Lec6:点估计（三） 张伟平 2011年3月24日 1一致最小方差无偏估计 一、引言及定义 设有一参数分布族多={F6,0∈日}，其中日为参数空间.设g()是定义在日上的函数， X=(X1,·,Xn)为自总体F6中抽取的简单样本，(X)=g(X1,·,Xn)为g(9)的一个估计量， 如何评价(X)的优劣？一般用(X)-g)作为其偏差，为消除(X)-g()取值出现“+，-”可 能抵消的影响，一般用（©(X)-9()2来代替.由于这个量是随机的，将其平均，即计算其均值，以 得到一个整体性的指标E(©(X)-g(0)2,这就是估计量g(X)的均方误差. 定义1.设g(X)为g(0)的估计，则称Eg(G(X)-g(0)2为g(X)的均方误差(Mean Square Error,简 记MSE) 设1(X)和2(X)为g(0)的两个不同的估计，若 Ea(©(X)-g(0)2≤Eg(2(X)-9(0)2,对一切0∈日， 则称在MSE准则下1(X)优于2(X). 若存在g(X),使得对g(0)的任一估计量(X),都有 E(g(X)-9(0)2≤E(G(X)-9(0)2,对-切0∈6， 则称(X)为g()的一致最小均方误差估计. 可惜的是一致最小均方误差估计常不存在.解决这个问题的办法之一，是把最优性准则放 宽一些，使适合这种最优性准则的估计一般能存在.从直观上想，在一个大的估计量的类中找 一致最优的估计不存在，把估计量的类缩小，就有可能存在一致最优的估计量.因此我们把估 计类缩小为无偏估计类来考虑.在无偏估计类中，估计量的均方误差就变为其方差.即当©(X) 为g()的无偏估计时，MSE(g(X)=D(G(X),此处D(G(X)表示g(X)的方差. 存在这样的情形，对参数g()它的无偏估计不存在.请看下例： 例1.设样本X~二项分布b(n,p),n已知而p未知.令g(p)=1/p,则参数g(p)的无偏估计不存在 证采用反证法：若不然，g(p)有无偏估计(X)由于X只取0,1，·，n这些值，令(X)的取值 用g()=a:表示，i=0,1,·,n.由g(X)的无偏性，应有 Ex》-2(O)--=p,0<p<1
Lec6: :O(n) ‹ï² 2011 c 3 24 F 1 òóÅê ÆO ò!⁄Û9½¬ kòÎÍ©ŸxF = {Fθ, θ ∈ Θ},Ÿ•ΘèÎÍòm. g(θ)¥½¬3Θ˛ºÍ, X = (X1, · · · , Xn)ègoNFθ •ƒ{¸ , ˆg(X) = ˆg(X1, · · · , Xn)èg(θ) òáO˛, X¤µdgˆ(X)`? òÑ^gˆ(X) − g(θ) ä蟆 , èûÿgˆ(X) − g(θ)ä—y/+, −0å U-ûKè, òÑ^(ˆg(X) − g(θ))25ìO. du˘á˛¥ëÅ, ÚŸ²˛, =OéŸ˛ä, ± òáN5çIEθ(ˆg(X) − g(θ))2 , ˘“¥O˛gˆ(X)˛êÿ . ½¬ 1. gˆ(X)èg(θ)O, K°Eθ(ˆg(X)−g(θ))2 ègˆ(X)˛êÿ (Mean Square Error,{ PMSE) gˆ1(X)⁄gˆ2(X)èg(θ)¸áÿ”O, e Eθ gˆ1(X) − g(θ) 2 ≤ Eθ gˆ2(X) − g(θ) 2 , ÈòÉ θ ∈ Θ, K°3MSEOKegˆ1(X)`ugˆ2(X). e3gˆ ∗ (X),¶Èg(θ)?òO˛gˆ(X),—k Eθ gˆ ∗ (X) − g(θ) 2 ≤ Eθ gˆ(X) − g(θ) 2 , ÈòÉ θ ∈ Θ, K°gˆ ∗ (X)èg(θ)òóÅ˛êÿ O. åJ¥òóÅ˛êÿ O~ÿ3. )˚˘áØKç{Éò, ¥rÅ`5OKò °ò , ¶·‹˘´Å`5OKOòÑU3. lÜ*˛é, 3òáåO˛a•È òóÅ`Oÿ3, rO˛a†, “kåU3òóÅ`O˛. œd·Çr Oa†èÆOa5ƒ. 3ÆOa•, O˛˛êÿ “CèŸê . =gˆ(X) èg(θ)ÆOû, MSE(ˆg(X)) = Dθ(ˆg(X)), d?Dθ(ˆg(X))L´gˆ(X)ê . 