Lec4:点估计（一） 张伟平 September 24,2009 §1引言 数理统计的任务是用样本去推断总体.参数估计是统计推断的一种重要形式.设有参数 分布族多={Fa,0∈日}，其中日是参数空间，F的分布形式已知，但其分布与未知参数有关 X1,·,Xn是从总体F%中抽出的简单随机样本.我们的任务是要利用样本对未知参数或其 函数g()作出估计.所以在参数分布族的场合，把参数可理解为定义在参数空间日上的实值函 数g(0),一个重要的特例是g(0)=9.例如，X1,·,Xni.i.d.~N(a,o2),记0=(4，o2),我们希 望利用样本对μ和σ2或其函数g(Θ)=μ/σ2的值作出估计，这就是参数估计问题 有时样本分布族多={F}是非参数分布族，其中F的分布形式未知，但其均值、方差等 都是刻画总体某方面性质的量，也都是参数.因此在非参数分布族场合，把参数理解为分布 族多上的泛函9(F).我们希望利用样本对g(F),例如g(F)为总体均值、方差或中位数等，作出 估计，这也属于参数估计问题.例如，我们从某城市居民中抽取一部分，对其年收入作调查， 获得样本X1,·,X,要对该城市居民的年人均收入作出估计，就属于这类问题。 参数估计(Parameter estimation)问题常有两类：点估计和区间估计.，点估计就是用样本 函数的一个具体数值去估计一个未知参数.区间估计就是用样本函数的两个值构成的区间 去估计未知参数的取值范围 定义1.设X=(X1,…,Xn)为从某总体中抽取的样本，(X)=(X1,·,Xn)是样本的函 数，用g(X)作为g(0)的估计，称为，点估计(Point estimation). 本章我们将首先讨论点估计的方法.对于同一个未知参数0（为方便计，此处以g()=θ为 例)的估计量可以有很多.例如，设X1,·,X是取自某总体F∈多的一组简单样本.对此总 体的均值0=EF(X)可以给出几个估计量： ==上(X1+…+Xn, i=专(Ka+Xa, 03=m/2. 其中X)和X(m为样本最小和最大次序统计量，m2为样本中位数.还可以给出其它的估计 量.这就产生一个问题：我们采用哪一个估计量作为的点估计较好呢？这就涉及到评价一个 估计量优劣的标准问题.标准不同，回答也不同.在经典估计理论中，用来评价估计量好坏的 标准有：无偏性、有效性、相合性和渐近正态性等，以及在某种标准下寻求最好的估计
Lec4: :O(ò) ‹ï² September 24, 2009 §1 ⁄Û Ín⁄O?÷¥^ ̉oN. ÎÍO¥⁄Ỏò´á/™. kÎÍ ©ŸxF = {Fθ, θ ∈ Θ},Ÿ•Θ¥ÎÍòm, Fθ©Ÿ/™Æ, Ÿ©ŸÜôÎÍθk'. X1, · · · , Xn¥loNF蕃—{¸ëÅ . ·Ç?÷¥á|^ ÈôÎÍθ½Ÿ ºÍg(θ)ä—O. §±3ÎÍ©Ÿx|‹, rÎÍån)转3ÎÍòmΘ˛¢äº Íg(θ), òááA~¥g(θ) = θ. ~X, X1, · · · , Xn i.i.d. ∼ N(a, σ2 ),Pθ = (µ, σ2 ),·ÇF "|^ ȵ⁄σ 2 ½ŸºÍg(θ) = µ/σ2ää—O, ˘“¥ÎÍOØK. kû ©ŸxF = {F}¥öÎÍ©Ÿx, Ÿ•F©Ÿ/™ô, Ÿ˛ä!ê —¥èxoN,ê°5ü˛, è—¥ÎÍ. œd3öÎÍ©Ÿx|‹, rÎÍn)è©Ÿ xF˛çºg(F).·ÇF"|^ Èg(F),~Xg(F)èoN˛ä!