1.3逻辑函数的代数化简法 、逻辑函数式的常见形式 一个逻辑函数的表达式不是唯一的,可以有多种形式,并且能互相转换。例如: L=AC+ AB 与一或表达式 (A+B)(A+C) 或一与表达式 AC. AB 与非一与非表达式 A+++c 或非一或非表达式 C +AB 与一或非表达式 其中,与一或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。 逻辑函数的最简“与一或表达式”的标准 (1)与项最少,即表达式中“+”号最少。 (2)每个与项中的变量数最少,即表达式中“·”号最少。 三、用代数法化简逻辑函数 1、并项法。运用公式A+=1将两项合并为一项,消去一个变量。 tn L=4(BC+BC)+ A(BC+BC)=ABC+ ABC+ABC+ABC AB(C+C)+ AB(C+C) AB+AB=A( B+B) 2、吸收法。运用吸收律A+AB=A,消去多余的与项。如: L= AB+ AB(C+ DE)=AB 3、消去法。 运用吸收律A+AB=A+B消去多余的因子。如 L=A+ab+be=atb+be=abte
1.3 逻辑函数的代数化简法 一、逻辑函数式的常见形式 一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。例如： 其中，与—或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。 二、逻辑函数的最简“与—或表达式” 的标准 （1）与项最少，即表达式中“+”号最少。 （2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“· ”号最少。 三、用代数法化简逻辑函数 1、并项法。运用公式 ，将两项合并为一项，消去一个变量。 如 2、吸收法。运用吸收律 A+AB=A，消去多余的与项。如: 3、消去法。 A A 1 ( ) ( ) ( ) ( ) AB C C AB C C L A BC BC A BC BC ABC ABC ABC ABC A AB AB A B B ( ) L AB AB(C DE) AB L A AB BE A B BE A B E
(4)配项法。 先通过乘以A+A或加上AA,增加必要的乘积项, 再用以上方法化簡。如 L= AB +AC+ BCD= AB +AC+ BCD(A+A AB+AC+Abcd+ABCD AB+AC 在化简逻辑函数时,要灵活运用上述方法,才能将逻辑函数化为最简。 再举几个例子 【例3.1】化简逻辑函数: L= AD+AD+AB+aC +bd+AbeF +BeF 解 L=A+AB+aC+ bd+ abef+ bef (利用 A+A=1 A+AC+bd+ BeF (利用A+AB=A) =A+C+BD+BEF (利用A+B=A+B 【例3.2】化简逻辑函数 L=AB+ AC+BC +CB+ BD+DB+ ADE(F +G) (利用反演律) L= ABC+BC+CB+BD+DB +ADE(F+G) A+BC+CB+BD+DB+ADBF+G)(利用A+B=4+B) A+BC+CB+Bd+DB (利用A+AB=A) =A+BC(D+D)+CB+BD+DB(C+严项法) A+BcD+ bcd+cb+bd+ dbc+ dbc A+BCD+CB+BD+DBC(利用A+AB=A) A+CD(B+B)+CB+BD A+Cd+cb+BD (利用
（4）配项法。 在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。 再举几个例子： 【例 3.1】 化简逻辑函数： 解： （ 利用 ） （利用 A+AB=A） （利用 ） 【例 3.2】化简逻辑函数： 解： （利用反演律） （利用 ） （利用 A+AB=A） （配项法） （利用 A+AB=A） （利用 ） AB AC AB AC ABCD ABCD L AB AC BCD AB AC BCD A A ( ) L AD AD AB AC BD ABEF BEF L A AB AC BD ABEF BEF A A 1 AABAB AC BD BEF L AB AC BC CB BD DB ADE(F G) L ABC BC CB BD DB ADE(F G) A AB A B A BC CB BD DB A CD(B B) CB BD ACD CB BD A BC(D D) CB BD DB(C C) A AC BD BEF A BCD CB BD DBC AA1 A BC CB BD DB ADE(F G) A BCD BCD CB BD DBC DBC
【例3.3】化简逻辑函数 L=AB+BC+BC+AB 解法1:L=AB+BC+BC+AB+AC(增加冗余项AC) AB+Bc+ Ab+ac (消去1个冗余项BC BC+AB+Ac (再消去1个冗余项AB) 解法2:L=AB+BC+BC+AB+C(增加冗余项AC) AB+BC +AB+ ac (消去1个冗余项BC) AB+BC+Ac (再消去1个冗余项AB) 由上例可知,逻辑函数的化简结果不是唯一的。 1.4逻辑函数的卡诺图化简法 最小项的定义与性质 表1三变量逻辑函戴的最小项及编号 最小项 变量取值 B C ABC A0000 m2 m 110 二、逻辑函数的最小项表达式 任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和,称为最小项表达式。 【例4.1】将以下逻辑函数转换成最小项表达式:L(ABC)=AB+求C 解:1(A.BC)=AB+求C=AB(C+O)+(B+B) ABC +ABC+AbC+ABC 【例4.2】将下列逻辑函数转换成最小项表达式:F=AB+AB+AB+C F=AB+Ab+ab+
