第3期 何华灿，等：无穷概念的重新统 ·207 质，理论上讲∞位是计数器的最高位，如果到位 {0,1,10,11,100,…,1…11},所以P的数值解释是 1…11后还要继续加1，将产生进位溢出，重新回到 自然数集N,按照定理4，P是可数集， ∞位0O0状态.PM的功能是顺序存放CC生成的 以后常常称原始码集合P={0…00,0…01, 所有原始码，它共有2”个存储单元，按照0,1,2， 0…010,0…011,…,1…11}为自然数集的原始形式 …,2-1顺序编号. 或者自然数集，称CC为自然数生成器，称PM为自 图2是PM的存储状态图，其中a1,a2,a,a4, 然数存储器 …,am表示计数器的o位，d,d1,d2,d3,…表示存储 推论5（无穷编码的不变性ICI原理）由∞位 器的地址编号.图2(a)是2位计数的状态，它共有 计数器生成的代码数仍然是0，即2”=0. 22=4种不同的原始编码：00、01、10、11；图2(b)是 在这里利用康托尔的相对实无穷概念和性质， 3位计数的状态，它共有2=8种不同的原始编码： 进一步证明了升级函数g(ω：)=2=⊙+1不成立， 000、001、010、011、100、101、110、111;图2(c)是∞ 相对实无穷o,就是惟一存在的实无穷∞. 位计数的状态，它共有2个不同的原始编码： 2.4ICI原理的物理解释 0…00,001,0…010,0011,…,1…11 ICI原理有3层含义，它们都体现在图2中，图 11d 11 d 2是一个值得反复领悟的重要对象， 10 10 d 第1层意思是关于∞是0级相对实无穷的诠 01 d 01 d 00 1☐00 d 释.由于0级保级函数的性质n+o=n×o= a:a ………… (∞)”=∞保持了0的相对稳定性，它最多可以容 (a) ……, 4 下(0)”多个∞而不会升级；所以在图2(c)中，无 0 1 论计数器CC的长度是相对地增加或是缩短，它仍 0 d 0 1 0 d 0 4+0 01 d 然是∞位.计数器CC的长度∞不变，它在PM中生 0 0 00 d 成的全部编码也就不变，仍然是从∞位0…00开始， 0 d 0 0 1 0 10 d 0 0 10d2 不断地加1，直到∞位1…11结束，这个计数状态图 001 d 0 001 d 十分稳定 000d 0 …000d a;dz a a a3 a:a 第2层意思是关于∞是统一实无穷的诠释.从 (b) (c) 图2(a)和(b)看，n位计数器可编出2"个码，显然有 图2PM的存储状态图 2">n,但是从图2(c)看，情况就完全不同了.尽管 Fig.2 Illustration of the storage states of PM ∞位计数器编出的码有2”个，但由于∞位计数器本 2.3ICI原理 身是自然数生成器，它编出的全部编码集就是自然 定理11原始码集合P={0…00,0…01, 数集，其势必然是0，所以2”=0，这就是说，用0 0…010,0…011,…,1…11}的势是2。 位的计数器，生成的全部编码集仍然是∞.所以有一 证明用数学归纳法证明如下（参见图2）： 个无穷符号就完全够用了，不需要更多的无穷符 因为计数器的每一位都有0、1两种可能性，所 号，0是统一实无穷， 以由完全编码算法CEA可知，CC(2)可生成22=4 第3层意思是关于∞中有潜无穷思想的诠释. 个不同的原始码；CC(3)可生成2=8个不同的原 在实无穷的概念中并没有排斥潜无穷的思想，而是 始码；如果CC(n)可生成2”个不同的原始码，则 融进了潜无穷的思想.从图2（©）看，尽管计数器有 CC(n+1)可生成2×2”=2+'个不同的原始码；由 ∞位（即），但这个∞只是代表一个永无终止的 数学归纳法可知，当n→∞时，CC可生成2”个不同 增长过程的抽象符号.图2(c)用这个抽象符号规定 的原始码.而PM正好能够存放CC生成的2个不 了一个新的计数过程（即ω1），它从∞位0…00开 同的原始码，所以原始码集合P={0…00,0…01, 始，不断地加1，直到∞位1…11结束.由于这个计数 0…010,0…011,…,1…11}的势是2°. 过程要等待一个永无终止的增长过程，即全1…11 定理12原始码集合P={0…00,0…01, 状态的到来才能结束，所以这个计数过程也是一个 0010,0…011,…,1…11}的数值解释是自然数集 永无终止的增长过程，它仍然可以用同一个抽象符 N,P是可数集 号∞来代表.如果再把这个计数过程（即w,)当成 证明将P中的原始码看成是二进制整数，由 计数器的∞位，重新规定了一个新的计数过程（即 于其中的无效位并不影响数的值，得到的数值是 ①2)，情况仍然会同样地重复下去，永远不会改变