ê ½•†Í , ä— O, ˘è·uÎÍOØK. ~X, ·Çl,¢½ÿ¨•ƒò‹©, ÈŸc¬\äN, º X1, · · · , Xn, áÈT¢½ÿ¨c<˛¬\ä—O, “·u˘aØK. ÎÍO(Parameter estimation)ØK~k¸a: :O⁄´mO. :O“¥^ ºÍòá‰NÍäOòáôÎÍ. ´mO“¥^ ºÍ¸á䧴m OôÎÍäâå. ½¬ 1. X = (X1, · · · , Xn) èl,oN•ƒ , gˆ(X) = ˆg(X1, · · · , Xn)¥ º Í, ^gˆ(X) äèg(θ)O, °è:O(Point estimation). Ÿ·ÇÚƒk?ÿ:Oê{. Èu”òáôÎÍθ (èêBO, d?±g(θ) = θè ~)O˛å±kÈı. ~X, X1, · · · , Xn¥g,oNF ∈ F ò|{¸ . Èdo N˛äθ = EF (X)å±â—AáO˛: ˆθ1 = X¯ = 1 n (X1 + · · · + Xn), ˆθ2 = 1 2 X(1) + X(n) , ˆθ3 = m1/2. Ÿ•X(1)⁄X(n)è Å⁄ÅågS⁄O˛, m1/2 è •†Í. Ñå±â—ŸßO ˛. ˘“)òáØK: ·ÇÊ^=òáO˛äèθ:O–Q? ˘“9µdòá O˛`IOØK. IOÿ”, £âèÿ”. 3²;Onÿ•, ^5µdO˛–Ä IOk: Æ5!k5!É‹5⁄ÏC5 , ±93,´IOeœ¶Å–O. 1
§2判断估计量的优良性标准 1.无偏性 我们在评价估计量好坏时，一般总希望估计量(X)的平均值与越接近越好，即E((X)- )越小越好.由于(X)是随机变量，(X)的值有时比的值大，有时比的值小，我们希望(X)在 大量重复使用时，在平均意义下(X)与9的偏差很小.期望值E((X)一)=0，时就得到无偏 性的概念.将其一般化，用g()代替0，用(X)代替(X),得到如下定义： 定义1.设X=(X1,…,Xn)为从总体{Fa,0∈日}中抽取的样本，g(0)是定义于参数空间日上 的已知函数.(X)=(X1,…,Xn)是g(0)的一个估计量，如果 E.(g(X)=g(0),对任何0∈日 则称g(X)为g(0)的一个无偏估计量(Unbiased estimation).记g(X)=gn(X),若 1imE(gn(X)=g(0),对任何B∈日 则称gn(X)为g(0)的渐近无偏估计(Asymptotically unbiased estimation小. 无偏性的含意有两个：第一个含意是无系统偏差.由于样本的随机性，(X)是样本的函 数，因此它是一随机变量，用估计量g(X)去估计g(0),对某些样本，(X)与g()相比，时而偏低； 对另一些样本，(X)时而偏高；无偏性表示，把这些正负偏差在概率上平均起来，其值为0.如 用一杆秤去称东西，误差的来源有二：()这杆秤自身结构上有问题.用它称东西总是倾向于 偏高或总是倾向于偏低，这属于系统误差.()另一种误差是随机误差，由不可控制的因素产 生，如温度、湿度和工作人员心理波动等影响造成的，这属于随机误差.无偏性相当于要求 无系统误差.随机误差总是存在的，大量重复使用无偏估计，误差有时为正，有时为负，但随 机误差可以正负相抵消. 无偏性的另一个含意是：要求估计量大量重复使用，在多次重复使用下给出接近真值g() 的估计.设想这样一种情况：每天抽样对g()进行估计，第天的样本为X=(X⑧，·，X),估 计值为g(X@),一共作了n天.设X四，·，Xm)是独立同分布的样本，如g(X)有无偏性，按大 数定律有 P(=∑xo)=go）=1 1 就是说，尽管一次估计结果g(X)不一定恰好等于g(),但在大量重复使用时，多次估计的 算术平均值，可以任意接近g().如果这一估计量(X)只使用一次，无偏性这个概念就失去意 义 在点估计理论中，目前无偏性仍占有重要的地位.除了历史因素外，还有两个原因.一是 无偏性的要求只涉及一阶矩（均值），在数学处理时较方便.二是在没有其它合理准则可循时， 人们心理上觉得：一个具有无偏性的估计，总比没有这种性质的估计要好些。 定义2.设X1,·,X是取自期望为4，方差为o的总体的一个样本.显然样本均值了是μ的无 偏估计.证明样本方差S2=点上（化：-X)2是，2的无偏估计. 1 证显然 Es9=[B(X)-nE(X9)=2[Ex-E(]
