证明 已知F(x)是函数f(x)的一个原函数，即x∈R有 F(x)=f(x): (1) 设Φ(x)是函数f(x)的任意（规意“任意”二字）一个原函数，即x∈I,有 ④(x)=f(x). (2) (1)式与(2)式相减，有 访问主页 Φ'(x)-F(x)=[Φ(x)-F(x'=f(x)-f(x)=0 标题页 根据§6.1例1的推论，Φ(x)-F(x)=C(C是某个常数)或④(x)=F(x)+C,即 函数f(x)的任意一个原函数④(x)都是F(x)+C的形式.■ 第7页603 这个定理指出，一个函数的无限多个原函数彼此仅相差一个常数.如果 返回 全屏显示 欲求函数∫(x)的所有的原函数，只需求出函数的一个原函数，然后再加上任 关闭 意常数C就得到了函数的所有的原函数. 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 7 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ②➨ ➤⑧F(x)➫➻êf(x)✛➌❻✝➻ê,❂x ∈ R❦ F 0 (x) = f(x). (1) ✗Φ(x)➫➻êf(x)✛❄➾(✺➾✴❄➾✵✓✐)➌❻✝➻ê,❂x ∈ I,❦ Φ 0 (x) = f(x). (2) (1)➟❺(2)➟❷⑦,❦ Φ 0 (x) − F 0 (x) = [Φ(x) − F(x)]0 = f(x) − f(x) = 0. ❾â§6.1⑦1✛íØ,Φ(x)−F(x) = C(C➫✱❻⑦ê)➼Φ(x) = F(x) + C,❂ ➻êf(x)✛❄➾➌❻✝➻êΦ(x)Ñ➫F(x) + C✛✴➟. ù❻➼♥➁Ñ,➌❻➻ê✛➹⑩õ❻✝➻ê✯❞❂❷☛➌❻⑦ê. ❳❏ ➊➛➻êf(x)✛↕❦✛✝➻ê,➄■➛Ñ➻ê✛➌❻✝➻ê,✱✷❭þ❄ ➾⑦êCÒ✚✔✡➻ê✛↕❦✛✝➻ê
定理的几何意义是，函数f(x)的原函数y=F(x)是那样的曲线，在它上任 意一点(x,F(z)的切线斜率等于（已知的）f(x).将此曲线则=F()沿轴 平移所得到的曲线则=F(x)+C都是函数f(x)的原函数的曲线，即两个原 函数彼此仅相差一个常数.（如图7.1） 访问主页 标题页 W炒 第8页603 返回 全屏显示 关闭 图 7.1 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 8 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➼♥✛❆Û➾➶➫,➻êf(x)✛✝➻êy = F(x)➫❅✘✛➢❶,✸➜þ❄ ➾➌✿(x, F(x))✛❷❶✒➬✤✉↔➤⑧✛↕f(x). ò❞➢❶y = F(x)÷➯ ➨↔↕✚✔✛➢❶y = F(x) + CÑ➫➻êf(x)✛✝➻ê✛➢❶,❂ü❻✝ ➻ê✯❞❂❷☛➌❻⑦ê. (❳ã7.1)
二、不定积分 定义函数f(x)的所有的原函数F(x)+C(VC∈R)称为函数的不 定积分，表为 f(z)dz=F(z)+C (F(x)=f()), 其中f(x)称为被积函数，f(z)dx称为被积表达式，C称为积分常数 由此可见，一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一 访问主页 个函数族.例如 标题页 (Gar) =t,而 atdt at2+C: 第9页603 (sinx)}=cosx,而 cos adt sin+C 返回 ）=2,而 ∫=+c 全屏显示 关闭 求已知函数的不定积分运算称为积分运算.可见，积分运算是个分运算 退出 的逆运算
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 9 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✓✦Ø➼➮➞ ➼➶ ➻êf(x)✛↕❦✛✝➻êF(x) + C(∀C ∈ R)→➃➻ê✛Ø ➼➮➞,▲➃ Z f(x)dx = F(x) + C (F 0 (x) = f(x)), Ù➙f(x)→➃✚➮➻ê,f(x)dx→➃✚➮▲❼➟,C→➃➮➞⑦ê. ❞❞➀❸,➌❻➻ê✛Ø➼➮➞◗Ø➫➌❻ê,➃Ø➫➌❻➻ê,✌➫➌ ❻➻ê①. ⑦❳: 1 2 at2 0 = at,✌ Z atdt = 1 2 at2 + C; (sin x) 0 = cos x, ✌ Z cos xdt = sin x + C. 1 3 x 3 0 = x 2 , ✌ Z x 2 dt = 1 3 x 3 + C; ➛➤⑧➻ê✛Ø➼➮➞✩➂→➃➮➞✩➂. ➀❸,➮➞✩➂➫❻➞✩➂ ✛❴✩➂
