[平(g)平(g)f=6(g'-9). (5.11) 分立谱情形中当然也有·个与上式相类似的关系式： 295gw.g=8g-g. (5.12) (5.1):(5.4)两式和(5.3)，(5.11)两式和比较，可以看出，一 方面，的数平(q)可按函数组业(g)展开其展开系数为a,另一方 面，(5.3)式是·个完全类似的展开式，式中的a=a(f)函数按函 数组等(q)展开，而平(q)充当了展开式系数.函数α()和平(g) 一样，也能完全确定该系统的状态；我们有时把a(f)称为f表象中 的波函数[而四(q)称为表象中的波函数].正如Ψ()i确定系 统的坐标值介于给定的dq区间内的几-·样，a(f)〔2确定了f 的数值介于给定的df区向内的几本.·方i,平，()函数为物理 其∫在g表象中的本征函数；另一方面，它的共柜复函数里(q)就 是坐标9在表象中的本征函数. 设p(f打为物理量f的某种函数，并且和f的关系是一·对 应的.那末，每个平：()函数都可以看作平的一个本征函数.可 是，这时这些函数的门一化问题必颈改变，的本征函数乎，(9) 应按以下条件门一化： ,Ψdg=[p(f)-p(f)]. 而Ψr函数是按条件（⑤.4）归一化的.8函数的宗觉只有当'=∫ 时才等于零.当'趋近于时，我们有 p(f)-)=d(f-f). df 按(5.10)式我1可写成① ①一敏啡米，如伞（红）为某·单值压数其迪函效无搭单位)，我们就有 So(: )-as, 其a4为方程式x)=C的话根。 ·22·
8[p(f)-(f)]=Tap() 1 6(f'-f). (5.13) df 此式和(5.4)式对比，可知乎，和乎：函数的相互.关系为 de() (5.14) 还有一些物理量，这种量在一个值域内具有分立谱，而在另一 俏域内具有连续谱.对这种物理量的本征函数讲来，本节和前节 中导出的所有公式当然也能成立.但有一点必须指出，它的完备 函数组是由分立谱和连续谱的本征函数放在一起组成的.因此， 仁一波函数对这种嘴的本征函数组展开时具有以下的形式： p(q)-∑anΨ.(q）+a平r(q)df. (5.15) 式巾对分立谱求和，并对整个连续谱求积分. 坐标9本身是具有连续谱的物理量的…个例了.容易证明： 它所对应的年符相当于简单地乘以因了g.由下各种不同坐标值 的儿率是由模量平方引Ψ(g)2确定的，所以坐标平均值应为 -」gΨ1dg=w*gΨg. 将上式和算符定义(3.8)式比较，得到① g.:g. (5.16) 根批一般规则，这个算符的本征函数成该由方程平。.一9型，.确 定，式中的9暂时代表具体的坐标值，以但和变量9相区别.出 于甲，一0或？二时这个方程式都能得到满足，很明址，满足归 ①为简单计、今后我1常把机擎于乘以某因子的算符写成该采积内的形式. ，23·
、 化条件的木征函数应该是D Ψ.=ò(9-9o) (5.1) §6.过渡到经典力学极限情形 子力学把经典力学作为自己的某种极限形式包括进去.产 生的问题是！何过渡到这种极限情形. 在量子力学中，·个电子是山波函数描述的，波函数确定了电 子坐标的各种数值；对于这种波函数，迄今我们只知其为某种线性 偏微分方程的解.另一方面，经典力学中的一个电子被看成一个 物质点，运动于由运动方程所完企确定的轨道上.量子力学和经典 力学之问的这种内在关系，在某种意义，与电动力学中被动光学 和儿何光学之闻的内在关系相类似.在波湖光学中，电磁被是山 满足-·定的线性微分方程组（即麦克斯有方程）的电场矢量和磁场 矢量所描述的.但在几何光学中，光的传播被看作是沿着确定的 轨道（光线）行进的.这种类似性，使我矿能象波动光学过渡到几 何光学那样，将量了力学过渡到经典力学的极限情形. 我们来回忆-一下波动光学在数学形式上是何过渡到几何光 学的（见《场论之.§53）.设u为电磁波的任一场分量，它可表成 =ae的形式(a和p为实量)，其中的a欧为波的振幅，p称为波 的周相.几何光学对应于波长很短时的极限行形：从数学上进来 就是周相P(在几何光学中，甲称为光程函数)在知距离内贝有很 国任一甲函数对这种本征函短展开后的层开式系数为 a:Ψ(g:6g-9g=) :坐标位分于给定区间dg内的几率为 luaoldg-IΨ、go lidgs 这正是应有的错华 ·24