§2 ‰O˛`˚5IO 1. Æ5 ·Ç3µdO˛–Äû, òÑoF"O˛ˆθ(X) ²˛äÜθC–, =E( ˆθ(X)− θ)–. duˆθ(X)¥ëÅC˛, ˆθ(X)äkû'θäå, kû'θä, ·ÇF"ˆθ(X)3 å˛E¶^û, 3²˛ø¬eˆθ(X)Üθ† È. œ"äE( ˆθ(X) − θ) = 0, û“Æ 5Vg. ÚŸòÑz,^g(θ)ìOθ, ^gˆ(X)ìOˆθ(X),Xe½¬: ½¬ 1. X = (X1, · · · , Xn)èloN{Fθ, θ ∈ Θ}•ƒ , g(θ)¥½¬uÎÍòmΘ˛ ƺÍ. gˆ(X) = ˆg(X1, · · · , Xn)¥g(θ) òáO˛, XJ Eθ(ˆg(X)) = g(θ), È?¤ θ ∈ Θ K°gˆ(X)èg(θ)òáÆO˛ (Unbiased estimation). Pgˆ(X) = ˆgn(X),e limn→∞ Eθ(ˆgn(X)) = g(θ), È?¤ θ ∈ Θ K°gˆn(X)èg(θ)ÏCÆO (Asymptotically unbiased estimation). Æ5¹øk¸á: 1òá¹ø¥ÃX⁄† . du ëÅ5, ˆg(X)¥ º ÍßœdߥòëÅC˛, ^O˛gˆ(X)Og(θ),È, ,ˆg(X)Üg(θ)É', û †$; È,ò , ˆg(X)û †p; Æ5L´, r˘ K† 3V«˛²˛Â5, Ÿäè0. X ^ò\Æ°¿‹, ÿ 5 k: (i)˘\Æg (˛kØK. ^ß°¿‹o¥ñïu †p½o¥ñïu†$, ˘·uX⁄ÿ . (ii),ò´ÿ ¥ëÅÿ , dÿåõõœÉ ), Xß›!ó›⁄Ûä< %nŃ KèE§, ˘·uëÅÿ . Æ5ÉuᶠÃX⁄ÿ . ëÅÿ o¥3, å˛E¶^ÆO, ÿ kûè, kûèK, ë Åÿ å±KÉ-û. Æ5,òá¹ø¥: á¶O˛å˛E¶^, 3ıgE¶^eâ—C˝äg(θ) O. é˘ò´ú¹: zUƒÈg(θ)?1O, 1iU èX(i) = (X (i) 1 , · · · , X(i) n ), Oäègˆ X(i) ,òä nU. X(1) , · · · , X(n)¥’·”©Ÿ , Xgˆ(X)kÆ5, Uå ͽÆk P limn→∞ 1 n Xn i=1 gˆ X(i) = g(θ) = 1 “¥`, ¶+ògO(Jgˆ X(i) ÿò½T– ug(θ), 3å˛E¶^û, ıgO 邲˛ä, å±?øCg(θ). XJ˘òO˛gˆ(X)ê¶^òg, Æ5˘áVg“îø ¬. 3:Onÿ•, 8cÆ5E”ká/†. ÿ {§œÉ , Ñk¸áœ. ò¥ Æ5á¶ê9ò ›(˛ä), 3ÍÆ?nûêB. ¥3vkŸß‹nOKåÃû, <Ç%n˛˙: òá‰kÆ5O, o'vk˘´5üOá– . ½¬ 2. X1, · · · , Xn¥gœ"èµ,ê èσ 2oNòá . w, ˛äX¯¥µÃ †O. y² ê S 2 = 1 n−1 Pn i=1 (Xi − X¯) 2 ¥σ 2ÆO. y w, E(S 2 ) = 1 n − 1 Xn i=1 E(X2 i ) − nE(X¯ 2 ) = n n − 1 E(X2 1 ) − E X¯ 2 2