关于积分运算有下列运算法则； l.(∫f(x)dx)/'=fx)或d∫fx)dr=f(x)dz, 即不定积分的二数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）. 事实上，设F(x)是函数f(x)的一个原函数，即F(x)=f(x),有 （fa)d）=(r)+cy=fa 2.∫F'(x)d=F(x)+C或∫dF(a)=F(x)+C, 即函数F(x)的二数（或微分）的不定积分等于函数族F(x)+C 访问主页 事实上，已知F(x)是函数F(x)的原函数，则 标题页 “ F'(x)da=F(x)+C. 第10页603 例如： 返回 全屏显示 关闭 sin xda sinx. (fo- 退出 dsinx sin+C. d(3z2+x)=3x2+x+C
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 10 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✬✉➮➞✩➂❦❡✎✩➂④❑; 1.R f(x)dx 0 = f(x) ➼ d R f(x)dx = f(x)dx, ❂Ø➼➮➞✛✓ê(➼❻➞)✤✉✚➮➻ê(➼✚➮▲❼➟). ➥➣þ,✗F(x)➫➻êf(x)✛➌❻✝➻ê,❂F 0 (x) = f(x),❦ Z f(x)dx 0 = (F(x) + C) 0 = f(x). 2.R F 0 (x)d = F(x) + C ➼ R dF(x) = F(x) + C, ❂➻êF(x)✛✓ê(➼❻➞)✛Ø➼➮➞✤✉➻ê①F(x) + C. ➥➣þ,➤⑧F(x)➫➻êF 0 (x)✛✝➻ê,❑ Z F 0 (x)dx = F(x) + C. ⑦❳: Z sin xdx 0 = sin x. Z (3x 2 + x)dx 0 = 3x 2 + x. Z d sin x = sin x + C. Z d(3x 2 + x) = 3x 2 + x + C
3.∫af(x)dx=a∫f(x)dz,a是常数，且a≠0， 即被积函数的常数因子可以移到积分号的外边 事实上，(a∫f(x)dx)'=a(f(x)dx)=afz), 即 af(x)da=a f(z)dz. 4.∫儿f(x)土g(xdx=f(x)dz±∫g(x)dx, 即两个函数代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和。 事实上 访问主页 (∫f(x)dx±∫g(r)dz)'=(fr)dx)'+(∫g(x)dx)'=f(a)±g(x, 标题页 炒 即 /f(a)±gxdr=fe)dx± g(x)dx. 第11页603 这个话则可推广到n个（有限）函数，即个函数代数和的不定积分等 返回 全屏显示 于n个函数不定积分的代数和. 关闭 因为积分运算是导数运算的逆运算，所以导数公式表中的每个公式反转 退出 过来就得到了下列不定积分的公式表：
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 11 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ 3.R af(x)dx = a R f(x)dx, a➫⑦ê,❹a 6= 0, ❂✚➮➻ê✛⑦êÏ❢➀➧↔✔➮➞Ò✛✠❃. ➥➣þ, a R f(x)dx 0 = a R f(x)dx = af(x), ❂ Z af(x)dx = a Z f(x)dx. 4.R [f(x) ± g(x)]dx = R f(x)dx ± R g(x)dx, ❂ü❻➻ê➇êÚ✛Ø➼➮➞✤✉③❻➻êØ➼➮➞✛➇êÚ. ➥➣þ, R f(x)dx ± R g(x)dx 0 = R f(x)dx 0 + R g(x)dx 0 = f(x) ± g(x), ❂ Z [f(x) ± g(x)]dx = Z f(x)dx ± Z g(x)dx. ù❻④❑➀í✷✔n❻↔❦⑩↕➻ê,❂n❻➻ê➇êÚ✛Ø➼➮➞✤ ✉n❻➻êØ➼➮➞✛➇êÚ. Ï➃➮➞✩➂➫✓ê✩➂✛❴✩➂,↕➧✓êú➟▲➙✛③❻ú➟❻❂ ▲✺Ò✚✔✡❡✎Ø➼➮➞✛ú➟▲: