过点C作CG∥EA交AF于H,交AD于G,若∠BAE=25°,∠BCD=130°,求 ∠AHC的度数。 13、如图所示,已知菱形ABCD中E在BC上,且AB=AE,∠BAE=∠EAD, AE交BD于M,试说明BE=AM 14、如图,在△ABC中,AB=BC,D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点, (1)求证四边形BDEF是菱形。(2)若AB=12cm,求菱形BDEF的周长? 15、已知:如图,△ABC中,∠BAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点, 且AE=AC,EF∥BC交AD于点F,求证:四边形CDEF是菱形。 16.如图,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别 交于点E、F、0,求证:四边形AFCE是菱形 17、已知:如图,C是线段BD上一点,△ABC和△ECD都是等边三角形,R F、G、H分别是四边形ABDE各边的中点,求证:四边形RFGH是菱形。 18、如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠B,∠C的平分线BD、CE相交于点M, DF∥CE,EG∥BD,DF与EG交于N,求证:四边形MDNE是菱形 19.已知:如图,四边形ABCD是菱形,E是BD延长线上一点,F是DB延长 线上一点,且DE=BF.请你以F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连 成一条新的线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只须证明 组线段相等即可) )连接AF
过点 C 作 CG∥EA 交 AF 于 H，交 AD 于 G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求 ∠AHC 的度数。 13、如图所示，已知菱形 ABCD 中 E 在 BC 上，且 AB=AE，∠BAE= 2 1 ∠EAD， AE 交 BD 于 M，试说明 BE=AM。 14、 如图，在△ABC 中，AB=BC，D、E、F 分别是 BC、AC、AB 上的中点， （1）求证四边形 BDEF 是菱形。（2）若 AB=12cm，求菱形 BDEF 的周长？ 15、已知：如图，△ABC 中，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，E 是 AB 上一点， 且 AE=AC，EF∥BC 交 AD 于点 F，求证：四边形 CDEF 是菱形。 16. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与 AD、BC、AC 分别 交于点 E、F、O，求证：四边形 AFCE 是菱形。 17、已知：如图，C 是线段 BD 上一点，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，R、 F、G、H 分别是四边形 ABDE 各边的中点，求证：四边形 RFGH 是菱形。 18、如图，已知在△ABC 中，AB=AC，∠B，∠C 的平分线 BD、CE 相交于点 M， DF∥CE，EG∥BD，DF 与 EG 交于 N，求证：四边形 MDNE 是菱形。 19.已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，E 是 BD 延长线上一点，F 是 DB 延长 线上一点，且 DE=BF．请你以 F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连 成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一 组线段相等即可）． （1）连接 AF ； R H G F E B C D A
(2)猜想:AF (3)证明:(说明:写出证明过程的重要依据) 分析:观察图形应该是连接AF,可通过证△AB和△ADE全等来实现AF=AE 0.如图,在菱形ABCD中,P是AB上的一个动点(不与A、B重合),连 接DP交对角线AC于E连接BE (1)证明:∠APD=∠CBE (2)若∠DAB=60°,试问P点运动到什么位置时,△ADP的面积等于菱形 ABCD面积的,为什么? 21、如图,四边形ABCD是菱形,BE⊥AD、BF⊥CD,垂足分别为E、F 1)求证:BE=BF; (2)当菱形ABCD的对角线AC=8,BD=6时,求BE的长 A C 22.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4,0为对角线BD的中点,过0 点作OE⊥AB,垂足为E (1)求∠ABD的度数 (2)求线段BE的长 点评:本题利用等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于 斜边的一半求解,需要熟练掌握 23、如图所示,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,DE∥AC交BC的延长线于 点E. 求证:DE=±BE 点评:此题考查了菱形的性质,直角三角形的性 质等知识.此题难度不大,注意数形结合思想的应用 24在矩形∥BD中,O是对角线起的中点,BF是线段A的中垂线,交 AD、BC于EE求证:四边形AECF是菱形 25、四边形ABCD是矩形,四边形AECF是菱形,若AB2cm,BC=4cm,求四边 形ABCF的面积。B