=n”g2+2)-(o2n+2)=2 故样本方差S2是σ2的无偏估计. 2.有效性 在应用中，同一个参数的无偏估计常常不止一个，那么选用哪一个无偏估计更好呢？为 了解决好这一问题，就要讨论估计量的有效性(ef伍ciency).设1和02为9的两个无偏估计，由无 偏性可知它们的一阶矩相等，我们比较它们的二阶中心矩一方差，方差越小越好. 定义3.设(X)=g(X1,…,Xn)和g2(X)=2(X1,…,Xn)为g(0)的两个不同无偏估计量， 若 D(©(X)≤D(2(X),对一切0∈日， 且至少存在一个0∈日，使得严格不等号成立，则称估计量g(X)比2(X)有效 从这个定义出发可以看出，在均值相等的条件下，方差越小的估计量越有效.例如，X1,·,X是 取自总体F的一个简单样本，设总体均值和总体方差σ2都存在，则01=X1和2=X都是总 体均值的无偏估计量，它们的方差分别是 D(01)=g2, D0)=1g2 后者更小，可见x比X更有效，且越大，下对的估计就越有效.这就是在物体的称重问题 中，为什么我们要将物体称n次，用其平均值作为物重的理由. 3.相合性 大量实践表明，随着样本容量n的增加，估计量(X)=(X1,·,Xn)与被估计参数g()的 偏差越来越小，这是一个良好估计量应具有的性质.试想，若不然，无论作多少次试验，也不 能把()估计到任意指定的精确程度，这样估计量显然是不可取的 定义4.设对每个自然数n,gn(X)=gn(X1,…,Xn)是g()一个估计量，若gn(X)依概率收敛 到g(0),即对任何0∈日及e>0有 niP(lan(X)-9e1≥e）-0, 则称gn(X)为g(0)的弱相合估计(Weakly consistent estimation).若对任何0∈日有 P(im9n(X)=g(0）-1, 则称gn(X)为g(0)的强相合估计(Strongly con.sistent estimation,.以若r>0和对任何0∈日，有 lim Eolgn(X)-g(0)"=0, n→0 称gn(X)为g(0)的r阶矩相合估计(Consistent estimation in r'th mean).当r=2时称为均方相 合估计(Consistent estimation in quadratic mean),. 估计量的相合性是对大样本问题提出的要求，是估计量的一种大样本性质」 由概率论中关于这几种收敛性的关系，可知上述三种相合性有如下关系：强相合→弱相合，反 之不必对；对任何r>0有：阶矩相合→弱相合，反之不必对.又强相合与阶矩相合之间没 有包含关系. 估计量的大样本性质，还有渐近正态性，我们将在本章后面有关的小节中给出定义， 2
= n n − 1 h σ 2 + µ 2 − σ 2 n + µ 2 i = σ 2 , ê S 2¥σ 2ÆO. 2. k5 3A^•, ”òáÎÍÆO~~ÿéòá, @o¿^=òáÆOç–Q? è )˚–˘òØK, “á?