·208. 智能系统学报 第5卷 (即o=w1=o2=…=∞）.从这个意义上讲，在实 概括起来说，通过ICI原理可以得出如表1所 无穷∞中，包含有潜无穷的思想，即这个特殊数∞代 示的结论. 表的是一个永无终止的增长过程， 表1根据ICI原理所得出的结论 Table 1 The conclusions through the ICI principle 无穷观 被ICI原理证实的观点 被ICI原理证伪的观点 潜无穷观 无穷是一个永无终止的增长过程 无穷不是数，不能参加运算 无穷是一些特殊数，它比任何有限数都大（即它也是一个永无终止的增 因为20=0，>0，所以无穷 层次实无穷观长过程).具体体现在定义可数无穷①，=IN,I,用一一对应方法证明n 是一个不断增加的无穷序列 N,n+=n×o,=(o,)=o0 00,01,02,…（0+1=20,i= 0,1,2,3,…） 无穷是一个特殊数，它比任何有限数都大（即它也是一个永无终止的增 统一实无穷观长过程)，不存在比无穷更大的数.具体体现在定义∞=1N,I,用一一对 无 应方法证明n∈N,n+∞=n×的=∞“=2“=o 现在已经很清楚，能够重新统一无穷概念的基 已经渗透到数学的每一个细胞，最近100多年来在 础是3种无穷观都认为无穷是一个永无终止的增长 它的基础上已经形成了各种各样自圆其说的概念、 过程.过去潜无穷论者之所以反对实无穷观，是因为 理论和学说，要想让人们马上接受这个颠覆性结果 他们没有发现用一个特殊的数（即理想元∞）来抽 绝非易事.可以想象，不少人的第一反应肯定是强烈 象地表示这个过程的方法：后来尽管康托尔发现了 的反对，他们会不自觉地根据在2”>0基础上形成 用一个特殊的数来抽象地表示这个过程的方法，但的这些概念、理论和学说，对2°=∞提出各种各样 由于没有找到证明2”=∞的有效方法，得出了 的疑问和非难，有的人甚至会不屑一顾，认为它不过 2”>∞的错误结论，所以他又提出层次实无穷观来 是众多的“民科抄作”之一.为了积极回应可能出现 反对统一实无穷观；本文在康托尔的基础上进一步 的疑问和非难，下面将用更多的方法来证明2”=∞ 证明了2”=，重新统一了无穷概念，最终确立了 成立，它们的作用和ICI原理等效. 统一实无穷观 1)利用单位区间实数集证明2”=0. ICI原理是信息世界的基本属性之一，这个性 定理13单位区间实数集R,与自然数集等 质对人类正确认识和理解与无穷有关的各种自然规 势，2°=0. 律有重要意义.ICI原理是理解本文的关键，而数的 证明单位区间实数集R,用无穷位小数的全 无穷位编码原理又是理解ICI原理的关键，它们是 码{0.0…00,0.0…001,0.0…010,0.0…011， 统一无穷概念、进一步建立统一实无穷理论的重要 0.00100,…,0.1…11{来表示，由于每位都有0、1 基础. 两种可能性，其势是2.又因为计数器的编码状态 2.5连续统假设不成立的更多证明 与小数点的有无毫无关系，显然在单位区间实数集 本来，ICI原理的发现已经直接推翻了2”>∞ 的全码与自然数集的全码之间存在如下的一一对应 的错误结论，层次无穷观已经失去了它存在的前提， 关系 自然就回到了统一实无穷观.但是，由于层次无穷观 白然数 0…000…010…0100…0110…0100…1…1山 单位区间实数0.0…000.0…010.0…0100.0…0110.0…0100…0.1…11 按照定义4知，单位区间实数集R,与自然数集 N,的每个子集中都有出现或不出现2种可能性，所 等势，IR|=0,所以，2”=0， 以p(N,)|=2°.将原始码集P中的0、1代码作下 2)利用正整数的幂集证明2”=， 列变换：将全部0变换成0，将a(i=1,2,3,4,…, 定理14正整数的幂集p(N)={0,{1}, ∞)位中的全部1变换成i,然后把每个∞位编码 {2},12,1,{3},…,{∞，…，4,3,2,1}}与自然数 串内部的符号取并集，就可以发现在正整数幂集 集等势，2”=0， p(N,)和原始码集P之间有如下的一一对应关系 证明由于N,的势是∞，而N,中每个元素在 存在