《系统工程》（外文版） Systems Engineering

Das Systemmodell Seite 11 d) Aus der Definition 4( Seite 2)ergibt sich, dass eine hierarchische Struktur moglich ist Hierzu ein beispiel 3.1 4.1 3.2 4.2 3.3 Bild 2.5: Hierarchische Struktur von Systemen Hierarchieebenen konnen wie folgt definiert werden Hierarchieebene 1: Gesamtsystem Hierarchieebene 2: Elemente( 1, 2, 3, 43 Hierarchieebene 3: Elemente (3.1, 3.2, 3.3, 4.1, 4.2) Systems Engineering Prof. Dr.-Ing. E. Igenbergs

Das Systemmodell Seite 11 Systems Engineering Prof. Dr.-Ing. E. Igenbergs d) Aus der Definition 4 (Seite 2) ergibt sich, dass eine hierarchische Struktur möglich ist. Hierzu ein Beispiel: Gesamtsystem Bild 2.5: Hierarchische Struktur von Systemen Hierarchieebenen können wie folgt definiert werden. - Hierarchieebene 1: Gesamtsystem - Hierarchieebene 2: Elemente { 1, 2, 3, 4 } - Hierarchieebene 3: Elemente {3.1, 3.2, 3.3, 4.1, 4.2}

3 Grundbegriffe Die Struktur eines Systems ist eine Aussage uber die gesamtheit der elemente mit deren Att- ributen. Oft wird als Struktur eine Aussage uber das Muster angesehen, das die elemente bil den, wenn die relationen zwischen den elementen betrachtet werden. Diese sind wiederum durch die Input-und Outputfunktionen der Elemente des systems festgelegt Unterschiedliche Teil-Strukturen eines Systems sind darstellbar, wenn die Relationen in Klassen(auch Relationsty pen) unterteilt werden konnen Abgeleitete Parameter zur Beschreibung von Systemen Varietat Unter der Varietat Va versteht man allgemein die Anzahl diskreter Elemente(Machtigkeit X der menge X von Elementen). Einschrankend wird hier unter dem Begriff"Varietat"die An zahl der verschiedenen Elemente gesehen, also die anzahl der elemente mit unterschiedlichen Attributen Va=X=(eil Ein System aus n verschiedenen Elementen hat somit die varietat: Va=n =4→Va=4 Sind zum Beispiel in einem System alle Elemente gleich, dann ist die so definierte Varietat durch Va=I gegeben 5 4→Va=1 Aus der Systemdefinition Bild 1.4 ergibt sich, dass zusammen mit dem Begriff der Hierarchien auch Relationsebenen eingefuhrt werden konnen, innerhalb derer wiederum die varietat be- rechnet werden kann Unter einer Relationsebene wird die menge der innerhalb einer hierarchischen Ebene auftre tenden Relationen verstanden Im folgenden ist die berechnung der Varietat Va in einfachen Fallen dargestellt. Besteht ein System aus gleichen und ungleichen Elementen(insgesamt n Elemente), und k Elemente haben gleiche Eigenschaften, dann ergibt sich fur die varietat Va=n-k+1 Systems Engineering Prof. Dr.-Ing. E. Igenbergs

Grundbegriffe Seite 12 Systems Engineering Prof. Dr.-Ing. E. Igenbergs 3 Grundbegriffe Die Struktur eines Systems ist eine Aussage über die Gesamtheit der Elemente mit deren Att￾ributen. Oft wird als Struktur eine Aussage über das Muster angesehen, das die Elemente bil￾den, wenn die Relationen zwischen den Elementen betrachtet werden. Diese sind wiederum durch die Input- und Outputfunktionen der Elemente des Systems festgelegt. ⇒ Unterschiedliche Teil-Strukturen eines Systems sind darstellbar, wenn die Relationen in Klassen (auch Relationstypen) unterteilt werden können. Abgeleitete Parameter zur Beschreibung von Systemen Varietät Unter der Varietät Va versteht man allgemein die Anzahl diskreter Elemente (Mächtigkeit |X| der Menge X von Elementen). Einschränkend wird hier unter dem Begriff "Varietät" die An￾zahl der verschiedenen Elemente gesehen, also die Anzahl der Elemente mit unterschiedlichen Attributen. Va = | X | = | { e } | Ein System aus n verschiedenen Elementen hat somit die Varietät: Va = n n = 4 ⇒Va = 4 Sind zum Beispiel in einem System alle Elemente gleich, dann ist die so definierte Varietät durch Va = 1 gegeben. n = 4 ⇒Va = 1 Aus der Systemdefinition Bild 1.4 ergibt sich, dass zusammen mit dem Begriff der Hierarchien auch Relationsebenen eingeführt werden können, innerhalb derer wiederum die Varietät be￾rechnet werden kann. Unter einer Relationsebene wird die Menge der innerhalb einer hierarchischen Ebene auftre￾tenden Relationen verstanden. Im folgenden ist die Berechnung der Varietät Va in einfachen Fällen dargestellt. Besteht ein System aus gleichen und ungleichen Elementen (insgesamt n Elemente), und k Elemente haben gleiche Eigenschaften, dann ergibt sich für die Varietät: Va = n - k + 1 z ¼ 5 1 5 5 5 5

