《大学物理练习册》A分册解答（2008)

=200m/s射中木块并陷在其中.设弹簧的劲度系数为k=25N/m求子弹打入木块后它们 的共同速度 解:(1)木块下滑过程中,以木块、弹簧、地球为系统机械能守恒.选弹簧原长处为弹性势 能和重力势能的零点,以D表示木块下滑x距离时的速度,则 kx+Mu? ir=0 求出:n=12 Sina 0.83m:向沿斜面向下 (2)以子弹和木块为系统,在子弹射入木块过程中外力沿斜面方向的分力可 略去不计,沿斜面方向可应用动量守恒定律 以功表示子弹射入木块后的共同速度,则有: MU,-mUco=(M+m)u 解出: Mu, -mucosa 负号表示此速度的方向沿斜面向上 4A-5.有一劲度系数为k的轻弹簧,一端固定在直立圆环的底部M处,另一端与一质量为 m的小球相连,如图示。设弹簧原长为零,小球以初速v0自M点 出发,沿半径为R的光滑圆环的内表面滑动(圆环固定与地面不 力)。试求 (1)要使小球在顶部Q点不脱离轨道,V0的最小值; (2)小球运动到P点处的速率。 解:小球运动到Q点,由牛顿方程得 2kR+mg+N=mo /R 不脱离轨道的条件(V。最小)N=0,故有 2kR+mg=m/R(1) 由机械能守恒定律得(取M点为零势点) 2kR2+2mgR+-mm2=-mv2 (2) 联立(1)和(2)得 skR/m+5gR 小球运动到P点,有:kR+mgR+mvp==mvb 得:w2=√4kR/m+38R 4A6已知质量为m1和m2,速度为v1o和v2两小球作非弹性对心碰撞,其的恢复系数为e 试求碰撞前后系统机械能的损失。 解:设质量为m1和m2的物体碰撞后的速度分别为v和v2由恢复系数的定义,得

6 = 200 m/s 射中木块并陷在其中．设弹簧的劲度系数为 k = 25 N/m．求子弹打入木块后它们 的共同速度． 解：(1) 木块下滑过程中，以木块、弹簧、地球为系统机械能守恒．选弹簧原长处为弹性势 能和重力势能的零点，以 v1 表示木块下滑 x 距离时的速度，则 sin 0 2 1 2 1 2 1 2 kx  Mv  Mgx   求出：    M kx gx 2 1 v 2 sin 0.83 m/s ；向沿斜面向下． (2) 以子弹和木块为系统，在子弹射入木块过程中外力沿斜面方向的分力可 略去不计，沿斜面方向可应用动量守恒定律． 以 v2 表示子弹射入木块后的共同速度，则有： 1 2 Mv  mv cos  (M  m)v 解出： 0.89 ( ) cos 1 2      M m Mv mv  v m/s 负号表示此速度的方向沿斜面向上． 4A-5．有一劲度系数为 k 的轻弹簧，一端固定在直立圆环的底部 M 处，另一端与一质量为 m 的小球相连，如图示。设弹簧原长为零，小球以初速 0 v 自 M 点 出发，沿半径为 R 的光滑圆环的内表面滑动（圆环固定与地面不 动）。试求： （1） 要使小球在顶部 Q 点不脱离轨道， 0 v 的最小值； （2） 小球运动到 P 点处的速率。 解： 小球运动到 Q 点，由牛顿方程得 2 2 / Q kR mg N mv R    不脱离轨道的条件（ 0 v 最小）N=0，故有 2 2 / Q kR mg mv R   （1） 由机械能守恒定律得（取 M 点为零势点） 2 2 2 0 1 1 2 2 2 2 Q kR mgR mv mv    （2） 联立（1）和（2）得 2 0 v kR m gR   6 / 5 小球运动到 P 点，有： 2 2 2 0 1 1 2 2 P kR mgR mv mv    得： 2 4 / 3 P v kR m gR   4A-6 已知质量为 m1 和 m2 ，速度为 10 v 和 20 v 两小球作非弹性对心碰撞，其的恢复系数为 e 。 试求碰撞前后系统机械能的损失。 解：设质量为 m1 和 m2 的物体碰撞后的速度分别为 1 v 和 2 v .由恢复系数的定义，得 2 1 10 20 v v e v v    （1） M P Q R