3˘ú/, ÈÎÍg(θ)ßÆOÿ3. ûwe~: ~1. X ∼ ë©Ÿ b(n, p), nÆ pô. -g(p) = 1/p,KÎÍg(p)ÆOÿ3. y Ê^áy{: eÿ,, g(p)kÆOgˆ(X).duXê0, 1, · · · , n˘ ä, -gˆ(X)ä ^gˆ(i) = aiL´, i = 0, 1, · · · , n.dgˆ(X)Æ5,Ak Ep(ˆg(X)) = Xn i=0 ai n i p i (1 − p) n−i = 1/p, 0 < p < 1. 1
于是有 a(）p1-m--1=00<p<1 -0 但上式左端是p的n+1次多项式，它最多在(0,1)区间有n+1个实根，可无偏性要求对(0,1)中的 任一实数p上式都成立.这个矛盾说明g(p)=1/p无的偏估计不存在 今后我们把不存在无偏估计的参数除外.参数的无偏估计若存在，则此参数为可估参数：若 参数函数的无偏估计存在，则称此函数为可估函数(Estimable function).因此可估函数的无偏 估计类是非空的 假如可估函数的无偏估计类中的无偏估计不止一个，怎样比较它们的优劣？故引入下列的 定义 定义2.设多={F6,0∈日]}是一个参数分布族，其中日为参数空间，g(0)为定义在日上的可 估函数.设g*(X)=g(X1,·,Xn)为g()的一个无偏估计，若对g()的任一无偏估计(X)= (X1,…,Xn),都有 Da(g*(X)≤Da(g(X),对一切0∈Θ， 则称g(X)是g(0)的一致最小方差无偏估计(Uniformly Minimum Variance Unbiased Estima- tion,简记为UMVUE)】 对给定参数分布族，如何寻找可估参数的UMVUE呢？本节以下将介绍两种方法：零无偏估 计法和充分完全统计量法，下一节的Cramer-Rao不等式法也是寻找JMVUE的一种方法， 在前面我们曾介绍过Rao-Blackwell定理，这一定理提供了一个改进无偏估计的方法，它在 本节以下寻找UMVUE中，起到简化问题的作用.重新表述此定理如下 定理1(Rao-Blackwel).设T=T(X)是一个充分统计量，而g(X)是g(0的一个无偏估计，则 h(T)=E(g(X)T) 是g(0)的无偏估计，并且 De(h(T)≤De(g(X),一切8∈Θ， (1.1) 其中等号当且仅当P(g(X)=h(T)=1,即g(X)=h(T),a.e.Pg成立. 这个引理提供了一个改进无偏估计的方法，即一个无偏估计(X)对充分统计量T(X)的条 件期望E{(X)T}将能导出一个新的无偏估计，且它的方差不会超过原估计量©(X)的方差.若 原估计(X)不是T(X)的函数，则新的无偏估计E((X)T)一定比原估计(X)具有更小的方差. 这个定理还表明一致最小方差无偏估计一定是充分统计量的函数，否则可以通过充分统计量构 造出一个具有更小方差的无偏估计来. 例2.设X=(X1,·,X)是从两点分布族{b(1,p)：0<p<1}中抽取的简单样本.显 然，X1是即的一个无偏估计，T(X)=∑=1X,是p的充分统计量，试利用T=T(X)构造一个具有 比X1方差更小的无偏估计. 解由引理3.4.1可知，容易构造p的一个无偏估计如下： h(T)=E(XT=t)=1·P(X1=1T=t)+0.P(X1=0T=t)
u¥k Xn i=0 ai n i p i+1(1 − p) n−i − 1 = 0, 0 < p < 1. ˛™Ü‡¥pn + 1gıë™, ßÅı3(0, 1)´mkn + 1á¢ä, åÆ5á¶È(0, 1)• ?ò¢Íp˛™—§·. ˘ágÒ`²g(p) = 1/pÆOÿ3. 8·Çrÿ3ÆOÎÍÿ . ÎÍÆOe3, KdÎÍèåÎÍ; e ÎͺÍÆO3, K°dºÍèåºÍ (Estimable function). œdåºÍÆ Oa¥öò. bXåºÍÆOa•Ã†Oÿéòá, N'ßÇ`? ⁄\e ½¬. ½¬ 2. F = {Fθ, θ ∈ Θ}¥òáÎÍ©Ÿx, Ÿ•ΘèÎÍòm,g(θ)转3Θ˛å ºÍ. gˆ ∗ (X) = ˆg ∗ (X1, · · · , Xn)èg(θ)òáÆO, eÈg(θ)?òÆOgˆ(X) = gˆ(X1, · · · , Xn),—k Dθ(ˆg ∗ (X)) ≤ Dθ(ˆg(X)), ÈòÉ θ ∈ Θ, K°gˆ ∗ (X)¥g(θ)òóÅê ÆO (Uniformly Minimum Variance Unbiased Estimation, {PèUMVUE). Èâ½ÎÍ©Ÿx, X¤œÈåÎÍUMVUEQ? !±eÚ0 ¸´ê{: "Æ O{⁄ø© ⁄O˛{, eò!Cramer-Raoÿ ™{襜ÈUMVUEò´ê{. 3c°·ÇQ0 LRao-Blackwell½n, ˘ò½nJ¯ òáU?ÆOê{, ß3 !±eœÈUMVUE•,Â{zØKä^. #L„d½nXe ½n 1 (Rao-Blackwell). T = T(X)¥òáø©⁄O˛, gˆ(X)¥g(θ) òáÆO, K h(T) = E(ˆg(X)|T) ¥g(θ)ÆO, øÖ Dθ(h(T)) ≤ Dθ(ˆg(X)), òÉ θ ∈ Θ, (1.1) Ÿ• “Ö=Pθ gˆ(X) = h(T) = 1,=gˆ(X) = h(T), a.e. Pθ§·. ˘á⁄nJ¯ òáU?ÆOê{, =òáÆOgˆ(X) Èø©⁄O˛T(X)^ áœ"E{gˆ(X)|T} ÚU—òá#ÆO, Ößê ÿ¨áLO˛gˆ(X)ê . e Ogˆ(X)ÿ¥T(X)ºÍ, K#ÆOE(ˆg(X)|T)ò½'Ogˆ(X)‰kçê . ˘á½nÑL²òóÅê ÆOò½¥ø©⁄O˛ºÍ, ƒK屜Lø©⁄O˛ E—òá‰kçê ÆO5. ~2. X = (X1, · · · , Xn)¥l¸:©Ÿx{b(1, p) : 0 < p < 1}•ƒ{¸ . w ,,X1¥pòáÆO, T(X) = Pn i=1 Xi¥p ø©⁄O˛, £|^T = T(X)Eòá‰k 'X1ê çÆO. ) d⁄n3.4.1å,N¥EpòáÆOXeµ h(T) = E(X1|T = t) = 1 · P(X1 = 1|T = t) + 0 · P(X1 = 0|T = t) 2
=PX1=1,T==PX1=1,X2+…+Xn=t-1) P(T=t) P(T=t) p()p-1(1-p)m-t t 9㎡0-pn-—=元=2 显然样本均值h(T)=的方差为(1-p)/m,而X1的方差为p(1-p,当n≥2时x的方差更小. 二、零无偏估计法 本段介绍一个一般性的定理，用以判断某一估计量是否为UMVUE 定理2.设(X)是g()的一个无偏估计，D(G(X)<∞，对任何0∈日.且对任何满足条件 “Egl(X)=0,对一切0∈日”的统计量1(X),必有 Cowe(gX),l(X)=Eg[g(X)·l(X)]=0一切8∈Θ， (1.2) 则g(X)是g(0)的UMVUE. 从形式上看，条件“El(X)=0,对一切0∈日”可解释为“1(X)是零的无偏估计”，由此 得到求UMVUE的方法之一的名称“零无偏估计法”。 此定理还可进一步加强为：设(X)为g()的一个无偏估计，Da(G(X)<∞，一切9∈Θ 则g(X)是g()的UMVUE的充分必要条件是：对任何满足条件“Egl(X)=0,对一切0∈日”的 统计量(X),必有(1.2)成立. 