13.证明定理212 证明:(1)→(2)设A半正定,则存在可逆实矩阵T,使 T AT 0. 0 由于A半正定,TAT也半正定,故a1>0.所以A的正惯性指数p=r= rank a (2)→(3)由假设,存在可逆实矩阵T1,使 T1 AT1 a;>0. 0 则 TAT (60) 0 (3)→(4)由假设,存在可逆实矩阵T,使 4T=(E0 令 Er A=sS (4)→(1)对任意的X≠0∈Rn,令Y=SX,则Y∈R,所以 XTAX= XS SX=YTY≥0, A半正定
∗13. ✦✧⑥❤ 2.12. ✪✫: (1) ⇒ (2) ✍ A ➮➲⑥, ✾ ■❏✐➋✗♠♥ T , ❅ T TAT = a1 . . . ar 0 . . . 0 , ai 6= 0. ❆❝ A ➮➲⑥, T TAT ❥➮➲⑥, ➝ ai > 0. ✚✶ A ✢➲Ï✤Ð✙ p = r = rank A; (2) ⇒ (3) ❆Ñ ✍, ■❏✐➋✗♠♥ T1, ❅ T T 1 AT1 = a1 . . . ar 0 . . . 0 , ai > 0. ✽ T2 = √ 1 A1 . . . √ 1 Ar 1 . . . 1 , T = T1T2, ✾ T TAT = 1 . . . 1 0 . . . 0 = Er 0 0 0 . (3) ⇒ (4) ❆Ñ ✍, ■❏✐➋✗♠♥ T , ❅ T TAT = Er 0 0 0 . ✽ S = Er 0 0 0 T, ✾ A = S TS. (4) ⇒ (1) ✲✳✴✢ X 6= 0 ∈ R n, ✽ Y = SX, ✾ Y ∈ R n. ✚✶ XTAX = XTS TSX = Y TY > 0, A ➮➲⑥. · 11 ·
1)→(5)设Bk=A(i1,……,ik;i1,…,ik)是A的一个主子式则对任意的 可以作一个列向量X∈Rn,使得它的第列的元素等于x,而其余元素均等于0.则 0≤XAX= Xk Bk Xk 因此Br是半正定的.根据(4),可得半正定矩阵的行列式非负,即|Bk|≥0. (5)→(1)对于任意的正实数>0,考察ME+A的k阶主子阵AEk+Ak.这个子矩阵的行列式为 fR()=JAEk+ Akl=A+a1x-+ ..+ak 则根据习题7-3.8,(-1)2a1等于-Ak的全部阶主子式之和.而一Ak的每个i阶主子式等于Ak的相应 阶主子式的(-1)2倍.因此a等于Ak的所有i阶主子式之和,由假设,a≥0.从而 f())>0VA>0.i=1,…,k 根据定理211,AE+A(>0)是正定矩阵 任取X≠0∈Rn,据正定性,λ的一次式 ()=X(E +A)X=AXX+XAX>0,VA>0 因此XAX≥0(否则当A充分小时会有g(A)<0),从而A半正定 14.主对角线上全是1的上三角形矩阵称为幂幺上三角形矩阵 (1)设A是一个对称矩阵T为幂幺上三角形矩阵,证明:TAT与A的对应顺序主子式有相同的 (2)如果对称矩阵的顺序主子式全不为零,则存在一幂幺上三角形矩阵T,使TAT为对角形 证明:(1)设Ar为A的r阶顺序主子式(1≤r≤m) 设T为幂幺上三角形矩阵 其中T1 11 *9 0 从而TAT的r阶顺序主子式等于(注意到Ti1=1 1 AT11 =TMATll=A (2)对A的阶数用归纳法.取 0 An-1=A(1,……,n-1;1,…,n-1),B 这是幂幺上三角形矩阵则 E E=AB 0 b
(1) ⇒ (5) ✍ Bk = A(i1, · · · , ik;i1, · · · , ik) ✎ A ✢★✩❒❜❮. ✾ ✲✳✴✢ Xk = x1 . . . xk ∈ R k , ✐✶Ò★✩❨♦❧ X ∈ R n, ❅ ❉ ✹✢③ ij ❨✢❬Ó➧❝ xj , ●✿❰❬Ó➭➧❝ 0. ✾ 0 6 XTAX = XT k BkXk, ❞❡ Br ✎➮➲⑥✢. ÔÕ (4), ✐ ❉ ➮➲⑥♠♥✢Ö❨❮❢×, ❸ |Bk| > 0. (5) ⇒ (1) ✲❝ ✳✴✢➲✗✙ λ > 0, ↕➙ λE + A ✢ k ➈❒❜♥ λEk + Ak. ❙ ✩❜♠♥✢Ö❨❮❍ fk(λ) = |λEk + Ak| = λ k + a1λ k−1 + · · · + ak. ✾ ÔÕ➅ ❃ 7–3.8, (−1)iai ➧❝ −Ak ✢✓Ø i ➈❒❜❮➩➫. ● −Ak ✢Ù✩ i ➈❒❜❮➧❝ Ak ✢ ④⑤ i ➈❒❜❮✢ (−1)i Ú. ❞❡ ai ➧❝ Ak ✢✚✵ i ➈❒❜❮➩➫, ❆Ñ ✍, ai > 0. ❋● fk(λ) > 0 ∀λ > 0, i = 1, · · · , k. ÔÕ⑥❤ 2.11, λE + A (λ > 0) ✎➲⑥♠♥. ✳① X 6= 0 ∈ R n, Õ➲⑥✤, λ ✢★q❮ g(λ) = X T(λE + A)X = λXTX + X TAX > 0, ∀λ > 0. ❞❡ XTAX > 0 (❭ ✾ ❫ λ t✉➛❴Û✵ g(λ) < 0), ❋● A ➮➲⑥. ∗14. ❒✲➟✣✒✓✎ 1 ✢✒Ü➟➠♠♥➍❍Ý Þ✒Ü➟➠♠♥. (1) ✍ A ✎★✩✲➍♠♥, T ❍Ý Þ✒Ü➟➠♠♥, ✦✧: T TAT ❵ A ✢✲⑤ßà❒❜❮✵④ ❂✢ á ; (2) ②➌✲➍♠♥✢ßà❒❜❮✓➞❍➑, ✾ ■❏★Ý Þ✒Ü➟➠♠♥ T , ❅ T TAT ❍✲➟➠. ✪✫: (1) ✍ Ar ❍ A ✢ r ➈ ßà❒❜❮ (1 6 r 6 n), A = Ar ∗ ∗ ∗ . ✍ T ❍Ý Þ✒Ü➟➠♠♥, T = T11 ∗ 0 T22 , ✿❀ T11 = 1 ∗ . . . 0 1 r , ✾ T TAT = T T 11 0 ∗ T T 22 Ar ∗ ∗ ∗ T11 ∗ 0 T22 = T T 11ArT11 ∗ ∗ ∗ . ❋● T TAT ✢ r ➈ ßà❒❜❮➧❝ (â✴✮ |T11| = 1) |T T 11AT11| = |T T 11||A||T11| = |Ar|. (2) ✲ A ✢➈✙ãäåæ. ① T1 = En−1 −A −1 n−1B 0 1 , An−1 = A(1, · · · , n − 1; 1, · · · , n − 1), B = a1n . . . an−1,n . ❙ ✎Ý Þ✒Ü➟➠♠♥. ✾ T T 1 AT1 = E 0 −BTA −1 n−1 1 An−1 B BT ann E −A −1 n−1B 0 1 = An−1 0 0 bn , · 12 ·