第二章投影基础 21投影法基本知识 光线照射物体时,可在预设的面上产生影子。利用这个原理在平面上绘制出物体的图像, 以表示物体的形状和大小,这种方法称为投影法。工程上应用投影法获得工程图样的方法, 是从日常生活中自然界的一种光照投影现象抽象出来的 由投影中心、投影线和投影面三要素所决定的投影法可分为中心投影法和平行投影法。 211中心投影法 如图2-1所示,投影线自投影中心S出发,将空间△ABC投射到投影面P上,所得△ abc即为△ABC的投影。这种投影线自投影中心出发的投影法称为中心投影法,所得投影称 为中心投影 中心投影法主要用于绘制产品或建筑物富有真实感的立体图,也称透视图 图2-1中心投影法 212平行投影法 若将投影中心S移到离投影面无穷远处,则所有的投影线都相互平行,这种投影线相互 平行的投影方法,称为平行投影法,所得投影称为平行投影。平行投影法中以投影线是否垂 直于投影面分为正投影法和斜投影法。若投影线垂直于投影面,称为正投影法,所得投影称 为正投影,如图2-2a所示;若投影线倾斜于投影面,称为斜投影法,所得投影称为斜投影, 如图2-2b所示。 正投影法主要用于绘制工程图样:斜投影法主要用于绘制有立体感的图形,如斜轴测图。 图2-2平行投影法 22几何元素的投影 组成物体的基本元素是点、线、面。为了顺利表达各种产品的结构,必须首先掌握几何 元素的投影特性 要唯一确定几何元素的空间位置及形状和大小,乃至物体的形状和大小,必须采用多面 正投影的方法。通常选用三个互相垂直的投影面,建立一个三投影面体系。三个投影面分别
第二章 投影基础 2.1 投影法基本知识 光线照射物体时，可在预设的面上产生影子。利用这个原理在平面上绘制出物体的图像， 以表示物体的形状和大小，这种方法称为投影法。工程上应用投影法获得工程图样的方法， 是从日常生活中自然界的一种光照投影现象抽象出来的。 由投影中心、投影线和投影面三要素所决定的投影法可分为中心投影法和平行投影法。 2.1.1 中心投影法 如图 2-1 所示，投影线自投影中心 S 出发，将空间△ABC 投射到投影面 P 上，所得△ abc 即为△ABC 的投影。这种投影线自投影中心出发的投影法称为中心投影法，所得投影称 为中心投影。 中心投影法主要用于绘制产品或建筑物富有真实感的立体图，也称透视图。 图 2-1 中心投影法 2.1.2 平行投影法 若将投影中心 S 移到离投影面无穷远处，则所有的投影线都相互平行，这种投影线相互 平行的投影方法，称为平行投影法，所得投影称为平行投影。平行投影法中以投影线是否垂 直于投影面分为正投影法和斜投影法。若投影线垂直于投影面，称为正投影法，所得投影称 为正投影，如图 2-2a 所示；若投影线倾斜于投影面，称为斜投影法，所得投影称为斜投影， 如图 2-2b 所示。 正投影法主要用于绘制工程图样；斜投影法主要用于绘制有立体感的图形，如斜轴测图。 图 2-2 平行投影法 2.2 几何元素的投影 组成物体的基本元素是点、线、面。为了顺利表达各种产品的结构，必须首先掌握几何 元素的投影特性。 要唯一确定几何元素的空间位置及形状和大小，乃至物体的形状和大小，必须采用多面 正投影的方法。通常选用三个互相垂直的投影面，建立一个三投影面体系。三个投影面分别
称为正立投影面V、水平投景面H、侧立投影面W。它们将空间分为八个部分,每个部分为 一个分角,其顺序如图2-3(a)所示。我国国家标准中规定采用第一分角画法,本教材重点 讨论第一分角画法。三投影面体系的立体图在后文中出现时,都画成图2-3(b)的形式。 图2-3三投影面体系 个投影面两两垂直相交,得三个投影轴分别为OX、OY、OZ,其交点O为原点。画 投影图时需要将三个投影面展开到同一个平面上,展开的方法是V面不动,H面和W面分 别绕OX轴或OZ轴向下或向右旋转90°与V面重合。展开后,画图时去掉投影面边框。 221点的投影 (1)点在三投影面体系中的投影 为了统一起见,规定空间点用大写字母表示,如A、B、C等:水平投影用相应的小写 字母表示,如a、b、c等;正面投影用相应的小写字母加撇表示,如a′、b′、c′;侧面 投影用相应的小写字母加两撇表示,如a"、b"、c" 如图24,三投影面体系展开后,点的三个投影在同一平面内,得到了点的三面投影图 应注意的是:投影面展开后,同一条OY轴旋转后出现了两个位置。 