由动量守恒得:mvo+m220=mv1+m2"2 (2) 联立方程(1)和(2),解得 (1+e)m2(vo-V20) (1+e)m1(v10-V20) 所以系统机械能的损失为 △E=mv+m12-m-mn2=11-e2)m-(1m-120) m1+m2 显然,当e=1时,系统机械能没有损失,为完全弹性碰撞。当e=0时,系统机械能损失最大, 为完全非弹性碰撞。 作业5A电场强度 5A-1四个点电荷到坐标原点的距离均为d,如图所示,求:O 点的电场强度的大小和方向。 解:由图所示x轴上两点电荷在O点产生的电场强度为 E=E,+E=_297+-97=-3 4od 4m。d y轴上两点电荷在O点产生的电场强度为 2 E=Eraj+e_aj 所以,点O处的合电场强度为 大小为馬=+E珍 Eo=E+E= 3q tEnd 方向与x轴正向成-45°角 5A-2.均勻带电无限长直线,电荷线密度为λ1,另有长为b的直线 段与长直线共面且垂直,相距a,电荷线密度为2。求两者之间的 作用力大小? 解:如图所示建立坐标。A的电场分布为 E,= A1 2TEo(a+b-y) 2上的电荷元2dy受到的静电力 Ma, dy dF=A2dyE、1m(a+b-y) f=ldF= iNa+6 2E0(a+b-y)2 7

7 由动量守恒得： m v m v m v m v 1 10 2 20 1 1 2 2    （2） 联立方程（1）和（2），解得 2 10 20 1 10 1 2 (1 ) ( ) e m v v v v m m      ； 1 10 20 2 20 1 2 (1 ) ( ) e m v v v v m m      所以系统机械能的损失为 2 2 2 2 2 2 1 2 1 10 2 20 1 1 2 2 10 20 1 2 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) 2 2 2 2 2 m m E m v m v m v m v e v v m m          显然，当 e=1 时，系统机械能没有损失，为完全弹性碰撞。当 e=0 时，系统机械能损失最大， 为完全非弹性碰撞。 作业 5A 电场强度 5A-1.四个点电荷到坐标原点的距离均为 d ，如图所示，求： O 点的电场强度的大小和方向。 解： 由图所示 x 轴上两点电荷在 O 点产生的电场强度为 i d q i d q i d q E E i E i q q       2 0 2 0 2 0 2 4 3 4 4 2          y 轴上两点电荷在 O 点产生的电场强度为 j d q j d q j d q E E j E j q q       2 0 2 0 2 0 2 4 3 4 4 2            所以，点 O 处的合电场强度为 O 1 2 2 2 0 0 3 3 4 4 q q E E E i j   d d          大小为 2 2 O 1 2 2 0 3 2 4 q E E E  d    ，方向与 x 轴正向成  45 角。 5A-2. 均勻带电无限长直线，电荷线密度为 1 ，另有长为 b 的直线 段与长直线共面且垂直，相距 a ，电荷线密度为 2 。求两者之间的 作用力大小？ 解：如图所示建立坐标。 1 的电场分布为 1 1 0 2 ( ) E a b y       2 上的电荷元 2  dy 受到的静电力 1 2 2 1 0 d d d 2 ( ) y F yE a b y         1 2 1 2 0 0 0 d F= d ln 2 ( ) 2 b y a b F a b y a              y O －q +2q －q +2q y x O

5A-3.一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形,沿其上半部分 均匀分布有电量+Q,沿其下半部分的均匀分布有电量-Q,如 图所示,试求圆心O处的电场强度 解:把所有电荷都当作正电荷处理.在θ处取微小电荷 dq=Adl=2Qd6/π 它在O处产生场强 de= d 按O角变化,将dE分解成二个分量: de=desine= -sin ede 兀2cR dE=-decos0= scored 对各分量分别积分,积分时考虑到一半是负电荷 O E bIEr fs i- s i nde=0 co8d0-co8d8 2πEnR 丌/2 所以 E=Ei+e 5A-4.真空中一长为L的均匀带电细直杆,总电量q,试求在直杆延长线上距杆的一端距离 d的P点的电场强度 解:设杆的左端为坐标原点O,x轴沿直杆方向.带 电直杆的电荷线密度为=q/L,在x处取一电荷元 dq=dx=qdx/L,它在P点的场强 (+d-x)dE de 4π0(L+d-x)24π0L(L+d-x)2 总场强为 E= J(L+d-x)2 4IEod(L+d) 方向沿x轴,即杆的延长线方向 5A-5一“无限长”均匀带电的半圆柱面,半径为R,设半圆柱面 沿轴线单位长度上的电量为λ,试求轴线上一点的电场强度 解:设坐标系如图所示.将半圆柱面划分成许多窄条.dl宽的窄条 的电荷线密度为 dd=-dl==de πR