ÿO˛k5(efficiency). θb1⁄θb2èθ¸áÆO, dà †5åßÇò ›É , ·Ç'ßÇ •%›—ê , ê –. ½¬ 3. gˆ1(X) = ˆg1 (X1, · · · , Xn)⁄gˆ2(X) = ˆg2(X1, · · · , Xn)èg(θ) ¸áÿ”ÆO˛, e Dθ(ˆg1(X)) ≤ Dθ(ˆg2(X)), ÈòÉ θ ∈ Θ, Öñ3òáθ ∈ Θ,¶ÓÇÿ “§·, K°O˛gˆ1(X)'gˆ2(X)k. l˘á½¬—uå±w—, 3˛äÉ ^áe, ê O˛k. ~X, X1, · · · , Xn¥ goNFòá{¸ , oN˛äµ⁄oNê σ 2—3, Kˆθ1 = X1 ⁄ˆθ2 = X¯—¥o N˛äµÃ†O˛, ßÇê ©O¥ D( ˆθ1) = σ 2 , D( ˆθ2) = 1 n σ 2 . ˆç, åÑX¯'X1çk, Önå, X¯ÈµO“k. ˘“¥3‘N°ØK •, èüo·ÇáÚ‘N°ng, ^Ÿ²˛ääè‘nd. 3. É‹5 å˛¢ÇL², ëX N˛nO\, O˛gˆ(X) = ˆg(X1, · · · , Xn) ÜOÎÍg(θ) † 5, ˘¥òá˚–O˛A‰k5ü. £é, eÿ,, Ãÿäıg£, èÿ Urg(θ)O?øç½°(ß›,˘O˛w,¥ÿå. ½¬ 4. Èzág,Ín, gˆn(X) = ˆgn(X1, · · · , Xn)¥g(θ)òáO˛, egˆn(X)ùV«¬Ò g(θ),=È?¤θ ∈ Θ9ε > 0k limn→∞ Pθ(|gˆn(X) − g(θ)| ≥ ε) = 0, K°gˆn(X)èg(θ)fÉ‹O (Weakly consistent estimation).eÈ?¤θ ∈ Θk Pθ limn→∞ gˆn(X) = g(θ) = 1, K°gˆn(X)èg(θ)rÉ‹O (Strongly consistent estimation).er > 0 ⁄È?¤θ ∈ Θ,k limn→∞ Eθ|gˆn(X) − g(θ)| r = 0, °gˆn(X)èg(θ)r ›É‹O (Consistent estimation in r’th mean).r = 2û°è˛êÉ ‹O (Consistent estimation in quadratic mean). O˛É‹5¥Èå ØKJ—á¶, ¥O˛ò´å 5ü. dV«ÿ•'u˘A´¬Ò5'X, å˛„n´É‹5kXe'X: rÉ‹=⇒ fÉ‹,á Éÿ7È; È?¤r > 0k:r ›É‹ =⇒ fÉ‹, áÉÿ7È. qrÉ‹Ür ›É‹Émv kù¹'X. O˛å 5ü,ÑkÏC5,·ÇÚ3 Ÿ°k'!•â—½¬. 3
$3 矩估计 一、矩法和矩估计量 设X1,·,X。是从总体F中抽取的简单随机样本，这时，样本矩可用来估计F的相应的 总体矩.即总体k阶原点矩α=E(X)的矩估计量是相应的样本k阶原，点矩 ak=∑x, k=1,2,… (3.1) n 特别总体均值a1=E(X)的矩估计量是样本均值an1=X. 总体阶中心矩μ，=E(X-E(X)的矩估计量是相应的样本k阶中心矩 mnk = ∑(X-),k=1,2,…, (3.2) n 特别总体方差=EX-EX)P的矩估计量量是m2=S号=公（化-）2，它与样本方 差S2-点2(K-列2只差一个常数因子 用ank,mnk分别估计a,和4.是一种基于直观的方法，它的依据是：ank是a,的无偏估计， 即 (3.3) 但用mk估计4.，一般不是无偏的，当样本大小n较大时，偏差不显著，且必要时可作一些修正， 使之成为无偏估计.请看下例： 例1.设2=σ2是总体方差，则S2=m2不是σ2的无偏估计. 证由例可知 E(S2) (2-)(品x-) =n-E(s2=n-1o2 (3.4) 因而m2不是σ的无偏估计，且是系统地偏低.将其修正，只须用 -立x-2=s9 (3.5) 代替mn2,就得到E(m2)=E(S2)=σ2，即S2为总体方差的无偏估计.这就是我们用S2作为样 本方差的定义，而不用m2的理由所在.但当k≥4，就不能通过这样简单的修正得出4，的无 偏估计 一般，样本的k阶中心矩可以用样本的原点矩表出（令ano=1): mk=∑x-a=∑(--rX点 (空x--(（)点