证设1(X)为g(0)的任一无偏估计.记(X)=1(X)-(X)为零的无偏估计，由于(1.2)式 成立，因而 Da(©1(X)=Da[©(X)+1(X)] =Do(g(X))+De(1(X))+2Cove(g(X),1(X)) Do(g(x))+Do(i(X)>Do(g(x). 另一方面，如果6=g(X)为g(0)的UMVUE,则对任意的零无偏估计量(x),令 6=6+l(X) 则6仍为g()的无偏估计，且 Var(6')=Var(6+XI(X))=X2Var(I(X))+2XCou(6,1(X))+Var(6)>Var(6). 对所有的成立.等价于 X2Var((X)+2ACo(6,l(X)≥0，Hλ. 左边有两个根λ=0和入=-Cou(6,l(X)/Var(l(X),推出Cow(6,l(X)=0. 这就证明了所要的结果 从定理的内容看，它是一个验证某个特定的估计量(X)为UMVUE的方法.至于这个特 定的估计g(X)从何而来，定理3.4.1不能提供任何帮助，它不是UMVUE的构造性定理.g(X)可 以从直观的想法提出，如由矩估计或极大似然估计等方法获得，然后利用此定理验证它是否
= P(X1 = 1, T = t) P(T = t) = P(X1 = 1, X2 + · · · + Xn = t − 1) P(T = t) = p · n−1 t−1 p t−1 (1 − p) n−t n t p t(1 − p) n−t = t n = ¯x. w, ˛äh(T) = X¯ê èp(1 − p)/n, X1ê èp(1 − p),n ≥ 2ûX¯ê ç. !"ÆO{ „0 òáòÑ5½n, ^±‰,òO˛¥ƒèUMVUE. ½n 2. gˆ(X)¥g(θ)òáÆO, Dθ(ˆg(X)) < ∞,È?¤θ ∈ Θ. ÖÈ?¤˜v^á /Eθl(X) = 0, ÈòÉ θ ∈ Θ0⁄O˛l(X),7k Covθ gˆ(X), l(X) = Eθ gˆ(X) · l(X) = 0, òÉ θ ∈ Θ, (1.2) Kgˆ(X)¥g(θ)UMVUE. l/™˛w, ^á/Eθl(X) = 0, ÈòÉ θ ∈ Θ0å)ºè/l(X) ¥"ÆO0, dd ¶UMVUEê{Éò¶°/"ÆO{0. d½nÑå?ò⁄\rè: gˆ(X)èg(θ)òáÆO, Dθ(ˆg(X)) < ∞, òÉ θ ∈ Θ, Kgˆ(X)¥g(θ)UMVUEø©7á^á¥: È?¤˜v^á/Eθl(X) = 0, ÈòÉ θ ∈ Θ0 ⁄O˛l(X), 7k(1.2)§·. y gˆ1(X)èg(θ)?òÆO. Pl(X) = ˆg1(X) − gˆ(X) è"ÆO, du(1.2)™ §·, œ Dθ gˆ1(X) = Dθ gˆ(X) + l(X) = Dθ gˆ(X) + Dθ l(X) + 2Covθ gˆ(X), l(X) = Dθ gˆ(X) + Dθ l(X) ≥ Dθ gˆ(X) . ,òê°, XJδ = ˆg(X)èg(θ)UMVUE, KÈ?ø"ÆO˛l(x), - δ 0 = δ + λl(X) Kδ 0Eèg(θ)ÆO, Ö V ar(δ 0 ) = V ar(δ + λl(X)) = λ 2V ar(l(X)) + 2λCov(δ, l(X)) + V ar(δ) ≥ V ar(δ). ȧkλ§·. du λ 2V ar(l(X)) + 2λCov(δ, l(X)) ≥ 0, ∀ λ. Ü>k¸áäλ = 0⁄λ = −Cov(δ, l(X))/V ar(l(X)), Ì—Cov(δ, l(X)) = 0. ˘“y² §á(J. l½nSNw, ߥòáy,áA½O˛gˆ(X)èUMVUEê{. ñu˘áA ½Ogˆ(X)l¤ 5, ½n3.4.1ÿUJ¯?¤êœ, ßÿ¥UMVUEE5½n. ˆg(X)å ±lÜ*é{J—, Xd›O½4åq,O ê{º, ,|^d½nyߥƒ 3