【例 3.3】化简逻辑函数 解法 1： L AB BC BC AB AC （增加冗余项 AC ） AB BC AB AC （消去 1 个冗余项 BC ） BC AB AC （再消去 1 个冗余项 AB ） 解法 2： L AB BC BC AB AC （增加冗余项 AC） AB BC AB AC （消去 1 个冗余项 BC） AB BC AC （再消去 1 个冗余项 AB ） 由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。 1.4 逻辑函数的卡诺图化简法 一、 最小项的定义与性质 二、逻辑函数的最小项表达式 任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和，称为最小项表达式。 【例 4.1】将以下逻辑函数转换成最小项表达式： 解： =m7+m6+m3+m1 【例 4.2】将下列逻辑函数转换成最小项表达式： 解： L AB BC BC AB L(A,B,C) AB AC L(A,B,C) AB AC AB(C C) AC(B B) ABC ABC ABC ABC F AB AB AB C F AB AB AB C
AB+ABABC=AB+(A+B(A+ B)C=AB+ ABC+ABC AB(C+C)+ABC+ABC= ABC+ABC +ABC +ABC =m7+m6+m3+m5=∑m(3,5,6,7) 三、卡诺图 1.相邻最小项 如果两个最小项中只有一个变量互为反变量,其余变量均相同,则称这两 个最小项为逻辑相邻,简称相邻项。 例如,最小项ABC和ABC就是相邻最小项 如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中,可以合并为一项,同时消去 互为反变量的那个量。期C+ABC=AC(B+B)=AC 2.卡诺图 最小项的定义 n个变量的逻辑函数中,包含全部变量的乘积项称为最小项。n变量逻辑函 数的全部最小项共有2个 用小方格来表示最小项,一个小方格代表一个最小项,然后将这些最小项按 照相邻性排列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻 性 3.卡诺图的结构 (1)二变量卡诺图 A 00011110 丽 AB AB AB (2)三变量卡诺图 6 C
=m7+m6+m3+m5=∑m（3,5,6,7） 三、卡诺图 1．相邻最小项 如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称这两 个最小项为逻辑相邻，简称相邻项。 例如，最小项 ABC 和 就是相邻最小项。 如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合并为一项，同时消去 互为反变量的那个量。如 2 .卡诺图 最小项的定义: n 个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最小项。n 变量逻辑函 数的全部最小项共有 2 n个。 用小方格来表示最小项，一个小方格代表一个最小项，然后将这些最小项按 照相邻性排列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻 性。 3．卡诺图的结构 （1）二变量卡诺图 （2）三变量卡诺图 AB AB ABC AB(A B)(A B)C AB ABC ABC AB(C C) ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC AC(B B) AC 0 m ABC m ABC 1 m3 m ABC ABC 2 5 6 m ABC 4 7 ABC m m m ABC ABC 0 (a) (b) 1 3 2 4 5 7 6 00 01 11 10 BC A 0 1 B C A
(3)四变量卡诺图 必 仔细观察可以发现,卡诺月蕉相: (1)直观相邻性,只要小方格在几何位置上相邻(不管上下左右),它代表的最 小项在逻辑上一定是相邻的。 (2)对边相邻性,即与中心轴对称的左右两边和上下两边的小方格也具有相邻 性 四、用卡诺图表示逻辑函数 1.从真值表到卡诺图 【例4.3】某逻辑函数的真值表如表(2)所示,用卡诺图表示该逻辑函数。 解:该函数为三变量,先画出三变量卡诺图,然后根据真值表将8个最小项L 的取值0或者1填入卡诺图中对应的8个小方格中即可。 表2.真值表 A00001111 。 2.从逻辑表达式到卡诺图 (1)如果表达式为最小项表达式,则可直接填入卡诺图 【例4.4】用卡诺图表示逻辑函数:Y=ABC+ABC+ABC+ABC 解:写成简化形式:y=m+m2+m+m
（3）四变量卡诺图 仔细观察可以发现，卡诺图具有很强的相邻性： （1）直观相邻性，只要小方格在几何位置上相邻（不管上下左右），它代表的最 小项在逻辑上一定是相邻的。 （2）对边相邻性，即与中心轴对称的左右两边和上下两边的小方格也具有相邻 性。 四、用卡诺图表示逻辑函数 1．从真值表到卡诺图 【例 4.3】某逻辑函数的真值表如表(2)所示，用卡诺图表示该逻辑函数。 解： 该函数为三变量，先画出三变量卡诺图，然后根据真值表将 8 个最小项 L 的取值 0 或者 1 填入卡诺图中对应的 8 个小方格中即可。 2．从逻辑表达式到卡诺图 （1）如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图。 【例 4.4】用卡诺图表示逻辑函数: Y ABC ABC ABC ABC 解： 写成简化形式： m0 ABCD ABCD m1 ABCD m3 m ABCD 2 m5 m7 m6 ABCD ABCD m ABCD 4 ABCD ABCD m13 m ABCD ABCD m12 15 m14 ABCD ABCD ABCD m ABCD m8 9 m11 m10 ABCD A B C D 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 AB CD 00 00 01 01 11 11 10 10 (a) (b) 01 11 10 0 A 00 BC 0 1 0 0 0 1 1 1 1 L Y m0 m3 m6 m7