（2）猜想： AF = AE ； （3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据） 分析：观察图形应该是连接 AF，可通过证△AFB 和△ADE 全等来实现 AF=AE． 20．如图，在菱形 ABCD 中，P 是 AB 上的一个动点（不与 A、B 重合），连 接 DP 交对角线 AC 于 E 连接 BE． （1）证明：∠APD=∠CBE； （2）若∠DAB=60°，试问 P 点运动到什么位置时，△ADP 的面积等于菱形 ABCD 面积的 ，为什么？ 21、如图，四边形 ABCD 是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为 E、F． （1）求证：BE=BF； （2）当菱形 ABCD 的对角线 AC=8，BD=6 时，求 BE 的长． 22.如图，在菱形 ABCD 中，∠A=60°，AB=4，O 为对角线 BD 的中点，过 O 点作 OE⊥AB，垂足为 E． （1）求∠ABD 的度数； （2）求线段 BE 的长． 点评：本题利用等边三角形的判定和直角三角形 30°角所对的直角边等于 斜边的一半求解，需要熟练掌握． 23、如图所示，在菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，DE∥AC 交 BC 的延长线于 点 E． 求证：DE= BE 点评：此题考查了菱形的性质，直角三角形的性 质等知识．此题难度不大，注意数形结合思想的应用． 24、在矩形 ABCD 中，O 是对角线 AC 的中点，EF 是线段 AC 的中垂线，交 AD、BC 于 E、F.求证：四边形 AECF 是菱形 25、四边形 ABCD 是矩形，四边形 AECF 是菱形，若 AB=2cm，BC=4cm，求四边 形 AECF 的面积
§1.2矩形的性质与判定(第一课时) 教学目标 1、能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论, 2、能运用矩形的性质进行简单的证明与计算 教学重难点:矩形的性质的证明以及它与平行四边形的从属关系 、概念 1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形(矩形是特殊的平行四 边形) 2.矩形的性质:矩形具有平行四边形的所有性质。 (1)角:四个角都是直角。 (2)对角线:互相平分且相等。 3.矩形的判定 (1)有一个角是直角的平行四边形。 (2)对角线相等的平行四边形。 (3)有三个角是直角的四边形。 4.矩形的对称性:矩形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心; 矩形是轴对称图形,对称轴有2条,是经过对角线的交点且垂直于矩形 边的直线 5.矩形的周长和面积 矩形的周长=2(a+b)矩形的面积=长×宽=ab(a,b为矩形 的长与宽 ★注意:(1)矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积 相等 (2)矩形是轴对称图形,两组对边的中垂线是它的对称轴 。矩形叙 角 行四边形/ 角为直角且一组邻边相等 正方形 你/菱形 四边形 两相等 四、讲课过程: 梯形 等腰梯形 【经典例题:】 C 例1:已知:0是矩形ABCD对角线的交点,E、F、G、H分别是OA、OB、 G OC、OD上的点,AE=BF=CG=DH,求证:四边形EFGH为矩形 分析:利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形可以证明
§1.2 矩形的性质与判定(第一课时) 一、教学目标 1、能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论． 2 、能运用矩形的性质进行简单的证明与计算． 二、教学重难点：矩形的性质的证明以及它与平行四边形的从属关系． 三、概念： 1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四 边形）。 2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。 （1）角：四个角都是直角。 （2）对角线：互相平分且相等。 3．矩形的判定: （1）有一个角是直角的平行四边形。 （2）对角线相等的平行四边形。 （3）有三个角是直角的四边形。 4.矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心； 矩形是轴对称图形，对称轴有 2 条，是经过对角线的交点且垂直于矩形 一边的直线。 5.矩形的周长和面积： 矩形的周长= 2(a + b) 矩形的面积=长 宽= ab （ a,b 为矩形 的长与宽） ★注意:（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积 相等。 （2）矩形是轴对称图形，两组对边的中垂线是它的对称轴。 四、讲课过程： 【经典例题:】 例 1：已知：O 是矩形 ABCD 对角线的交点，E、F、G、H 分别是 OA、OB、 OC、OD 上的点，AE=BF=CG=DH，求证：四边形 EFGH 为矩形. 分析：利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形可以证明 四 边形 平 行 四 边 形 矩 形 菱 形 梯 形 一角为90° 一组邻边相等 正方形 两组对边平行 只有一组对边平行 一角为直角且一组邻边相等 邻边相等 一角为90° 等腰梯形 两腰相等
例2:判断 (1)两条对角线相等四边形是矩形() (2)两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形() (3)有一个角是直角的四边形是矩形() (4)在矩形内部没有和四个顶点距离相等的点() 分析及解答: (1)如图 四边形ABCD中,AC=BD,但ABCD不为矩形,∴ (2)对角线互相平分的四边形即平行四边形,∴对角线相等的平行四边 形为矩形∴√ (3)如图 四边形ABCD中,∠B=90°,但ABCD不为矩形∴ (4)矩形对角线的交点0到四个顶点距离相等∴ 如图, 【课堂练习题:】 1.判断一个四边形是矩形,下列条件正确的是() A.对角线相等B.对角线垂直C.对角线互相平分且相等D.对角线互相 垂直且相等。 2.矩形的两边长分别为10cm和15cm,其中一个内角平分线分长边为两部分, 这两部分分别为() A.6cm和9cmB.5cm和10c C.4cm和1lcm 和8cm 3.在下列图形性质中,矩形不一定具有的是() A.对角线互相平分且相等 B.四个角相等 是轴对称图形 D.对角线互相垂直平分 4在矩形ABCD中,对角线交于0点,AB=0.6,BC=0.8,那么△AOB的面积 为;周长为 5一个矩形周长是12cm,对角线长是5cm,那么它的面积 为