Wenn von den n Elementen m in g Untersystemen zusammengefasst sind, erhalt man fur die VarietalⅤ Va=n-m +g (wobei die g Untersysteme nicht gleich sein sollen) mit n: Anzahl aller elemente m: Anzahl von Elementen in Untersystemen g: Anzahl der Untersysteme Allgemein gilt Das System kann aus gleichen und ungleichen Elementen zusammengesetzt sein Elemente ohne Untersysteme konnen gleich und ungleich sein Elemente, die Untersysteme sind, konnen gleich und ungleich sein Eine"allgemeinere" Formel fur die berechnung der varietat kann erst dann aufgestellt werden, wenn die Voraussetzungen und Nebenbedingungen festgelegt sind. Eine solche Formel hat also Modellcharakter Die Varietat Va kann dimensionslos dargestellt werden, zum Beispiel als Va s VasI wenn o a Definitionen verwendet werden Relationen Die Wechselwirkung zwischen Elementen eines Systems wird als Relation bezeichnet. Dieser Begriff ist auch als"Uberbegriff" nutzlich, wenn die Wechselwirkungen zum Beispiel eingeteilt werden in die Ubertragung von Masse, Impuls, Energie und Information, oder wenn die Wech- selwirkung zwischen Elementen Z B. der Musikumwelt(Mikrophone, Verstarker, Lautspre- cher)im Unterschied zu der Wechselwirkung Zwischen Elementen der Musikwelt(Komponis ten, Dirigenten, Feuilletonisten) dargestellt werden soll Eine relation r in der menge m kann I)reflexive sein, wenn fur alle xE m gilt (xRx→xRx) Systems Engineering Prof. Dr.-Ing. E. Igenbergs

Grundbegriffe Seite 13 Systems Engineering Prof. Dr.-Ing. E. Igenbergs Wenn von den n Elementen m in g Untersystemen zusammengefasst sind, erhält man für die Varietät Va: Va = n - m + g (wobei die g Untersysteme nicht gleich sein sollen) mit n: Anzahl aller Elemente m:Anzahl von Elementen in Untersystemen g: Anzahl der Untersysteme Allgemein gilt: - Das System kann aus gleichen und ungleichen Elementen zusammengesetzt sein. - Elemente ohne Untersysteme können gleich und ungleich sein. - Elemente, die Untersysteme sind, können gleich und ungleich sein. Eine "allgemeinere" Formel für die Berechnung der Varietät kann erst dann aufgestellt werden, wenn die Voraussetzungen und Nebenbedingungen festgelegt sind. Eine solche Formel hat also Modellcharakter. Die Varietät Va kann dimensionslos dargestellt werden, zum Beispiel als Va Va n = , mit 1 1 n ! Va ! , wenn o.a. Definitionen verwendet werden. Relationen Die Wechselwirkung zwischen Elementen eines Systems wird als Relation bezeichnet. Dieser Begriff ist auch als "Überbegriff" nützlich, wenn die Wechselwirkungen zum Beispiel eingeteilt werden in die Übertragung von Masse, Impuls, Energie und Information, oder wenn die Wech￾selwirkung zwischen Elementen z.B. der Musikumwelt (Mikrophone, Verstärker, Lautspre￾cher) im Unterschied zu der Wechselwirkung zwischen Elementen der Musikwelt (Komponis￾ten, Dirigenten, Feuilletonisten) dargestellt werden soll. Eine Relation R in der Menge M kann I) reflexiv sein, wenn für alle x ∈ M gilt: (x R x ⇒ x R x) X