图2-4点的三面投影 由于投影面相互垂直,所以三投影线也相互垂直,8个顶点A、a、a、a′、d"、ax、O、 a2构成正六面体,根据正六面体的性质可以得出三面投影图的投影特性如下: ①点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴,即a'⊥OX:点的正面投影和侧面 投影的连线垂直于OZ轴,即aa”⊥Oz:;同时aa,⊥OYH,a"ay⊥OYw ②点的投影到投影轴的距离,反映空间点到以投影轴为界的另一投影面的距离,即: aa=Aa"=a,x坐标;ax=Aa=a"a=y坐标;aax=Aa=a"a,=z坐标。 为了表示点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离,即:aax=a"a 点的水平投影和侧面投影的连线相交于自点O所作的45°角平分线,如图24c所示的方法 例2-1已知点A和B的两投影(图2-5a),分别求其第三投影,并求出点A的坐标。 图2-5已知点的两面投影求第三投影 解如图2-5b所示,根据点的投影特性,可分别作出a和b";如图2-5c所示,分别 量取aaz、aax、aax的长度为10、4、12,可得出点A的坐标(10,4,12)。 (2)两点之间的相对位置关系 观察分析两点的各个同面投影之间的坐标关系,可以判断空间两点的相对位置。根据 坐标值的大小可以判断两点的左右位置:根据坐标值的大小可以判断两点的上下位置:根 据y坐标值的大小可以判断两点的前后位置。如图2-5c所示,点B的x和z坐标均小于点A
称为正立投影面 V、水平投影面 H、侧立投影面 W。它们将空间分为八个部分，每个部分为 一个分角，其顺序如图 2-3（a）所示。我国国家标准中规定采用第一分角画法，本教材重点 讨论第一分角画法。三投影面体系的立体图在后文中出现时，都画成图 2-3（b）的形式。 图 2-3 三投影面体系 三个投影面两两垂直相交，得三个投影轴分别为 OX、OY、OZ，其交点 O 为原点。画 投影图时需要将三个投影面展开到同一个平面上，展开的方法是 V 面不动，H 面和 W 面分 别绕 OX 轴或 OZ 轴向下或向右旋转 90º与 V 面重合。展开后，画图时去掉投影面边框。 2.2.1 点的投影 （1）点在三投影面体系中的投影 为了统一起见，规定空间点用大写字母表示，如 A、B、C 等；水平投影用相应的小写 字母表示，如 a、b、c 等；正面投影用相应的小写字母加撇表示，如 a′、b′、c′；侧面 投影用相应的小写字母加两撇表示，如 a″、b″、c″。 如图 2-4，三投影面体系展开后，点的三个投影在同一平面内，得到了点的三面投影图。 应注意的是：投影面展开后，同一条 OY 轴旋转后出现了两个位置。 图 2-4 点的三面投影 由于投影面相互垂直，所以三投影线也相互垂直，8 个顶点 A、a、ay、a′、a″、ax、O、 az 构成正六面体，根据正六面体的性质可以得出三面投影图的投影特性如下： ① 点的正面投影和水平投影的连线垂直于 OX 轴，即 aa′⊥OX；点的正面投影和侧面 投影的连线垂直于 OZ 轴，即 a′a″⊥OZ；同时 aayh⊥OYH，a″ayw⊥OYW。 ② 点的投影到投影轴的距离，反映空间点到以投影轴为界的另一投影面的距离，即： a′aZ=Aa″=aayh=x 坐标；aaX=Aa′=a″aZ=y 坐标；a′aX=Aa=a″ ayw =z 坐标。 为了表示点的水平投影到 OX 轴的距离等于侧面投影到 OZ 轴的距离，即：aaX＝a″aZ， 点的水平投影和侧面投影的连线相交于自点 O 所作的 45°角平分线，如图 2-4c 所示的方法。 例 2-1 已知点 A 和 B 的两投影（图 2-5a），分别求其第三投影，并求出点 A 的坐标。 图 2-5 已知点的两面投影求第三投影 解 如图 2-5b 所示，根据点的投影特性，可分别作出 a 和 b″； 如图 2-5c 所示，分别 量取 a′aZ、aaX、a′aX 的长度为 10、4、12，可得出点 A 的坐标（10，4，12）。 （2）两点之间的相对位置关系 观察分析两点的各个同面投影之间的坐标关系，可以判断空间两点的相对位置。根据 x 坐标值的大小可以判断两点的左右位置；根据 z 坐标值的大小可以判断两点的上下位置；根 据 y 坐标值的大小可以判断两点的前后位置。如图 2-5c 所示，点 B 的 x 和 z 坐标均小于点 A
