a,-∑anng, 由上式显然可知，本征函数组必须满足以下条件： [9n平dg=dnn (3.6) 名=时其巾的8m=1,%≠m时书m=0.m时乘积平mΨ特的 积分等零，这一事实称为里。函数组的正交性.因此、平。木征 函数组构成套正交的归一化的完各图数组（或简称为正一系）， 现在来引人物理量∫在某一给定态中的平均值于的概念.根 据通常的平均值定义，我们把平均值手定义为该量的所有本征植 fn分别乘以柑应的几率值a2后相加所得的总和，即 于-∑fan. (3.7) 我」来写出手的一个表式.这个装式中不含平的展开系数a 而只含Ψ的数本身.鉴于(3.7)式中出见乘积aa,显然：欲求的 表式对平和：Ψ必须是双线性的.我们引人某种数学算符.用手表 示之①，并定义如下.令（平）为算符子作用于函数W后所得的结 果.我们定义的了，是使()和共栀复图数业*相乘后的积分结 果等于平均值： 手=平*(fW)dg. (3.8) 很易明、了伦一般情形下是一个线性积分算符.实标.上， 应用a的表代3.5).可以把(3.7)犬的平均值定义改写成 )我1约定，凡在字母上加一符号“人“者代表算符. @个算符具行以下性质者.称为线柱伯： (职，+g1-fp.+细.及a)af, 其巾Ψ，和业：为任点函数.口为任兹需数. ·12·
f=5.aa-∫w(∑af, 和(3.8)式比较，可以看出算符手作用于函数平的结果呈以下形 式： (f)-af平， (3.9) 如果把(3.5)式的a代入上式，我们就发现了是一个以下形式的 积分算符： (fw)=K(g,g)Ψ(g)dg', (3.10) 其中的函数F(q,q)(称为该算符的核)为 K(4,g)∑fPt(g)Ψ(q. (3.11) 因此，量子力学中的每一个物理最都有一个确定的线性算符 与之相应， 由(3.9)式可知，如果函数平就是本征函数平，之一（此时所 有的除了一个以外都等于零)，那么，用红符手作用之后，就等 于这个函数乘上它的相应本征俏∫： fpn÷f平n (3.12) [此后凡不会发生混滑之处。常把（平）表式中的括号略去；将该 算符视为作州在它后而所與的表式上].因此我们间以说，所给物 理量∫的诸木征阳数均为下列方程之解： p=fΨ， 其中的∫是-个常数，当上述方程具有满足所需条件的解答时.这 个常数所能采取的诸数值即为本征值.以后将会看到，许多物哩 量的筑符形状可以通过直接的物理考虑确定之，而所讲的算行 性质，使我们有可能通过解平=呼方程而水出其本征函数及本 ·13+
征值. 一个实物理量的本征作及共在每个态中的平均植都是实数 这一点限制了它的相应算符.令(3.8)式等于它的复共轭式，可得 以下关系： 亚*(f)dq-平（子*亚*）dg, (3.13) 其中的手*代表手的复共轭算符0.一般讲来，这个式子对任意的 线性算符不一定成立，因而它对算符了的形式是一种限制.对任 意的算符讲来，我们可以求出它的转置算符子，其定义如！下： Φ(fΨ)dq(fo)dg, (3.14) 式中的平和币是两个不同的函数.如果令中等于乎的共轭复函 数乎*，再和(3.13)式比较，我们就有 子=子* (3.15) 满足这个条件的算符称为厄密算符.这祥一来，在量子力学的 数学表述中，和实物理量相对应的算符就必须是厄密算符， 我们还可以纯形式地考虑复物理量，即其本征值为复数的物 理维.假定∫是这样一个量.则可引进其共扼复量*，它的本征： 值和∫的本征值成共轭复数关系。我们H+代装*所对应的算 符.子+称为算符手的厄密共轭算符，一般讲来它不同下复共轭算 符手*：∫*在平态中的平均值为 子=w*子*wdg. 另一方面，我们有 ①对算符广，如果有化一女.则复共死算符*可通过了***加以定义. 对(3.1》形式的线性积分算符而言，心堂条件相于该算符的按必须满妇 (g,g)K*(g'.9). ·14
*=fpg”=Ψyg =j里*于*Ψdg 以两式相等，得 汁=* (3.16) 显然，中-般讲来并不等于子*， 条件(3.15)现在可写成 -升 (3.17) 因北，·个实物弹昂的算符等于心的厄密共轭算符（厄密算符也称 为自轭算符). 对…个厄密算符讲来，属于不同木征值的本征函数彼此正之 现在来讲一下如何有接证明这种正交性.设f。和∫，为手的两个 不同本征值，平和平为其相应的本征函数： f平fa平afp-fnΨn 第一式两边各乘平流，第二式经过复共矩后再在丙边各乘平 然后两式相减，得 乎*f平n一平f*平=(f。一f)ΨΨ点 上式两边对dg积分.由于*：广，按(3.14)上式左边的积分等于 零，枚得 (fm一fm)平平dq=0, 山丁f.卡m,得证乎，和乎m函数的正交性. 我们任这里只讲了~个物理显，但在本节之初早已说明过. 对一组同时可测的物理量的完全集合也可以同样讲。此完全集 合中的每一个量，9，…均有其对应的算符手，可，….本征函数平m 则对应于上述诸量同时具有定值的态，即对位于具有一组确定的 本征值∫.9，…的态，且为下列方程组的共同解 ·15
Ψ=fΨ，Ψ÷gΨ，… 84.算符的加法和乘法 设手和是两个物理贵手和9的算符，其和f十9有一个相应 算符手+.但是，量子力学中不同物弹骨相加的含义很大程度上 取决于这两个算符能同时测景.如果f和g能够同时测试、象 符子和就具有共同本征函数.它们也就是算符子一的本征生 数，这一算符的本征值就等于和f。~9·但当f和9不能同时其 有定值时，和∫+9的含义就更有限了.此时找们只能说，和量在 任一态中的平均值等丁其各量平均值之和： f+9=f+g. (4.1) 至于算符手的本征俏和本征函数.一般讲来与∫和9的有关量 不耳有任何关系.如果手和都是白轭算符，显然子-日也是自轭 笨符，从而它的本征值都是实数，并且等于比此定文的新量f+g 的值. 下列定理值得提一下.设f和go分别为f和9的最小本征 值，而（∫+g)。为∫+9的最小本征值.则可证明 (f+g)≥f0+g, (4.2) 式中的等号当∫和g可以同时测峰时成立.这个定理的证明基于 这样一个明显的车实，即一个量的平均楨总是大于或等于它的最 小本征.在f-9具有(f+9)值的态中，我1有-9=（付÷g)a 另一方面，由于于tg=于+fn十9，我们就得到不等式(4.2). 再令∫和9是两个可以同时测量的量.除了它的利和外.还 可以引进它们的乘积概念，这个乘积是这样一个量，这个量的本征 值等于手和9的本征值的乘积.很易证明，这个量的算符作用在 函数上的结果，相当于把原先两个量的算符先后作用于该函数上 所得的结果.这样的算符，在数学上可表为了和两个算符的乘 ·16