积.实际上，设平.为手和的共同本征函数我们有 f平.=于（平，）=fgnΨ.=gnfn=gnfΨn (记号伊代表一个算符，它作州于函数平上的结果，等于先把算 符方作用于平上再把算符手作州于函数平后所得的结果).园 样地我们也可以用算符手代替，两者的差别仅在于因了子的次 序.这两个算符作用于甲。函数的结果显然是相同的.由下任一 波函数乎可表为平.函数组的线性合，故和子作用于任一 函数的钻果也是相同的.这一书实可以用符号等式有=「表示 之，或马作 f6-f=0. (4.3) 这样的两个算符手和称为可易或相互对易.由此得出一个重 要钻论：如果f和9两个量可以同时取定值，则其算符彼此对易. 上述定理的逆定理也能加以证明（见§1）：如朵算符f和 对易，那未，它们所有的本孤函数都可取成两者的共同本征函数； 其物理含义是，这两个算符所对应的物理量可以同时澜#.因此 算符的可对易性是物理量可以同时测量的一个充要条件. 第符相乘的个特殊情形是一个算符的幂乘.根据以上的过 论可知、算符（印为整数）的本征值等于算符子的本征的P次 方.-·般讲来，我们可以把一个算符手的任意函数仰()定义为 一个算符，这个算符的本征值等于引同函数p(f),其中的∫是算 符手的本征值.如果函数()可成成泰勒级效，则算符4（也 能展成这样的幂级数、即归结为各种幂次的 特别是算符手，它称为手的逆算符.龈然，把算符了和1先 后作用于任一函数上，其结果使该函数保持不变，亦即有了行【= 子1f1. 如果于：9不能同附测，它的乘积服念流不再具有上述 直接意义，这一点可川下列球实说：现在的算符9不再自扼 。17
从而不能对应于任-一实物理量.事实上，根据一个算符的转置定 义.我们可写出 「ΨfiΦq=「平f()ag=「(gp)(f型)ag, 这里的算符了只作州在亚上而算符只作用在中上，所以被积函 数不过是办和型两个函数的简单乘积.再一次应用算符的转 置定义，我]可写战 「9中dg=「()(0p)dg=[Φpdg. 于是我们得到一个积分，和原积分相比，其中的图数平和④ 对调了位置.换创话说，算符可子是了行的转置算符，我们可写 成 防=饼 (4.40 即乘积的转置，等于其因子分别转置后再以相反次序写出的乘 积.(4.4)式两边都取复共扼，可得 (f)+=子种 (4.5) 如果了和都是厄密算符，则(f)+=.山此可见，当月仅 当子和对易附，有才能是厄密算符. 我要指出，从两个不对易厄密算符的乘积有和子出发 可以对称化成一个厄密算符： 之(+)， (4.6) 这样的表式有时会碰到；称之为对称化乘积. 容易看出有一子是一个反厄密算符（即其转置算符等于其复 共轭算符乘上一个负号).它乘上后耶可变成厄密算符；因此 (f0-f) (4.7) 又是一个厄张算符. 为简便计，今后我1有时将用以下的记号： 。18·
{f,}=行-f (4.8) 并称为这两个算符的对易子.容易明下列恒等式 {f-{f,}g÷f{e,}. (4.9) 注总，如果后}=0和{你，=0，-一般讲并不导致子和对易. §5.连续谱 装3和84中描述分立谱本征函微特性的所有关系式、可以笔 无困滩地推广到术征值为连续谱的情形中去. 设∫为具有连续谱的-一个物理量.我可以简单地：用同一字 母∫代表它的各个本征值，并用平，代表相应诸本征函数.按(3. 2)式，仟一波函数甲可对分立谱的-…套本征函数来展开，与此类 似，平地可对具有连续谱的物理景的…完备本征函数来展（此 时展式是·个积分式).这种展式所其的形状为 Ψ(g)=a平r(g)df、 (5.1) 式中的积分延及量手所能采的整个值域. 连续谱本征函数的归·化可题要比分立谱情形来得复杂.以 后将看到，本征函数模量平方积分等于一的要求，现在无法满足 为此，我们把乎，函数的归一化定义改成：这样：使得引侧f等于任 平，波函数所描述的态中测得该物量的数值介于手和∫，时之 间的几率.所有∫可能值的几*总和必须等于一，因此有 la;izaf=1 (5.2) [类似于分立谱的(3.3)式]. 仿效推导(3.5)式的方法，应用同一论证，得下列两式，其 一是 ww'dq=iaidf, 19
其二是 「Ψp*dg=[fa时Ψ1afag 比较以上两式，发魂展F式诸系数满足下列公式： ar=Ψ(g)Ψ7(g)dq, (5.3) 此式与(3.5)式完金类似. 为了推导归-化杀件，现机把(5.1)代人(5.3)式.结果得 a=a(Ψ平dqf. 此式必须对任意的a!都能城立，因而必须是恒等地得到满 足.为此，首先，被积函数中的a的系数（即平平dq)只要矿 中f就必须等于零，而当”=∫时，这个系数必须变成无穷大（否 则对时积分后将等于零).故积分平平q应为一∫的函数. 这个函数当宗量不等于零时为零，当宗量等于零时为尤限火，我】 用8(f”一f)代表这个的数： 平pdqδ(f-f). (5.4) 我们必须有 8(f'-f)a:df=as. 这个式子确定了6(”一f)函数当”-f=0时变成无穷大的方式. 由上式显然可得 8(-f)df=1. 这粹定义的函数称为8函数（它是hP.A.M,狄喇克首先引人量 子力学的).我们再把定义它的公式写一遍.它们是 x+0时(w)=0,而d(0)=∞， (5.5) ·20·
这时 6x)r-1, (5.6) 弋中的上下利分限可换成任意数值，只要t=0的点介于分这内 就可以了.设f(x)为在x=0点处连续的函数，则有 八efe=fo. (5.7) 此式可改马成更普遐的形式 8(x-a)f(a)dx=f(a), (5.8) 式中的积分区闻包含r=a点，并A.(x)在x=a点处为连续.容 易证奶ò函数是一一个枫函数，即 6(-x)=6(.e), (5.9) 最后，根据 可导出 ia）-(a）a (5.10) 共巾α为任意常数 (5.4)式给出了连续谱本征函数的H一化法则；它可以代替分 立谱情形下的归一化条件(3.6).我们看到，和以前一样.，和业” 函数当卡∫时是相互正交的.可是模最平方192的积分对连 续谱讲来是发散的。 函数P(q)还满足另…个类似于(6.4)式的关系式.要推导 这个关系式，可把(5.3)式代入(6.1)式中，得 平()=「(q)(评()平(g)dg, 由此我们可以立刻推知必有 ·21