例16. sec xdx. 解法一 dx dx sin z d() d (tan) 元 In tan 2 +C. 2 ta互 访问主页 标题页 2 2sin2 因为tan sin2 2 炒 co8互 sin x 1-cosZ=cscr-cot五，所以 sint dx 第37页603 csc xda sinz In|cscx-cot z+C. 返回 同法可得 全屏显示 关闭 dx sec xda =In secx +tanx+C. 退出 cos t
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 37 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦16. ➛ Z csc x d x ❺ Z sec x d x . ✮ ④ ➌ Z csc x d x = Z d x sin x = Z d x 2 sin x2 cos x2 = Z d x2 2 sin x2 cos x2 = Z d tan x2 tan x2 = ln tan x2 + C. Ï ➃tan x2 = sin x2 cos x2 = 2 sin 2 x2 sin x = 1 − cos x sin x = csc x − cot x, ↕ ➧ Z csc x d x = Z d x sin x = ln | csc x − cot x| + C. Ó ④ ➀ ✚ Z sec x d x = Z d x cos x = ln |sec x + tan x| + C
解法二 cscxda csc(cscz-cot d= csc2-csc cotd cscx-cot csc-cot x d(cscx-cotx) 访问主页 In secx+tan+C. csca-cot x 标题页 同法可得 炒 sec xdx In secx +tan+C. 第38页603 返回 全屏显示 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 38 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✮④✓ Z csc xdx = Z csc x(csc x − cot x) csc x − cot x dx = Z csc2 x − csc x cot x csc x − cot x dx = Z d(csc x − cot x) csc x − cot x = ln |sec x + tan x| + C. Ó④➀✚ Z sec xdx = ln |sec x + tan x| + C
定理2.（第二换元积分法）若函数x=(t)在[a,)可导，a≤(t)≤ b且(t)卡0，函数f(x)在[a,b有定义，t∈[a,3,有 G(t)=f[o(t)]p'(t), f(x)在[a,b存在原函数，且 访问主页 fx)dx=Go-1(x月+C (6) 标题页 炒 证明已知t∈[a,列，有'(t)≠0，则函数x=(t)存在可导的反函 数t=1(x).由复合函数和反函数的求导法则，有 第39页603 (G=()(=( 1 返回 全屏显示 =f(t】=f(x).I 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 39 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➼♥2.(✶✓❺✄➮➞④) ❡➻êx = φ(t)✸[α, β]➀✓,a 6 φ(t) 6 b❹φ 0 (t) 6= 0,➻êf(x)✸[a, b]❦➼➶,∀t ∈ [α, β],❦ G 0 (t) = f[φ(t)]φ 0 (t), f(x)✸[a, b]⑧✸✝➻ê,❹ Z f(x)dx = G[φ −1 (x)] + C. (6) ②➨ ➤⑧∀t ∈ [α, β], ❦φ 0 (t) 6= 0,❑➻êx = φ(t)⑧✸➀✓✛❻➻ êt = φ −1 (x). ❞❊Ü➻êÚ❻➻ê✛➛✓④❑,❦ {G[φ −1 (x)]} 0 =G 0 (t) · [φ −1 (x)]0 = f[φ(t)]φ 0 (t) · 1 φ0 (t) =f[φ(t)] = f(x)
第二换元积分法指出，求(6)式等号左端的不定积分，设x=(t),则化为求 不定积分∫f[(t)]'(t)dt.若f[p(t)](t)存在原函数G(t),则 f((t)dt =G(t)+C. 最后将t=1(亿)代入上式等号右端，就得到所求的不定积分 访问主页 fe)dr=Go-(e+C 标题页 炒 由于(t)dt=d(t),第二换元积分法可表为 第40页603 f()dz fo()()di-G(t)+c 返回 o-gGo-'(m】+C 全屏显示 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 40 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✶✓❺✄➮➞④➁Ñ,➛(6)➟✤Ò❺à✛Ø➼➮➞,✗x = φ(t),❑③➃➛ Ø➼➮➞ R f[φ(t)]φ 0 (t)dt. ❡f[φ(t)]φ 0 (t)⑧✸✝➻êG(t),❑ Z f[φ(t)]φ 0 (t)dt = G(t) + C. ⑩òt = φ −1 (x)➇❭þ➟✤Ò♠à,Ò✚✔↕➛✛Ø➼➮➞ Z f(x)dx = G[φ −1 (x)] + C. ❞✉φ 0 (t)dt = dφ(t),✶✓❺✄➮➞④➀▲➃ Z f(x)dx x=φ(t) ==== Z f[φ(t)]φ 0 (t)dt = G(t) + C t=φ −1 (x) ==== G[φ −1 (x)] + C
例17.求 Va2-z2dx (a >0) 解 设x=a sin t,有dx=a cos tdt. π t arcsin-, -a≤x≤a, ≤t≤ a 2 根据公式(6)，有 Va2-z2dx Va2-a2 sin2t cos tdt f[(t)] (t)dt - 访问主页 costl costdt =a2 cos2tdt 标题页 (1+cos2t)dt= dt+ cos 2tdt W 2 2 i+ 2sin2t +C= -t+ sin 2t+ 第41页603 a2 返回 arcsin-+ Va2-x2+C. 全屏显示 注 当、π 时，cost川=cost: 关闭 ≤t≤ 退出 3 sin 2t 4 asint.acost= jVa2-22
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 41 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦17. ➛ Z p a 2 − x 2 d x (a > 0) . ✮ ✗ x = a sin t , ❦ d x = a cos t d t . t = arcsin xa , − a 6 x 6 a, − π2 6 t 6 π2 . ❾âú➟(6),❦Z pa2 − x2dx = Z pa2 − a2 sin2 t | {z } f[φ(t)] · costdt | {z } φ0(t)dt = a2 Z | cost| costdt = a2 Z cos 2 t d t = a 22 Z (1 + cos 2 t)d t = a 22 Z d t + Z cos 2 t d t = a 22 t + 12 sin 2 t + C = a 22 t + a 24 sin 2 t + C = a 22 arcsin xa + x2 p a 2 − x 2 + C. ✺ ✟ − π2 6 t 6 π2 ➒ ,| cos t| = cos t . a 24 sin 2 t = 12 a sin t · a cos t = 12 x p a 2 − x 2