我们应用波函数的极限表式6.)，并把它写成 器=秀单， 其中的缓变振幅a无需微分.将此式和定义(8.1)式比较，可知极 限情形下，疗算符归结为乘因子一2S/.这就是说，-/t 是厄密算符五所对应的物理量. 我们作力学中然知，总商-正好就是一个力学系统的哈 密倾函数H,故算符丑是量子力学中对应于哈密顿函数的算符； 称为哈密顿算符，或者简称为该系统的哈密顿量.如宋哈密顿靠 的形式为已知，方程(8.1)就确定了该物理系统的波函数.这个量 子力学中的基本方程称为波动方程 §9。算符对时间的微商 量子力学中物理量的时间微商概念、不能按经典力学的方式 加以定义.因为经典力学的微前定义屮考虑了一个进在两个料邻 的不同时刻所具有的数值.但在量子力学中，-个量在某一时刻 其有定值，它在随后各时刻一般讲来非不具有定值；这一点已经在 §1中详细讨论过. 因比量子力学中的闻微商概念必须给予另外的定义、我们 自然地把物理章∫的微商∫定义成这样一个量、这个世的平均 等下平均位手的时侧微商.四定义为： 手=元. (9.1) 从这个定义山发，不难获得对应于手的登子力学算符的表 式.h时于=Ψ*g.放 于-f-w购-小w2平a ·32
+∫g+∫器 其巾的是对算符子进行时间能微商后所程的算符，因为产可能 依獭于参量无。拒器和找(8.1)的农式代入上式可得 手=∫wda+-引iw)fydq-jrfi9ag. 由于算符存是厄密的，因而 (a*型r))dg=(f型)(i*Ψ*dq=ΨNg 此有 子=g+i-秀n）w, 另-方而i,由于按平均值定义有∫=亚*q,故知被积函数 中圆括子内的表式就足欲求的算符⑩： ④经典力学中，如果量f是该系统的广义坐标：和广义动量，的因数.别∫的 时全微商为 器-影+（影4+头） 把哈密方程：=谢，p:和五=-3H/g:代人上式，可得 北中的 a.1=空（影票-影器） 称为f和H两量的泊松括号（参考第一卷，《力学3,42）.此式和(9.2)式比较.我们 看到.当算符〔了-H过渡到经典力学极限情形时.郊一级近似应当等于零，第二 级近似相对灯就是[H,.这个结论对意两个和”升来都是正碗的，印 算符了9一)当向于经典版限楚[fg2,而f、9为下列消松括： (器歌-弘头) 我们总可以把分形式地起歌为某~系统的哈密斯城，机超这个事实即得上人. 。334
子那+后所-. (9.2) 要注意的是，粜算符手不显含时间：那么，于除开一个常因 子/外，就等十算符手和哈密顿量的村易子. 有一类十分重要的物理其，它的算符不显含时间，且和哈密 顿景相对易，从而有j:0.这样的量称为守恒量.出于手=于= 0,即了是一个常数，换句语说，该章的平均值不随时间变化.这 里我们还可断定，如果所给态中的∫具有定值（即波函数为算符子 的一个本征函数)，则在所有的随后时刻该态仍具（同一）定值. §10.定态 封闭系统（或处于恒定外场中的系统）的哈密顿量不可能显含 时间。这是因为对这样的系统讲来，所有时间都是等价的.另一 方面，由于任一算符和它自已当然是对易的，我们就得到这样一个 结论，对不在可变外场中的一个系统讲来，它的哈密顿函数是一个 守恒量.大家知道，守恒的哈缩倾函数称为能量.量子力学中能 量守恒律的意义就在于，如果所给态的能量具有定值，则此值将不 随时问变化. 能量为定值的态称为该系统的定态.描述定态的波函数。 是哈密顿算符的本征函数，满足方程日平m=B平，其中的E.为能 量的本征值.对函数乎。讲来波动方程(8.1)成为 清3=g=尽，严 at 此式可对时间直接积分，并得 平.=e单n(g), (20.1) 式巾中.仅为坐标的函数.上式确定了定态被函数和时间的依赖 关系. ·34·
我们用小写的中代表不包含时问因子的定态波函数.这种函 数以及它的能量本征值是由下列方程确定的： 且的=E的. (10.2) 能量为最小允许值的定态称为该系统的基志、 任一波函数平对定态波函数展开后，呈以下的形式： 亚=∑ne/ayn(g)】 (10.3) 和通常一样，展开式系数的各个模量平方引%2确定了该系统具有 各种能量值的几率 一个定态中的坐标几率分布：模景平方1型，2=.|3所确 定；我们看到它和时间无关，同理可知任一物理量∫（共算符不显 含时间)在定态中的平均值也不随时间变化： 子=「特d=「pf的dg. 前面已经讲过：任一守恒物理量的算竹哈密顿量相对易，这 就是说，任守间物理量可以和能量同时测量. 在一个系统的各种不同定态中，有些定态可能具有相同的能 量值（相同的能级），但有不同的共它物理盛值。被几个不同的定 态所对应的那个能级称为有简并的能级.从物理上讲来，存在着 简诈能级的可能性与下列出实有关，即能量本身一殷讲来还不足 以构成物理量的一个完全集合， 如果有两个守恒的物理景∫和9，它们的算符并不，易：那么 该系统的诸能级一般讲来是简并的.譬如，设中为某一定态波 函数.该态中除能量外量手也具有定值.我们很易断定函数中 并不等同于函数中（常因了除外）：恻该态中的量9也将只有 定值，但这是不可能的，因为∫和9不能同时测量.另一方面，函 数中又是哈密顿量的一个本征阳数、并且和中对应于问一能是 ·35·
值E: 月(g的)=升华-E(p). 由此可见，这个时候有不止一个本征函数对成于同一能量值F,也 就是说该能级是简并的. 属丁同一简并能级的各种不同波函数加以任意的线性组合 后，显然仍为该能级的一个本征函数.换)话说，一个简并能级的 一套木布函数的选择方式不是唯一的.任意选出的属丁问一简并 能级的一套木征函数，一般讲来并不和五正交.但把它们加以适 当的线性组合后，总可以组合成为套E交的（且为归一化的）本 征函数[并且存在着无限多种组合方法，因为在”个函数的线性变 换中有3个独立的变换系数，而n个函数的正交门一化条件只有 之n(+1)个；也就是小于2个]. 对简并能级的一套本征函数所作的上述论所，当然不仅对能 量的木征函数而言是正确的，而且对任一算符的一套本征函数個 言也是正确的.对所论的算符讲来，只有属丁不同本征值的那些 本征函数，才是自动正交的：属于同一简并本征值的那些本征州 数，一般讲来并不相互正交. 如！果系统的哈密顿量等于两个（或更多个）部分之和、H: 庄，卜且，其中的一个部分只含坐标纽g,而另一部分只含坐标组 q2,那么，算符丑的本征函效就能写成算符庄：和算符日的本行 函数的乘积.能量的木征值也就等于这两个算符的木征值之和. 能量的木征值谱既可以是分立谱，也可以是连续谱.分立谢 中的定态总是对应于该系统的有限运动，也就是对应于这祥·种 运动，该系统以及它的任一部分都不会炮到无穷远处.这是因为 对分立谐的本征函数讲米，小乎，9对整个空西的积分是有限 36·