描述仪器和电子的状态。故整个系统的初态波函数等于下列 乘积： 平(g)Φ。(5)， (7.1) 随后，仪器和电子进入相互作用.运用量子力学的方程式，可在原 则上迫宗该系统的波函数随时间的变化，在测量过程结束之后 这个波函数当然不一定再为图数5和函数g的乘积.把这个波图 数对仪器的本征函数④（它」构成一完备组）展开后，可得下列叠 加形式： 2A.9)D,, (7.2) 其巾A.(q)为q的某种函数. 仪器的经典性质，以及经典力学既为量子力学的基础又为其 极限情形的双重角色，现在开始露面，如前所述，仪器的经典性质 意味着，g量(“仪器读数”)在任何时刻均有某种定值.这就使我 们能够断定，测量之后，仪器加电子的整个系统的态，实际上并不是 由(？.2)式的整个级数之和描述，而是由其中与仪器“读数”9相 对应的那一项描述的： A,(q)Φn(), (7.3) 由此可见，上式中的A(q)正比子测量结束后电子的被函数.从函 数4(q)并没有归一化这-·点也可以看出，它还不是电子被函数 本身，A(g)中不但包含有关电子未态性质的信息，而且还包含若 仪器州现第？个“读数”的几率（由系统初态所确定）的信息， 由于盘子力学方程的线性性质，A()和电子的初态波函数 平(q)的关系，一般讲来，可以通过某种线性积分算符表出： 4.(q)=K(q,4)Ψ(g)dg', (7.4) 其中的核K(g,g)表述这个测量过程的特征. 。27
我们假定上述测量给出了电子态的完全描述.换句话说（见 §1)，末态中所有各量的儿举应该马与电子的先前（测量以前）状态 无关.从数学上讲，这意味考函数4n(g)的形状必须山测量过程 木身所确定，而与电子的初态被函数Ψ(9)无关.因此An应呈下 列形式： An(g)-ag(g). (7.3) 共巾甲：为某种确定的函数，我们假定它已经明一化，只有常数a 才依赖于叩(q)在积分关系式(7.)中，这相当于核n《g.g) 解成为9的函数利q的函数的乘积 Km(g,q)-p(g)Ψ(q). (7.6) 从而常数a.和函数平(g)的线性关系是下列形式： aa=「g)Ψt(gdg, (7.7) 其中平(q)为依赖于测量过程的某些确定的函数. 函数9()就是测量之后电子的归一化波函数.这里我们看 到，用测其方法确定一个电子态的可能性在理论的数学袋述中是 怎样得到反映的（这个电子态可用一个确定的被函数指述） 如果对一个波函数给定为平(？)的电了进行这种测异，则常数 a,具有一个简单的物理含义：根据一般规则，|an?就是测得第驼 个结果的几率.所有测量结果的总几幸应该等于一： ∑lan18=1. (7.8) 为了使(7.7)式和(7.8)式对任总的归一化的的数平(9)都能成立， 任意函数Ψ(g)必须（参考§3）能对函数纽平(q)展开.这就是 说，平.(g)构成一·套E交门一化的光备函数织. 如果电子的初态波函数等下北中的一个型(9)函数.则与平 对应的8，常数显然等于一，而共它的a都等于零.换句话说，对 ·28·
处于平(q)态的电子进行该种测最后，背定能够得出第个结果 函数P(g)的上述切性质表明，它J就是明以标志电了的 某种物理量（用F表示之）的本征函数，我们所讲的那种测量，以 说成是对手这个景迭行测最」 十分重要的是，甲n(g)这组函数·般讲来并不等于p.(q)这组 函数.一般并来，后组函数甚至并不相互正交，也不构成任…第 符的本征函数组.这就表明了这栉一个事实，显子力学中的测量 结果是无法章现的.知果也子处于里(q)态，那么，测量∫的结 朵，会肯定地得出，值，但当测量结束之后，该电了就处于不同 于初态的甲(q)态，一般评来。任这个态巾∫不顶取任何定值，放 在第一次测量结束之后，对该电了紧接著作第一次测量时.我1会 得到不同于第一次测得的∫值①.琴想用第一次测景的已知结界 去预断第二次测量的结果（意即算什其儿率），我们必须肯先知道： 油第一次测量所建立的那个态的波函数的(q).以及在第二次测量 中欲求其几书的那个波函数平().这就是说、从第一次测量结 束的仰(q)出发，应用景子力学方程求出(g.)波函数；那么， 在t时刻进行第二次测量时获得第m个结采的几举可以用积分 pn(q,t)乎告(q)dg的模量平方给出之. 我们看到，量了力学中的调量过程具有“两面”性：它对了的 过去和宋来起着不同的作用.对过去而言，即对前次测量中所建 立的一个也子态而，通过这次测量，可以“验证”由该态所预断的 ①关门丁测的无认凌现机叫题.必河指出一个亚翠例外一测保结果可以帝现 的-个母就足东，在儿够短时郁内付一个电子的整异过行两次摊景.-一之会 得出机都将：否则将龙味教电子具打无极人倍速度.从数学上请来，这一点与下列起 实有大，3红予和仪器的胡互作别能业答符与坐标算符刘又因为这种相互作用储 (在非相对论理论中)仅为生标的函数。 ·29·
各种可能结果的儿率。对未来而言，通过这一次的湖量后又建立 了一个新的电子态（尚可见§44）.因此，测冠过程木身的这个特 性包今着一个突邃的不可逆性原理. 这种不可逆性具有重要的原则意义.我们将在以后看到（见 §18末段)，量子力学基本方程本身树时间的变弓具有对称性；从 这-·方面讲来，量子力学经典力学没行仆么区别.但是测量过 程的不可逆性，使得时间的两个指向具有物理上的不等价性，地就 是说，使得过去和未来是现差别。 50
第二章能量和动量 §8.哈密顿算符 量子力学中，物理系统的态完金出波函数平确定，这就是 说，给出了某-时刻的波函数后，不但该系统该时刻的所行性 质得以描述，并且能确定该系统任今后所有时刻的行为（当然.这 只能确定到最子力学一般允许的完备程度为止).这一事实的数 学表述为，任一时刻波的数的时间微商光的伦必须山该时刻的 Ψ函数的值所确定，根批叠加原理，它」之向的关系还应是线性 的.其最普遍形式为 (8.1) 式中丑是某个线性算符：因子流的引进下面即将说明. 由于积分式W*q是一个和时间无火的常数，我们有 新vag=%rjw的0 把(8.1)式代人上式，并对第一个积分应H算符的转置定义，我们 有（略去公因予/） [ΨA*W*g-∫业*月Ψdg=了Ψ*i*Ψaq-平*型g =四*(i*-)Ψdg=0 山干上式必领对任恋的平函数成立，因而必须有等式立·=； 放丑是…个厄密算符.我柴求第符H所对应的物理址.为此 ·31·