、电势能 1.概念 静电场是保守场，可引进静电势能的概念。用试验电荷q0在静电场中从A点移止B点电 场力作功，作为试验电荷在a、b两点处电势能改变的量度。即： Wm=Em-Em=(Em-Ea).或oeE:d山=Epa-Epm=EpB-Ep4小. W=形=0. 这样试验电荷g0在A点处具有的电势能为E4=W.=qE,d山，即试验电荷g形在电场中某点处 之间的相互作用 2)电势能的量值只有相对意义，它与电势能零点的选择有关 (3)电势能的单位(S1):焦耳(J):电子伏特：1eV=1.6×101j (4)当WA>0时，试验电荷从A运动到B过程中，电场力作正功，E>E6,，电势能减 少：当WAB<0时，电场力作负功，EP<EPB,电势能增加。 8.3.4.电势电势差 由电势能的定义：E=W=Ed山可知，比值L与0无关，可以描述给定点A处 的电场的性质，称为A点的电势。用a表示，而且y,==E山.即电场中某一点A的 电势4，在数值上等于把单位正试验电荷从点A移到无限远处（或电势能零点）时，静电场 力所作的功。 【注意】(1)电势的单位：伏特·C,用V表示)。 (2)电势是标量，且一般是空间坐标的函数，即V-V(x,y)
13 = + + + l n l l W q E dl q E dl q E dl 0 1 0 2 0 ， = − = n i ia ib i r r q q W 0 1 0 ) 1 1 ( 4 . 也与路径无关。 【结论】试验电荷在任何静电场中移动时，电场力的功只与电场本身性质（场源电荷及其 分布），试验电荷大小及路径的始末位置有关，而与路径无关。 静电场的这一特性称静电场的保守性。静电场是保守场。 8.3.2．环路定理 单位正试验电荷沿闭合路径 acbfa 移动回到出发点时，电场力所作的功为 d d d 0 = + = acbfa acb bfa E l E l E l ， 即 d 0 = L E l ，上式左项是场强 E 沿闭合路径的线积分，称为静电 场场强 E 的环流。即在静电场中，场强沿闭合路径的线积分等于 零。也称为场强环流定理。 【说明】运动电荷的场不是保守场，而是非保守场，将在磁场 部分讨论。 图 8-24 电场场环路定理 8.3.3、电势能 1．概念 静电场是保守场，可引进静电势能的概念。用试验电荷 q0 在静电场中从 A 点移止 B 点电 场力作功，作为试验电荷在 a 、b 两点处电势能改变的量度。即： ( ) WAB = EPA − EPB = − EPB − EPA .或 d ( ) 0 PA PB PB PA AB q = E − E = − E − E E l . 2．势能零点的选择 当场源电荷为有限带电体时，通常选取无限远处为电势能零点。取 B 点为无限远处，则： WB = W = 0 . 这样试验电荷 q0 在A 点处具有的电势能为 = = A EPA WA q E dl 0 .即试验电荷 q0 在电场中某点处 具有的电势能值，等于将 q0 由该点移至无限远（或者电势能零点）处电场力所作的功。 【注意】（1）电势能是属于系统的，为场源电荷和试验电荷所共有，它是试验电荷与电场 之间的相互作用能。 （2）电势能的量值只有相对意义，它与电势能零点的选择有关。 （3）电势能的单位（SI）：焦耳（J）；电子伏特：1eV＝1.6×10-19J （4）当 WAB>0 时，试验电荷从 A 运动到 B 过程中，电场力作正功，EPA>EPB ，电势能减 少；当 WAB<0 时，电场力作负功，EPA<EPB ，电势能增加。 8.3.4．电势 电势差 由电势能的定义： = = A EPA WA q E dl 0 可知，比值 0 q EPA 与 q0 无关，可以描述给定点 A 处 的电场的性质，称为 A 点的电势。用 VA 表示，而且 = = A PA A q E V E dl 0 . 即电场中某一点 A 的 电势 VA ，在数值上等于把单位正试验电荷从点 A 移到无限远处（或电势能零点）时，静电场 力所作的功。 【注意】（1）电势的单位：伏特（J·C -1，用 V 表示）。 （2）电势是标量，且一般是空间坐标的函数，即 V=V(x,y,z) . q E dl r a r b r a b f c