为g()的UMVUE.条件(1.2)的验证也不容易，因为零无偏估计很多.下面的几个例子说明，本章 前面一些例子中提到的几个常用估计，都可以用此法验证其为UMVUE. 例求上例中g(p)=p的UMVUE, 解由上例已知T=∑=1X,为充分统计量，X)=T/n,故只要验证它满足定理的条件. 显然g(X)是p的无偏估计.且D(gX)=p(1-p)/n<oo,对一切0<p<1.现设1=l(T)为任一 零无偏估计，并记a;=l(),i=0,1,2,·,n,则因T~b(n,p),故有 E4四=2()）pI-m-=00<<1 约去因子(1-p)”,并记p=p/(1-p)(p取值(0，∞)，将上式改写为 2✉()= ,一切0<9<o. 上式左边是p的多项式，要使其为0，必有a:(份=0，即a:=0,i=1,2,…,n.故l(T)在其定义域 中处处为0，因而有(T)三0.从而有 Coup(g,I(T))=E(g1(T))=0. 即定理条件成立，故g(X)==T/n为p的UMVUE. 例设X=(X1,·,Xn)为从指数分布EP(A)中抽取的简单样本，求总体均值g()= 1/A的JMVUE. 解由于在指数分布族中T=∑”1X为入的充分统计量，则T~T(n,),其密度函数为 (t,入)= tn-1et当t>0 0 当t≤0， 其中入>0.取g(X)=T/m,显然E(G(X)=1/入，即g(X)为g()=1/A的无偏估计，且D(©(X)= 1/(n入2)<o∞.现设1=1(T)为任一零无偏估计，故有 E(T)= l(t)人mn-e-λt=o. 即l(t)tn-1e-tdt=0.两边对入求导得 l(t)t"e-λtdt=0, Jo 此式等价于E[T/n·l(T)]=E(g·(T)=Cou(g·I)=0,即定理条件成立.因此g(X)=T/n 为g(A)=1/A的JMVUE. 例设X=(X1,·,Xn)为从均匀分布U(0,)中抽取的简单样本，求的UMVUE. 解由T=T(X)=Xn)是参数的充分统计量，又知g(X)=出T是的无偏估计， 且D((T)=+可2<0.现设1(T)为任一零无偏估计，T的密度函数如(？)所示，因此有 Eol(T)= l(t).ntn-1 9m一dt=0,一切6>0
èg(θ)UMVUE. ^á(1.2)yèÿN¥, œè"ÆOÈı. e°Aá~f`², Ÿ c°ò ~f•JAá~^O, —å±^d{yŸèUMVUE. ~ ¶˛~•g(p) = pUMVUE. ) d˛~ÆT = Pn i=1 Xièø©⁄O˛, ˆg(X) = T /n,êáyߘv½n^á. w,gˆ(X)¥pÆO. ÖDθ(ˆg(X)) = p(1 − p)/n < ∞,ÈòÉ0 < p < 1.yl = l(T)è?ò "ÆO, øPai = l(i), i = 0, 1, 2, · · · , n, KœT ∼ b(n, p),k Ep l(T) = Xn i=0 ai n i p i (1 − p) n−i = 0, 0 < p < 1. œf(1 − p) n,øPϕ = p/(1 − p) (ϕ ä(0, ∞)), Ú˛™Uè Xn i=0 ai n i ϕ i = 0, òÉ 0 < ϕ < ∞. ˛™Ü>¥ϕıë™, ᶟè0, 7kai n i = 0,=ai = 0, i = 1, 2, · · · , n.l(T)3Ÿ½¬ç •??