第五章时频分析 令n'=n-m将n'代入定义一中,再将n用m代替,可得到第 二种定义形式 (2)定义二: STFTX(n, o)=>w(m)x(n-m)e: jo( m-m w(m)x(n-me n=-0
第五章 时 频 分 析 令 n′=n-m 将n′代入定义一中, 再将 n′用m代替, 可得到第 二种定义形式。 (2) 定义二： jωω m jωω n jω n-m X w m x n m n w m x n m e ( ) ( )e STFT ( , ) ( ) ( )e - - ( )
第五章时频分析 2.短时傅里叶变换的物理解释蕌 对以上STFT的定义形式,从傅里叶变换和线性滤波两个角 度,可以有两种不同的物理解释。蕌 (1)由傅里叶变换角度解释。按照(52.1)式,STFT可以看作 n是参变量,x(m)w(n-m)对m的傅里叶变换,因此它是(n,O) 的函数。因为STFT是x(m)n(m-m)的傅里叶变换,可以用x(m)和 1(n-m)分别的傅里叶变换的卷积表示。设: X(e)=ftir(ml,w(e)=ftlw(m) W(e)=ftlw(m) eow(e)=ftlw(n-m)
第五章 时 频 分 析 2. 短时傅里叶变换的物理解释 对以上STFT的定义形式，从傅里叶变换和线性滤波两个角 度，可以有两种不同的物理解释。 (1) 由傅里叶变换角度解释。按照(5.2.1)式，STFT可以看作 n是参变量，x(m)w(n-m)对m的傅里叶变换，因此它是（n,ω） 的函数。因为STFT是x(m)w(n-m)的傅里叶变换，可以用x(m)和 w(n-m)分别的傅里叶变换的卷积表示。 设： (e ) FT[ ( )], (e ) FT[ ( )] jω jω X x m W w m (e ) FT[ ( )],e (e ) FT[ ( )] -jω j -jω W w m W w n m ωn
第五章时频分析 那么 STFT,(n,@) w(e eox(eo)de 2丌 如果再将θ改换成-,得到 STFT(n, 0)=wei)(eire)evado 2 (523) 上式是STFT定义的一种频域表示形式。这里如果x(n)是时变信号, 式中用了它的傅里叶变换,是不合适的,但可以理解为信号在时 间窗外变为0以后,取信号的傅里叶变换;或者说是时间窗内的 信号傅里叶变换的平滑形式
第五章 时 频 分 析 那么 (e )e (e )d 2 1 STFT ( , ) j j j( - ) n W X n xx 如果再将θ改换成-θ， 得到 (e ) (e )e d 2 1 STFT ( , ) j j( ) -j n xx n W X (5.2.3) 上式是STFT定义的一种频域表示形式。这里如果x(n)是时变信号， 式中用了它的傅里叶变换，是不合适的，但可以理解为信号在时 间窗外变为 0 以后，取信号的傅里叶变换;或者说是时间窗内的 信号傅里叶变换的平滑形式
第五章时频分析 (2)由线性滤波角度解释。将定义一重写如下: STFT(n,@)=>x(m)e omw(n-m) 上式表明,短时傅里叶变换可以看成x(n)ejom与(n)的线性卷积, 如将w(n)看成一个低通滤波器的单位脉冲响应,短时傅里叶变 换则可用图52,2表示。图522表明,首先将信号x(n)调制到o, 然后通过低通滤波器w(n),其输出就是短时傅里叶变换。实质 上是将x(n)在ω附近的频谱搬移到零频处,作为短时傅里叶变 换。为使其频率分辨率高,希望w(n)是一个低通窄带滤波器, 带外衰减愈大愈好
第五章 时 频 分 析 （2） 由线性滤波角度解释。将定义一重写如下： m m STFTX (n, ) x(m)e w(n m) -j 上式表明, 短时傅里叶变换可以看成x(n)e -jωn与w(n)的线性卷积， 如将w(n)看成一个低通滤波器的单位脉冲响应， 短时傅里叶变 换则可用图5.2.2表示。图 5.2.2 表明, 首先将信号x(n)调制到-ω， 然后通过低通滤波器w(n)， 其输出就是短时傅里叶变换。 实质 上是将x(n)在ω附近的频谱搬移到零频处， 作为短时傅里叶变 换。 为使其频率分辨率高， 希望w(n)是一个低通窄带滤波器， 带外衰减愈大愈好
第五章时频分析 利用定乂二可以得到线性滤波的另一种物理解释,将定义 二重写如下 STFTx(n, o)= jon >w(me x(n-m) 公式中求和号部分可看成(n)eion与x(m)的线性卷积,因此上式 可以写成 STFTx(n, o)=e Jon >w(m)e omx(n-m) 式中(n)是低通滤波器,w(n)em航是以a为中心的带通滤波器 按照上式,STFT就是信号首先通过带通滤波器,选出以a为中 心的频谱,再乘以exp(jωm),将选出的频谱搬移到零频处。 短时傅里叶变换如按照定义二的物理解释,则可用图52.3表 小
第五章 时 频 分 析 利用定义二可以得到线性滤波的另一种物理解释， 将定义 二重写如下: STFT ( , ) e ( )e ( ) -j j n w m x n m ωm m ωn X 公式中求和号部分可看成w(n)e jωn与x(n)的线性卷积，因此上式 可以写成 STFT ( , ) e ( )e ( ) -j j n w m x n m ωm m ωn X 式中w(n)是低通滤波器，w(n)e jωn就是以ω为中心的带通滤波器。 按照上式，STFT就是信号首先通过带通滤波器，选出以ω为中 心的频谱，再乘以exp(-jωn)，将选出的频谱搬移到零频处。 短时傅里叶变换如按照定义二的物理解释，则可用图 5.2.3 表 示