(3)某点电势与电势零点的选取有关。有限带电体：选无限远处为电势零点：“无限大” 带电体：在场内选一个适当位置作为电势零点（决不能选无限远）：实用中，常取地球的电势 为零。 3.电势差 在电场单位试验正电荷从4点移到B点，静电力所做的功，为静电场中、B两点的 电势差，也称为A、B两点间的电压。记为U。=-。=化-")=∫。Ed. 说明 热的单相同在国际单位生 则把电荷从点4移到点时静电场力所作的功为 ,电势的单位为：伏特(oL,V):若已知U4B, Wa=[E-dl=qum =q(V,-Va)=-q(V,-Va). 描述电场特性的物理量：E,V(UB) 8.3.5电势的计算 1、点电荷电场的电势 取无限远处作为电势零点。点电荷电场为E=,取沿着， 方向的路径d山=de,则由电势的定义，可得P点的电势为： =Ed=2,d=(r≠0). 关。当q>0时，>0，随r的增加而减少：q<0 图825电势 2、电势的叠加原理 因为E=E,+E,+.+E,所以，=广Ed山=E,d+E,dl+.+E。dl 4=+3++. 1.点电荷系电场的电势=。表明，点电荷系所微发的电场中某点的电势，等 于各点电单 存 时在该点的电势的代数和。 电荷逢续分布 希电体可看作由无限多个电荷元山组成，每一个电荷元在电场中场点建 立的电势为一白.则该点的电势为这些电荷元电势的叠加。即”一∫当。 3、电势的计算方法和例子 已知场源（电荷）分布，求空间的电势分布。方法有二种： A.电势定义法（电场强度线积分法）'，=E·d,U。=∫Ed山， B.叠加法，()点电荷组：-云·
14 （3）某点电势与电势零点的选取有关。有限带电体：选无限远处为电势零点；“无限大” 带电体：在场内选一个适当位置作为电势零点（决不能选无限远）；实用中，常取地球的电势 为零。 3．电势差 （1）定义 在电场中把单位试验正电荷从 A 点移到 B 点，静电力所做的功，为静电场中 A、B 两点的 电势差，也称为 A、B 两点间的电压。记为 = − = − − = AB U AB VA VB VA VB ( ) E dl . （2）说明 电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势的单位为：伏特（Volt, V）；若已知 UAB ， 则把电荷 q 从点 A 移到点 B 时静电场力所作的功为 d ( ) ( ) AB A B A B AB WAB = = qU = q V −V = −q V −V E l . 描述电场特性的物理量：E，V（UAB） 8.3.5 电势的计算 1、点电荷电场的电势 取无限远处作为电势零点。点电荷电场为 r r E e 2 4 0 1 = ，取沿着 r 方向的路径 r dl = dre ，则由电势的定义，可得 P 点的电势为： r q r q V r r r P 0 2 0 4 d 4 d = = = E l e l ，（ r 0 ）. 电势值与电荷正负有关。当 q>0 时，V>0, 随 r 的增加而减少；q<0 时，V<0, 随 r 的增加而增加。 图 8-25 电势 2、电势的叠加原理 因为 E = E1 + E2 ++ En ，所以， = = + + + A n A A A VA E dl E dl E dl E dl 1 2 VA =V1 +V2 ++Vn . 1．点电荷系电场的电势 = = n i i i A r q V 1 4 0 1 . 表明，点电荷系所激发的电场中某点的电势，等 于各点电荷单独存在时在该点的电势的代数和。 2．连续分布电荷电场的电势 电荷连续分布的带电体可看作由无限多个电荷元 dq 组成，每一个电荷元在电场中场点建 立的电势为 r q V d 4 1 d 0 = . 则该点的电势为这些电荷元电势的叠加，即 = r q V d 4 1 0 . 3、电势的计算方法和例子 已知场源（电荷）分布，求空间的电势分布。方法有二种： A．电势定义法（电场强度线积分法） = E dl A VA ， = E dl B A U AB ， B．叠加法，（1）点电荷组： = = n i i i r q V 1 4 0 . q r dl P E