的相应坐标,而点B的y坐标大于点A的y坐标,因而,点B在点A的右方、下方、前方。 若A、B两点无左右、前后距离差,点A在点B正上方或正下方时,两点的H面投影 重合(如图26),点A和点B称为对H面投影的重影点。同理,若一点在另一点的正前方 或正后方时,则两点是对V面投影的重影点;若一点在另一点的正左方或正右方时,则两 点是对W面投影的重影点。 图2-6重影点 重影点需判别可见性。根据正投影特性,可见性的区分应是前遮后、上遮下、左遮右 图2-6中的重影点应是点A遮挡点B,点B的H面投影不可见。规定不可见点的投影加括 号表示。 222直线的投影 (1)直线的投影 一般情况下,直线的投影仍是直线,如图2-7a中的直线AB。在特殊情况下,若直线垂 直于投影面,直线的投影可积聚为一点,如图27a中的直线CD。 图2-7直线的投影 直线的投影可由直线上两点的同面投影连接得到。如图2-7b,分别作出直线上两点A B的三面投影,将其同面投影相连,即得到直线AB的三面投影图 (2)各种位置直线的投影特性 在三投影面体系中,直线对投影面的相对位置可以分为三种:投影面平行线、投影面垂 直线、投影面倾斜线。前两种为投影面特殊位置直线,后一种为投影面一般位置直线。 a)投影面平行线 与投影面平行的直线称为投影面平行线,它与一个投影面平行,与另外两个投影面倾斜 与H面平行的直线称为水平线,与V面平行的直线称为正平线,与W面平行的直线称为侧 平线。它们的投影图及投影特性见表2-1。规定直线(或平面)对H、V、W面的倾角分别 用a、B、y表 b)投影面垂直线 与投影面垂直的直线称为投影面垂直线,它与一个投影面垂直,必与另外两个投影面平 行。与H面垂直的直线称为铅垂线,与V面垂直的直线称为正垂线,与W面垂直的直线称 为侧垂线。它们的投影图及投影特性见表2-2。 c)一般位置直线 般位置直线与三个投影面都倾斜,因此在三个投影面上的投影都不反映实长,投影与 投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角,见图2-8
的相应坐标，而点 B 的 y 坐标大于点 A 的 y 坐标，因而，点 B 在点 A 的右方、下方、前方。 若 A、B 两点无左右、前后距离差，点 A 在点 B 正上方或正下方时，两点的 H 面投影 重合（如图 2-6），点 A 和点 B 称为对 H 面投影的重影点。同理，若一点在另一点的正前方 或正后方时，则两点是对 V 面投影的重影点；若一点在另一点的正左方或正右方时，则两 点是对 W 面投影的重影点。 图 2-6 重影点 重影点需判别可见性。根据正投影特性，可见性的区分应是前遮后、上遮下、左遮右。 图 2-6 中的重影点应是点 A 遮挡点 B，点 B 的 H 面投影不可见。规定不可见点的投影加括 号表示。 2.2.2 直线的投影 （1）直线的投影 一般情况下，直线的投影仍是直线，如图 2-7a 中的直线 AB。在特殊情况下，若直线垂 直于投影面，直线的投影可积聚为一点，如图 2-7a 中的直线 CD。 图 2-7 直线的投影 直线的投影可由直线上两点的同面投影连接得到。如图 2-7b，分别作出直线上两点 A、 B 的三面投影，将其同面投影相连，即得到直线 AB 的三面投影图。 （2）各种位置直线的投影特性 在三投影面体系中，直线对投影面的相对位置可以分为三种：投影面平行线、投影面垂 直线、投影面倾斜线。前两种为投影面特殊位置直线，后一种为投影面一般位置直线。 a) 投影面平行线 与投影面平行的直线称为投影面平行线，它与一个投影面平行，与另外两个投影面倾斜。 