人的改变最；这就是说，此可以假定？木身只有很大的绝对值 与此类似，我」可以从这祥的假定出发，假定量子力学的波烟 数在经典力学极限悄形下其有型=ae"的形式，式巾的a是一个 缓变函数，而取很人的数值.大家知道，力学巾的质点轨道可以 通过变分原理确定.按此原理，一个力学系统的作用量S必须取极 小值（最小作用量原理）.在几何光学中，光线是山新谓费马原理 确定的，按此原理，光线的光程亦即轨道的起端与终端的周相差必 须取最小（或最大）可能值。 基丁这一类似性，我]可以街断言，在经典极限情形下，波函数 中的周相伞应与所考虑物理系统的力学作用最$成正比.即有S ·常数×？，这个比例常数称为普朗克常数，我们以方表示0.方 具有作用量的量纲（内无量纲），并且 克1.054×10-27尔格·秒 因此一个“几乎经典的”（或称准经典的）物理系统的波函数具 有下列形式： y=ae号 (6.1) 普朗克常数方在一切最子现象中占有重要地位.它的相对伯 (与引同景纲的其它物理量相比)决定若该物理系统的“量子化程 度”.量子力学问经典力学的过渡：相当于周相很大时的情形，这 可用无趋于零（伤→0）的形式描述（正如波动光学过渡到几何光学 附，相当于波长趋于零，1→). 我们已经阐明了波函数的极限形式，但米涉及它与经典轨道 运动的关系问题。一般讲来。用波函数指运的运动并不趋向确定 的轨道运动.之与经典运动的关系是这样的，假定在某一起始时 ①19纤中M.普绷克引入物现学中。本柠各处所用的壳，严格胡来应等于 普湖克常数除以2：南悬狄喇克记号. ·25·
刻，被咽数和随之而有的坐标几中分布值已给定，在随后各时叶刻： 这个几卓分布将按经典力学的定律变化（详见§17的米段）. 为了得出沿确定轨道的运动，我们必须从特殊形状的波护数 出发，这种波函数只在一个很小的空间范田内才显著地不等于零 (称之为波包)；这个空间范阴的尺度必须随克一起趋下零.然后 我们才能说、在准经典情形下，该波被包在空间将沿质点的红典轨道 运动. 最后，量子力学算符在这种极限情形下应该还原成为一个乘 积因子，这个因子就是相应的物理量。 §7.波函数与测量 让我们再回到测显过程，它的性质已经在§1中定性地讨论 过；现在来说明这些性质和量子力学的数学表述是怎样联系的. 考虑包括以下两个部分的一个系统：一个轻典仪器一个电 子（看作一个量子客体）.测量过程就是这两个部分述入相互作 川，其结果是仪器由初态转为另一状态，根据其：状态变化可以引出 也子状态的有关结论.仪器的状态是由标志它的某种（或某些）物 理量的数值一即“仪器的读数”一所确定的.我们暂时用9表 示这个量，用9表示g的本征值；g的值域按照仪器的经典性质 ·般讲来应该是连续的，但我们一仅为今后简化公式起见一 假定它为分立谱.仪器的状态可用准经典波函数中()描写之， 下标n对应于仪器“读数”9，而专为其坐标织.仪器的经典性质 表现于下列事实，在任一给定时刻，我们可以肯定它处于具有确定 g值的某已知态中，中；这样的假定，对一个量子系统讲来，当然 是不合理的 令中，()为仪器的初态被函数（测茕之前）.平(q)为电了的任 一归-·化初态波函数〔q表示其坐标组).这两个函数相互独立地 ·26·