与首次测最（完全测最）之前的电了历史无关 今后(14除外)我们总是把个量-子系统的状态理辨成为这 种完全描述的态 §2.叠加原理 量子力学中的运动概念和经典力学相比较有了根本性的改 变，当然，这就要求理论的数学表述作出同样的根本改变.对此 我们必衡先考虑量子力学中态的描述方法. 我门用9表示量子系统的-·个坐标组.：g太这组坐的 微分乘私.dq近常称为该系统位形空间中的一个休元：对一个 粒子来讲，d?等同于普通空间中的一个体积元dY. 最了力学的数学表述基于这样的一个命题：任某一给定时划， 一个系统的状态可以用一个确定的坐标函数平()（通常为复函 数)描述之.这个函数的模量平方确定了坐标位的几率分布：对系 统进行坐标测量时，测#所得诸值处于位形空间的d!体积元内的 几率等于引平！g.Ψ函数称为该系统的波函数⑨. 知道波的数后，我还能在原则上算出任何其它测量（不一定 是坐标浦量)结果的几率.所有这些几率都可由平和平*的双线 性浅式所确定.这种表式的最一般形式为 ∫型(g)w*()(g,)dqdg, (2.1) 其中的(q.q)函数依赖于测景的结果及性质，积分则廷及整个 位形空间。坐标值的几率式平业*本中，也是属于这种类型的一 个表式②。 ①波函数是由薛定贤于1926年首先引人量子力学的. ②2.1)式巾当6(g,g)=8g-心g-g)时可琳亚(9平：g1,其巾的5代 表后面§5中定义的德耳塔面数：9为一型坐标位，我们欲朵儿毕
··般讲来，系统的状态及北波函数会随间变化。在这种意 义下，波函数也可以看成是附间的函数，如桌某一起始时刻的波 函数是已知的，那么，报据状态的完全描述这一概念本身所具的含 义，在原则上可确定此后每一时刻的波函数.波函数对时河的具 休依关系.将由以后导出的方程式确定之， 根松定义、…个系统的各种可能坐标销的几率总必须等于 一·，放吧2对整个位形空间的积分钻果必须等于一： Ψ1=1. (2.2) 这个等式称为波函数的归一化条件。知果乎2的积分是收敛的、 哪么，只要适当选铎数平中的常系数，总能使Ψ得到归一一化.但 是，我们在以府还会碰到：Ψ之的积分为发散的被数.以致平无 法用条作(2.2)加以归一化.当然这种语形下的！平2并不代表 坐标的绝对几苹值，但感，在位形空间中两个不同点处的！Ψ！2的 比植.则给出这两处坠标的相对儿率. 凡川波函数第山并且具有直接物理意义的各种量，都呈(2,1) 式的形式，式中的平总是跟型*乘在一起，由于这一点，归一化的 被函数显然可以包含一个具有e“(α为任一实数)形式的不确定 的常周相因子，这个因子的模量等于，这种不确定性原则是 无法消除的；但它无关紧要，因为它并不影响任何物理结果 量子力学的积极内容是建立年有关被函数旌质的一系列假定 的基础之上的，这些假定如下： 设在波函数为平：(9)的态中进行某种测景可以获得可靠的肯 定结果（称方结果1），而在亚：()的态中进行这种测量也可以类 得可常的背定结果2.那么可以假定，在Ψ：和平：的任一线性1 合所给出的态中即在任一具有c平：↓c2型2函数形式（其中c1利 C2为常数)的态中，进行孩种测量所得的结果或者是1，或者是2. 。8·