II)symmetrisch sein, wenn fur alle Elemente x und y der Menge M gilt Steht x in Beziehung zu y, dann steht auch y in Relation zu x Ry→yRx) III)transitiv sein, wenn fur alle x, y und z der Menge M gilt Steht x in Relation zu y und y in Relation zu z, so steht auch x in Beziehung zu z ( XR yund yrz→xRz) y Eine Relation ist gerichtet, wenn sie einen Anfangs-und Endpunkt hat. Es gibt einseitig und beidseitig gerichtete Relationen. Ein Beispiel fur ein System mit gerichteten Relationen ist 2 l{r}|=2 {r}|=3 3 einseitig gerichtetes System beidseitig gerichtetes System Ist eine Zuordnung von Elementen nicht eindeutig(Relationen ohne einen Anfangs-und End- punkt), so liegt ein ungerichtetes System vor 2 {r}|=2 3 ungerichtetes System Die Unterschiede sind bei der Interpretation von Darstellungen von Systemen unbedingt zu beachten Systems Engineering Prof. Dr.-Ing. E. Igenbergs

Grundbegriffe Seite 14 Systems Engineering Prof. Dr.-Ing. E. Igenbergs II) symmetrisch sein, wenn für alle Elemente x und y der Menge M gilt: Steht x in Beziehung zu y, dann steht auch y in Relation zu x; (x R y ⇒ y R x) III) transitiv sein, wenn für alle x, y und z der Menge M gilt: Steht x in Relation zu y und y in Relation zu z, so steht auch x in Beziehung zu z. (x R y und y R z ⇒ x R z) Eine Relation ist gerichtet, wenn sie einen Anfangs- und Endpunkt hat. Es gibt einseitig und beidseitig gerichtete Relationen. Ein Beispiel für ein System mit gerichteten Relationen ist: | { r } | = 2 | { r } | = 3 einseitig gerichtetes System beidseitig gerichtetes System Ist eine Zuordnung von Elementen nicht eindeutig (Relationen ohne einen Anfangs- und End￾punkt), so liegt ein ungerichtetes System vor. | { r } | = 2 ungerichtetes System Die Unterschiede sind bei der Interpretation von Darstellungen von Systemen unbedingt zu beachten

Konne ktivitat Die Konnektivitat K ist definiert als die anzahl der Wechselwirkungen(Relationen) zwischen den Elementen eines Systems Diese kann insgesamt oder aber fur jede hierarchieebene ermittelt werden. Die maximal mogl che Konnektivitat ist abhangig vom Systemtyp(reflexive, nicht reflexiv, offen, geschlossen, beidseitig oder einseitig) Die maximale Konnektivitat Km fur geschlossene Systeme kann w folgt berechnet werden(n= Anzahl der elemente) D) beidseitig gerichtetes, reflexives System In gerichtetes, nicht reflexives System K n=n(n-1) 2 III) ungerichtetes, reflexives System K=n(n+1) m Systems Engineering Prof. Dr.-Ing. E. Igenbergs

Grundbegriffe Seite 15 Systems Engineering Prof. Dr.-Ing. E. Igenbergs Konnektivität Die Konnektivität K ist definiert als die Anzahl der Wechselwirkungen (Relationen) zwischen den Elementen eines Systems. Diese kann insgesamt oder aber für jede Hierarchieebene ermittelt werden. Die maximal mögli￾che Konnektivität ist abhängig vom Systemtyp (reflexiv, nicht reflexiv, offen, geschlossen, beidseitig oder einseitig). Die maximale Konnektivität Km für geschlossene Systeme kann wie folgt berechnet werden (n = Anzahl der Elemente): I) beidseitig gerichtetes, reflexives System Km n2 = = 9 II) gerichtetes, nicht reflexives System Km n2 n = n(n -1) Km = ! = 6 III) ungerichtetes, reflexives System Km n(n 1) 2 = + = 6