8 5A-3. 一个细玻璃棒被弯成半径为 R 的半圆形，沿其上半部分 均匀分布有电量+Q，沿其下半部分的均匀分布有电量－Q，如 图所示，试求圆心 O 处的电场强度。 解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在处取微小电荷 dq = dl = 2Qd /  它在 O 处产生场强    d 4 2 d d 2 0 2 2 0 R Q R q E     按 角变化，将 dE 分解成二个分量：     sin d 2 d d sin 2 0 2 R Q Ex E        cos d 2 d d cos 2 0 2 R Q Ey E      对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷                    / 2 / 2 0 2 0 2 sind sind 2 R Q Ex ＝0 2 0 2 / 2 / 2 0 2 0 2 cos d cos d 2 R Q R Q Ey                         所以 j R Q E E i E j x y     2 0 2       5A-4. 真空中一长为 L 的均匀带电细直杆，总电量 q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离 d 的 P 点的电场强度。 解：设杆的左端为坐标原点 O，x 轴沿直杆方向．带 电直杆的电荷线密度为=q / L，在 x 处取一电荷元 dq = dx = qdx / L，它在 P 点的场强：   2 4 0 d d L d x q E        2 0 4 d L L d x q x      总场强为     L L d x x L q E 0 2 0 ( ) d 4  － dL d  q    4 0  方向沿 x 轴，即杆的延长线方向． 5A-5 一“无限长”均匀带电的半圆柱面，半径为 R，设半圆柱面 沿轴线单位长度上的电量为  ，试求轴线上一点的电场强度。 解:设坐标系如图所示．将半圆柱面划分成许多窄条．dl 宽的窄条 的电荷线密度为    d d d     l R dq R O x y  d  Ｐ L d dq x (L+d－x) dE x O O R ’ O

取位置处的一条,它在轴线上一点产生的场强为 d de= d 2IEoR 2T EoR 如图所示.它在x、y轴上的二个分量为 de =de sin 0. dE=-de cose 对各分量分别积分 ydE E 2T'ERJosirodo=- d π2EoR Ey c09d6=0 22E 场强 E=E1+E,=πER 5A-6.一“无限长”圆柱面,其电荷面密度由下式决定:=σ。COS中,式中的中角为半 径R与X轴之间所夹的角,试求圆柱轴线上一点的场强。 解:将柱面分成许多与轴线平行的细长条,每条可视为“无限长”均匀带电直线,其电荷线 密度为 A=gocos rdo 它在O点产生的场强为: dEx de= coSφdφ CIEOR 21 它沿x、y轴上的二个分量为: dEr-dEcosy 2忑0 cos odo de=-desil sing cosφdφ 积分 E,=209d= Ey oos igd( sOi) O O E=ei= 2 中包含的净电荷.(真空介电常数a=88×0净 作业6A静电场中的高斯定 6A-1.图中虚线所示为一立方形的高斯面,已知空间 的场强分布为:Ex=bx,E,=0,E2=0.高斯面 长a=0.1m,常量b=1000N(C·m).试求该闭合面 解:设闭合面内包含净电荷为Q.因场强只有x分量 不为零,故只是二个垂直于x轴的平面上电场强度通

9 取位置处的一条，它在轴线上一点产生的场强为      d 2 2 d d 0 2 0R R E     如图所示. 它在 x、y 轴上的二个分量为： dEx=dE sin , dEy=－dE cos 对各分量分别积分 R R Ex 0 2 0 0 2 sin d 2             cos d 0 2 0 0 2           R Ey 场强 i R E E i E j x y     0 2       5A-6.一“无限长”圆柱面，其电荷面密度由下式决定：   o cos ，式中的  角为半 径 R 与 X 轴之间所夹的角，试求圆柱轴线上一点的场强。 解：将柱面分成许多与轴线平行的细长条，每条可视为“无限长”均匀带电直线，其电荷线 密度为  = 0cos Rd， 它在 O 点产生的场强为：       cos d 2 2 d 0 0 0     R E 它沿 x、y 轴上的二个分量为： dEx=－dEcos =     cos d 2 2 0 0   dEy=－dEsin =      sin cos d 2 0 0  积分：      2 0 2 0 0 cos d 2     Ex ＝ 0 0 2  sind(sin) 0 2 2 0 0 0          Ey ∴ E E i i x    0 0 2     作业 6A 静电场中的高斯定理 6A-1. 图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间 的场强分布为： Ex＝bx， Ey＝0， Ez＝0．高斯面边 长 a＝0.1 m，常量 b＝1000 N/(C·m)．试求该闭合面 中包含的净电荷．(真空介电常数0＝8.85×10-12 C 2·N -1·m -2 ) 解：设闭合面内包含净电荷为 Q．因场强只有 x 分量 不为零，故只是二个垂直于 x 轴的平面上电场强度通  dEy y dl d R   dEx x dE O x R y  d dEx dEy dE a a a a x z y O