è0, œ kl(T) ≡ 0.l k Covp g, l ˆ (T) = E gˆ · l(T) = 0. =½n^᧷, gˆ(X) = X¯ = T /nèpUMVUE. ~ X = (X1, · · · , Xn)èlçÍ©ŸEP(λ) •ƒ{¸ , ¶oN˛äg(λ) = 1/λUMVUE. ) du3çÍ©Ÿx•T = Pn i=1 Xièλø©⁄O˛, KT ∼ Γ(n, λ),Ÿó›ºÍè φ(t, λ) = ( λ n (n−1)!t n−1 e −λt t > 0 0 t ≤ 0, Ÿ•λ > 0.gˆ(X) = T /n, w,E(ˆg(X)) = 1/λ,=gˆ(X) èg(λ) = 1/λÆO, ÖDλ(ˆg(X)) = 1 (nλ2 ) < ∞.yl = l(T)è?ò"ÆO, k El(T) = Z ∞ 0 l(t) λ n (n − 1)!t n−1 e −λtdt = 0, = R ∞ 0 l(t)t n−1 e −λtdt = 0.¸>Èλ¶ Z ∞ 0 l(t)t n e −λtdt = 0, d™ duEλ T /n · l(T) = Eλ(ˆg · l(T)) = Covλ(ˆg · l) = 0,=½n^᧷. œdgˆ(X) = T /n èg(λ) = 1/λUMVUE. ~ X = (X1, · · · , Xn)èl˛!©ŸU(0, θ)•ƒ{¸ , ¶θUMVUE. ) dT = T(X) = X(n)¥ÎÍθø©⁄O˛, qgˆ(X) = n+1 n T¥θÆO, ÖDθ(ˆg(T)) = 1 n(n+2) θ 2 < ∞. yl(T)è?ò"ÆO, Tó›ºÍX(??)§´, œdk Eθl(T) = Z θ 0 l(t) · ntn−1 θ n dt = 0, òÉ θ > 0, 4
于是有 l(t)tn-1dt=0,一切8>0. 将上式两边对9求导得(0)9m-1=0,一切0>0.故有1(0)三0对一切9>0.可见Cow(g,l(T)= E(g·l(T)=0,即定理条件成立.因此g(X)=tX(m为g()=的JMVUE. 例设X=(X1,·,Xn)为从正态分布N(a,o)中抽取的简单随机样本，求a和o的UMVUE. 解由T=(T1,T2)为9=(a,o2)的充分统计量其中T1=元，T2=∑”1(X-)2, 又T和T2独立，且T1心N(a,σ2/m),T2/o2X品-1.因此(T1,T2)的联合密度为 a女=0(r）会 当-00<ti<+o,t2>0;其它处为0. (1.3) 先考虑a的JMVUE,令g,(X)=T1,显然g(X)为g(g)=a的无偏估计，且Dg(g,(X)= σ2/n<0∞.现设1(T)=1(T1,T2)为任一零无偏估计，则有 Eum)=人a.w,sM西=a 此处-o<a<o,g>0.将上式两边对a求导数，得 p+ada -0. 按(1.3)，此即 Cog(g,l(T)=Eg(g1·l(T,T2)）=0,-o<a<+o,o>0, 故定理3.4.1的条件满足.所以g,(X)=T为g(0)=a的UMVUE. 同理可验证T2=S2为g2(0)=σ的JMVUE,这一验证留为练习. 三、充分完全统计量法 下列定理给出的求JMVUE的方法，即充分完全统计量法是由E.L.Lehmann和H.Scheffe给 出的，完全统计量的概念也是由他们在1950年提出的. 定理(Lehmann-Scheffe定理)设T(X)为一个充分完全统计量，若(T(X)为g(0)的 一个无偏估计，则g(T(X)是g()的唯一的UMVUE(唯一性是在这样的意义下：若g和g,都 是g(0)的JMVUE,则Pa(g≠g)=0,对一切9∈Θ). 证先证唯一性.设g1(T(X)为g()的任一无偏估计，令6(T(X)=(T(X)-1(T(X), 则E6(T(X)=E(T(X)-E1(T(X)=0,对一切0∈日.由T(X)为完全统计量，可 知6(T(X)=0,a.e.Pg.即g(T(X)=1(T(X),a.e.Pg,故唯一性成立. 设p(X)为g()的任一无偏估计.令h(T(X)=E(p(X)T),由T(X)为充分统计量，故知h(T(X)与0无 关，因此是统计量，可知 Ea(h(T(X))=g(): 一切9∈Θ， De(h(T(X))≤Dg(p(X),一切0∈O. 5