此外，还可进-…步假定，只要以上两个态的时间依赖关系是已知 的，也就是-个出函数平：(9，)给出，另一个由函数乎2(g.)给 出，那末，它的任一线性组合也给出了这个组合态的可能的制词 依赖关系.以上这些假定，构成了了力学的一个首要原理，称为 状态叠加原理。从这个原理可以立刻知道，波函数所满足的一切 方程必须对平保特线性 现在让我们考虑一个系统，它由两个子系统所组成，并且假定 这个系统处于这样的状态，它的每-一个子系统都是完全猫述的心 那未我]可以断宫，第-·个子系锐的9：坐标儿率和第二个子系锐 的92坐标几率使此无关，从面整个系统的儿率分布必然等于这两 个子系统的几分布的乘积.这就是说，该系统的波函数平2(q, q2)可以表为这两个子系统波函数平1(g1)和平：(q)的乘积： 912(q,92)=平，(g1)平2(92)， (2.3) 如果这两个子系统没有相互作用，那么，整个系统及其部分之间胸 上述波函数关系式在今后各时刻仍将保持不变.即可写成 平1g(91,,)=平(q,)平2(q2,). (2.4) 83.算符 现在来旁虑某一标志量F系统状态的物理量∫，严格讲来.我 下面所讨论的量不是一个而是同时有一组完金集合.但中于 对问题的讨论没有多火差别，为简明，下面只讲一个物理培. 在量了力学中，一个给定翻埋量所能收的诸数植称为它不 征值，这些数值的集合侧称为该量的值请.在经典力学中，一般讲 来，物埋式具有连鳞值.其子力学中也有-…些物理量（例如：坐标）， ④当然这整装行整个系统的叁电是完金简述的.但应强调指出相反的H况 不成立：如架整个系统的太是完会描会的，一般训桌，它并不能泊此确处各个个分 的态（尚可见S14). 。9
它们的木征值具有连续的值域；这种情形下的本征值称为具有连 续谐.可是，量子力学中除了这些量以外，还有其它一些量，它们 的本征值是一组分立的数值；这种情形我你为具有分立谱， 为筒单计，我们假定所考虑的景∫具有分立谱；连续谱的情形 将在85中讨论.寸的水征值用fn表示，下标乳可取0,1,2.3，… 等值.我们还用里。表示系统的一个状态波函数，该态中的手具有 确定的f值.这个波函数亚.称为所给物理量F的本征函数.假 定每一个这样的波函数已经归一化，即有 19.dq=1. (3.1) 假定该系统处下波函数为平的某·任意状态中，对之进行物 理量∫的测量结果可得于的某--本征值∫·根报状态蓉加原理可 以晰言，波函数里必然是这样一一些本征函数平的线性合，这些 平所对应的各个∫n值都能在平态中测到，其几苹不等于零.因 此在-一殷情形下，任一态的平函数可表成下列级数形式： p=an里 (3.2) 式中对所有的求和，是一些常系数 由此得州结论，任何波函数可任-物理量伦-·套木征函 数来展开.使上述展开式得以成立的那-·套函数称为…个完备组 (或封闭组) 当系统处于波函数为平的态时，展开式(3.2)足以确定在该 态中找到物理量f具有任一给定f.值的几率（即测量结果为f.值 的儿岸).正上节所述，这些儿率应由平和平*的某种型线性 表式所确定，这种表式对an和而言因也是双线陛的，当然. 这样的表式还必须是正员.最后，当系统处于被函数型：=平的态 中时，∫值的几率必须等于一，当波函数平的展开式(3.2)中不含 10·
乎时，∫n值的几事必须等下零.能够满足上述诸条件的唯-正量 只能是系数am的模盘平方.我们就得到这样的结论，展开式(3.2) 中你-一个系数的模量平方值a?,确定了波函数为平的态中物理 量∫几有相应值∫.的几率.各种。值的几率总和必须等于一；换 句话说，以下关系式必须成立： ∑1al2=1. (3.3) 如果函数型未经归一化，(3.3)式也就不再成立.此时 ≥1aP将由业和少·的某一双我性表武所确定，这个表式当” 门·化后必领等于一.这样的表式只能是积分式ΨΨ*g.故下 式必须成立： 空a,-fwry*dg. (3.4) 另方面，如果我们用Ψ去乘Ψ*（的共轭复函数）的展开 式Ψ*-Ψ，积分之，可得 ΨΨ*dg=∑aΨΨdg, 将此式和(3.4)式比铵，我们有 a,a∑a时ΨΨdg, 由此可以导出下列公式： a.=w4. (3.5) 这个公式确定了乎函数对平。本征函数组展开时的系数a 如果把(3.2)式代人上式，可得 ·11·