例 2：判断 （1）两条对角线相等四边形是矩形（ ） （2）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形（ ） （3）有一个角是直角的四边形是矩形（ ） （4）在矩形内部没有和四个顶点距离相等的点（ ） 分析及解答： （1）如图 四边形 ABCD 中，AC=BD，但 ABCD 不为矩形，∴× （2）对角线互相平分的四边形即平行四边形，∴对角线相等的平行四边 形为矩形∴√ （3）如图， 四边形 ABCD 中，∠B=90°，但 ABCD 不为矩形 ∴× （4）矩形对角线的交点 O 到四个顶点距离相等 ∴×， 如图， 【课堂练习题:】 1．判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是（ ） A．对角线相等 B．对角线垂直 C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相 垂直且相等。 2．矩形的两边长分别为 10cm 和 15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分， 这两部分分别为（ ） A．6cm 和 9cm B．5cm 和 10cm C．4cm 和 11cm D．7cm 和 8cm 3.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ） A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等 C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直平分 4 在矩形 ABCD 中, 对角线交于 O 点，AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积 为 ; 周长为 . 5 一 个 矩 形 周 长 是 12cm, 对 角 线 长 是 5cm, 那 么 它 的 面 积 为
6.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12,则斜边上的中线等 于 7.矩形的两条对角线的夹角是60°,一条对角线与矩形短边的和为15,那么 矩形对角线的长为,短边长为 8.矩形的两邻边分别为4cm和3cm,则其对角线为 cm,矩形面积为 9.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°,则两条对角线相交所成的锐角 10.矩形的对角线相交所成的钝角为120°,矩形的短边长为5cm,则对角 线之长为cm 11.矩形ABCD的两对角线AC与BD相交于0点,∠AOB=2∠BOC,若对角线AC 的长为18cm,则AD=cm。 12、已知:如图所示,矩形ABCD中,E是BC上的一点,且AE=BC,∠EDC=15° 求证:AD=2AB 教学反思: B §1.2矩形的性质与判定(第二课时) 教学目标 知识与技能:通过探索与交流,逐渐得出矩形的判定定理,使学生亲身经历 知识的发生过程,并会运用定理解决相关问题。通过开放式命题,尝试从不 同角度寻求解决问题的方法。过程与方法:通过动手实践、合作探索、小 组交流,培养学生的的逻辑推理、动手实践等能力。情感态度与价值观:在 良好的师生关系下,创设轻松的学习氛围,使学生在数学活动中获得成功的 体验,增强自信心,在合作学习中增强集体责任感。 教学重点与难点 重点:探索矩形判定定理的过程及应用 难点:矩形判定定理的应用 教学过程 环节一:创设情境、导入新课 通过上节课对矩形的学习,谁能回答以下问题 1、判定四边形是矩形的方法是什么?(用定义) (1)是不是平行四边形,(2)再看它有无直角 2、矩形是特殊的平行四边形它具有哪些性质?
6.若一个直角三角形的两条直角边分别为 5 和 12，则斜边上的中线等 于 . 7.矩形的两条对角线的夹角是 60°，一条对角线与矩形短边的和为 15，那么 矩形对角线的长为 ，短边长为 . 8.矩形的两邻边分别为 4 ㎝和 3 ㎝，则其对角线为 ㎝，矩形面积为 cm 2 . 9.若矩形的一条对角线与一边的夹角是 40°，则两条对角线相交所成的锐角 是 . 10．矩形的对角线相交所成的钝角为 120°，矩形的短边长为 5 cm，则对角 线之长为 cm。 11．矩形 ABCD 的两对角线 AC 与 BD 相交于 O 点，∠AOB=2∠BOC，若对角线 AC 的长为 18 cm，则 AD= cm。 12、已知：如图所示，矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的一点，且 AE=BC，EDC =15 ． 求证：AD=2AB． 教学反思： §1.2 矩形的性质与判定(第二课时) 教学目标 知识与技能：通过探索与交流，逐渐得出矩形的判定定理，使学生亲身经历 知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题。通过开放式命题，尝试从不 同角度寻求解决问题的方法。过程与方法： 通过动手实践、合作探索、小 组交流，培养学生的的逻辑推理、动手实践等能力。情感态度与价值观：在 良好的师生关系下，创设轻松的学习氛围，使学生在数学活动中获得成功的 体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感。 教学重点与难点 重点：探索矩形判定定理的过程及应用 难点：矩形判定定理的应用 教学过程 环节一：创设情境、导入新课 通过上节课对矩形的学习，谁能回答以下问题 1、判定四边形是矩形的方法是什么？（用定义） （1）是不是平行四边形，（2）再看它有无直角。 2、矩形是特殊的平行四边形它具有哪些性质？ A B E C D