u¥k Z θ 0 l(t)t n−1 dt = 0, òÉ θ > 0. Ú˛™¸>Èθ ¶l(θ)θ n−1 = 0, òÉ θ > 0.kl(θ) ≡ 0 ÈòÉθ > 0.åÑCov(ˆg, l(T)) = E(ˆg · l(T)) = 0,=½n^᧷. œdgˆ(X) = n+1 n X(n)èg(θ) = θUMVUE. ~ X = (X1, · · · , Xn)èl©ŸN(a, σ2 )•ƒ{¸ëÅ , ¶a⁄σ 2UMVUE. ) dT = (T1, T2)èθ = (a, σ2 ) ø©⁄O˛.Ÿ•T1 = X, T ¯ 2 = Pn i=1(Xi − X¯) 2 , qT1⁄T2’·, ÖT1 ∼ N a, σ2/n , T2/σ2 ∼ χ 2 n−1 . œd(T1, T2)È‹ó›è f(t1, t2) = √ n √ 2πσ2 e − n(t1−a) 2 2σ2 · 2 n−1 2 Γ n − 1 2 σ n−1 −1 t n−3 2 2 e − t2 2σ2 , − ∞ < t1 < +∞, t2 > 0; Ÿß?è 0. (1.3) kƒaUMVUE, -gˆ1 (X) = T1,w,gˆ1(X) èg1(θ) = aÆO, ÖDθ(ˆg1 (X)) = σ 2/n < ∞.yl(T) = l(T1, T2)è?ò"ÆO, Kk Eθ(l(T)) = Z ∞ 0 Z ∞ −∞ l(t1, t2)fθ(t1, t2)dt1dt2 = 0, d?−∞ < a < ∞, σ > 0.Ú˛™¸>Èa¶Í, Z ∞ 0 Z ∞ −∞ l(t1, t2)(t1 − a) · t n−3 2 2 exp n − 1 2σ 2 n(t1 − a) 2 + t2 o dt1dt2 = 0, U(1.3),d= Covθ gˆ1 , l(T) = Eθ gˆ1 · l(T1, T2) = 0, −∞ < a < +∞, σ > 0, ½n3.4.1^á˜v. §±gˆ1 (X) = T1èg1 (θ) = aUMVUE. ”nåyT2 = S 2èg2(θ) = σ 2UMVUE, ˘òy3èˆS. n!ø© ⁄O˛{ e½nâ—¶UMVUEê{, =ø© ⁄O˛{¥dE.L. Lehmann⁄H. Scheffeâ —, ⁄O˛Vgè¥d¶Ç31950cJ—. ½n (Lehmann-Scheffe½n) T(X)èòáø© ⁄O˛, egˆ(T(X))èg(θ) òáÆO, Kgˆ(T(X))¥g(θ) çòUMVUE (çò5¥3˘ø¬e: egˆ⁄gˆ1— ¥g(θ)UMVUE, KPθ(ˆg 6= ˆg1 ) = 0,ÈòÉθ ∈ Θ). y kyçò5. gˆ1(T(X))èg(θ)?òÆO, -δ(T(X)) = ˆg(T(X)) − gˆ1(T(X)), KEθδ(T(X)) = Eθgˆ(T(X)) − Eθgˆ1(T(X)) = 0,ÈòÉθ ∈ Θ. dT(X)è ⁄O˛, å δ(T(X)) = 0, a.e. Pθ.=gˆ(T(X)) = ˆg1(T(X)), a.e. Pθ, çò5§·. ϕ(X)èg(θ)?òÆO. -h(T(X)) = E(ϕ(X)|T),dT(X)èø©⁄O˛, h(T(X))Üθà ', œd¥⁄O˛, å Eθ(h(T(X))) = g(θ), òÉ θ ∈ Θ, Dθ(h(T(X))) ≤ Dθ(ϕ(X)), òÉ θ ∈ Θ. 5