§3 ›O ò!›{⁄›O˛ X1, · · · , Xn ¥loNF•ƒ{¸ëÅ . ˘û, ›å^5OFÉA oN›. =oNk :›αk = E(Xk ) ›O˛¥ÉA k :› ank = 1 n Xn i=1 Xk i , k = 1, 2, · · · , (3.1) AOoN˛äα1 = E(X)›O˛¥ ˛äan1 = X. ¯ oNk •%›µk = E(X − E(X))k›O˛¥ÉA k •%› mnk = 1 n Xn i=1 Xi − X¯ k , k = 1, 2, · · · , (3.2) AOoNê µ2 = E(X − EX) 2›O˛˛¥mn2 = S 2 n = 1 n Pn i=1 Xi − X¯ 2 , ßÜ ê S 2 = 1 n−1 Pn i=1 Xi − X¯ 2 ê òá~Íœf. ^ank, mnk©OOαk⁄ µk¥ò´ƒuÜ*ê{, ßù‚¥: ank¥αkÆO, = Eank = 1 n Xn i=1 E(Xk i ) = 1 n Xn i=1 αk = αk . (3.3) ^mnkOµk ,òÑÿ¥Ã†, ånåû, † ÿwÕ, Ö7áûåäò ?, ¶É§èÆO. ûwe~: ~1. µ2 = σ 2¥oNê , KS 2 n = mn2ÿ¥σ 2ÆO. y d~å E(S 2 n ) = E 1 n Xn i=1 (Xi − X¯) 2 ! = n − 1 n E 1 n − 1 Xn i=1 (Xi − X¯) 2 ! = n − 1 n E(S 2 ) = n − 1 n σ 2 . (3.4) œ mn2ÿ¥σ 2ÆO, Ö¥X⁄/†$. ÚŸ?, êL^ m∗ n2 = n n − 1 mn2 = 1 n − 1 Xn i=1 (Xi − X¯) 2 = S 2 (3.5) ìOmn2,“E(m∗ n2 ) = E(S 2 ) = σ 2 ,=S 2èoNê ÆO. ˘“¥·Ç^S 2äè ê ½¬, ÿ^mn2nd§3. k ≥ 4,“ÿUœL˘{¸?—µkà †O. òÑ, k •%›å±^ :›L—(- an0 = 1): mnk = 1 n Xn i=1 (Xi − an1) k = 1 n Xn i=1 X k r=0 k r (−1)k−rXr i a k−r n1 = X k r=0 1 n Xn i=1 Xr i (−1)k−r k r a k−r n1 4
=--(（月哈 (3.6) 下面给出矩法及矩估计量的定义， 定义1.设有总体分布族{F,0∈日}，日是参数空间，g(0)是定义在日上的参数0的函数，它可 以表为总体分布的某些矩的函数，即 g(0)=G(a1,…,ak;1,…,4s) (3.7) 设X=(X1,·,Xn)是从上述分布族中抽取的简单样本，用an和mn分别代替(3.)式中 的a,和4得 g(X)=Ganl,…,ank;mnl,…,mns): (3.8) 其中ani是a:的矩估计量，mn是4的矩估计量，则g(X)作为g(0)的估计量，称为g(0)的矩估计 量(Moment estimate.这种求矩估计量的方法称为矩法(Moment method of estimation). 二、若干例子 例2.设X1,·,Xn是从具有成功概率0的两点分布总体b(1,)中抽取的简单样本，求9和g(0)= 0(1-)的矩估计 解设X~b(1,),即有P(X=x)=F(1-)1-x.由于E(X)=0,因此8的矩估计就 是(X1,…,Xm)=,而g(0)的矩估计是 gX1,…,Xn)=(1-) 例3.设X1,…,Xni.id.心均匀分布U(01,02),参数0=(01,02)，其中-o<1<2<+oo. 求01和02的矩估计量. 解设X~U(01,2),由均匀分布的性质可知 E(X)=a1=(01+02)/2, D(X)=2=(02-A)2/12. 解此方程组得 91=a1-V3h2,2=a1+V342 将上式中a,和2分别用和mn2代入得 6(X1;...,Xn)=-V3mn2 =X-V3Sn, 02(X1,…,Xn)=x+V3Sn, 其中S2由(3.4)给出（亦可用S代替Sn,此处S2由公式(3.5）给出). 例4.设总体分布有概率密度 fo(x)= 2V票exp{-0x2}当x>0 0 当x≤0， 其中0>0为未知参数.这个分布称为Marwell分布，在气体分子动力学中有应用.设X1,·,Xn为 抽自此总体的简单随机样本，求g(0)=1/0的矩估计量. 6
= X k r=0 (−1)k−r k r anr a k−r n1 , (3.6) e°â—›{9›O˛½¬. ½¬ 1. koN©Ÿx{Fθ, θ ∈ Θ}, Θ¥ÎÍòm, g(θ)¥½¬3Θ ˛ÎÍθºÍ, ßå ±LèoN©Ÿ, ›ºÍ, = g(θ) = G(α1 , · · · , αk ; µ1, · · · , µS ). (3.7) X = (X1, · · · , Xn)¥l˛„©Ÿx•ƒ{¸ , ^ani⁄ mnj©OìO(3.7)™• αi⁄ µj gˆ(X) = G(an1, · · · , ank; mn1, · · · , mns), (3.8) Ÿ•ani¥αi›O˛, mnj¥µj›O˛, Kgˆ(X)äèg(θ)O˛, °èg(θ) ›O ˛(Moment estimate). ˘´¶›O˛ê{°è›{ (Moment method of estimation). !eZ~f ~2. X1, · · · , Xn¥l‰k§ıV«θ¸:©ŸoNb(1, θ)•ƒ{¸ , ¶θ⁄g(θ) = θ(1 − θ)›O. ) X ∼ b(1, θ),=kP(X = x) = θ x (1 − θ) 1−x . duE(X) = θ,œdθ›O“ ¥ˆθ(X1, · · · , Xn) = X, ¯ g(θ)›O¥ gˆ(X1, · · · , Xn) = X¯(1 − X¯). ~3. X1, · · · , Xn i.i.d. ∼ ˛!©ŸU(θ1, θ2), ÎÍθ = (θ1, θ2),Ÿ•−∞ < θ1 < θ2 < +∞. ¶θ1⁄θ2›O˛. ) X ∼ U(θ1, θ2), d˛!©Ÿ5üå E(X) = α1 = (θ1 + θ2) 2, D(X) = µ2 = (θ2 − θ1) 2 12. )dêß| θ1 = α1 − p 3µ2, θ2 = α1 + p 3µ2. Ú˛™•α1⁄ µ2 ©O^X¯ ⁄ mn2ì\ ˆθ1(X1, · · · , Xn) = X¯ − √ 3mn2 = X¯ − √ 3Sn, ˆθ2(X1, · · · , Xn) = X¯ + √ 3Sn, Ÿ•S 2 nd(3.4)â—(½å^SìOSn,d?S 2d˙™(3.5)â—). ~4. oN©ŸkV«ó› fθ(x) = ( 2 √ θ π exp {−θx2} x > 0 0 x ≤ 0, Ÿ•θ > 0èôÎÍ. ˘á©Ÿ°èMaxwell ©Ÿ, 3ÌN©fƒÂÆ•kA^. X1, · · · , Xnè ƒgdoN{¸ëÅ , ¶g(θ) = 1/θ›O˛. 5