与 H 面平行的直线称为水平线，与 V 面平行的直线称为正平线，与 W 面平行的直线称为侧 平线。它们的投影图及投影特性见表 2-1。规定直线（或平面）对 H、V、W 面的倾角分别 用α、β、γ表示。 b) 投影面垂直线 与投影面垂直的直线称为投影面垂直线，它与一个投影面垂直，必与另外两个投影面平 行。与 H 面垂直的直线称为铅垂线，与 V 面垂直的直线称为正垂线，与 W 面垂直的直线称 为侧垂线。它们的投影图及投影特性见表 2-2。 c) 一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投影与 投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角，见图 2-8
表2-1投影面平行线的投影特性 正平线 侧平线 立体图 投影图 1.水平投影反映实长,与|1.正面投影反映实长,与1.侧面投影反映实长,与 X轴夹角为B,与Y轴夹角为x轴夹角为a,与Z轴夹角为Y轴夹角为a,与Z轴夹角 投影 为B 特性 2.正面投影平行X轴 2.水平投影平行X轴 2.正面投影平行Z轴 3.侧面投影平行Y轴 3.侧面投影平行Z轴 3.水平投影平行Y轴 表22投影面垂直线的投影特性 铅垂线 正垂线 侧垂线 立体图 投影图 1.水平投影积聚为一点 1.正面投影积聚为一点 1.侧面投影积聚为一点 投影 2.正面投影和侧面投影都2.水平投影和侧面投影都2.正面投影和水平投影都 特性 平行于Z轴,并反映实长平行于Y轴,并反映实长平行于X轴,并反映实长
表 2-1 投影面平行线的投影特性 名 称 水平线 正平线 侧平线 立体图 投影图 投影 特性 1．水平投影反映实长，与 X 轴夹角为β，与 Y 轴夹角为 α 2．正面投影平行 X 轴 3．侧面投影平行 Y 轴 1．正面投影反映实长，与 X 轴夹角为α，与 Z 轴夹角为 γ 2．水平投影平行 X 轴 3．侧面投影平行 Z 轴 1．侧面投影反映实长，与 Y 轴夹角为α，与 Z 轴夹角 为β 2．正面投影平行 Z 轴 3．水平投影平行 Y 轴 表 2-2 投影面垂直线的投影特性 名 称 铅垂线 正垂线 侧垂线 立体图 投影图 投影 特性 1．水平投影积聚为一点 2．正面投影和侧面投影都 平行于 Z 轴，并反映实长 1．正面投影积聚为一点 2．水平投影和侧面投影都 平行于 Y 轴，并反映实长 1．侧面投影积聚为一点 2．正面投影和水平投影都 平行于 X 轴，并反映实长
图2-8一般位置直线的投影 (3)一般位置直线的实长及对投影面的倾角 求一般位置直线的实长和对投影面的倾角常采用直角三角形法 将图2-8a中△ABC、△ABD、△ABE分别取出,可得到三个直角三角形。只考虑直角 三角形的组成关系,如图29所示,经分析可以得出:直角三角形的斜边为直线的实长, 直角边为Z(或Y、X)方向的坐标差,另一直角边为直线水平(或正面、侧面)投影;实 长与某一投影面上的投影的夹角即直线与对该投影面的倾角,一个直角三角形只能求出直线 对一个投影面的倾角 图2-9直角三角形法的三种三角形 利用直角三角形法,只要知道四个要素中的两个要素,即可求出其它两个未知要素。 例22如图2-10a,已知直线AB对H面的倾角a=30°,试求AB的正面投影 图2-10求直线的正面投影 解如图2-10b所示,依据AB的水平投影ab和a角,求出A、B两点的Z坐标差;依 据点的投影规律求出b,即可得到AB的正面投影。有两解。 223曲线的投影 (1)曲线的分类 一般情况下,曲线是指一动点在空间作连续运动时形成的轨迹。 按动点的运动有无规则,曲线可分为规则曲线和不规则曲线两类。规则曲线可以用代数 方程式或投影图表示:不规则曲线可以用计算几何方法来描述,也可以用投影图来表示 按曲线上所有点是否在同一个平面上,曲线又可分为平面曲线和空间曲线。平面曲线指 曲线上所有点都在同一个平面上的曲线;空间曲线指曲线上任意四个点不在同一平面上的曲 2)曲线的投影 般情况下,曲线至少需要两个投影才能确定其在空间的形状和位置。按照曲线形成的 过程,依次画出曲线上一系列点的投影,然后把这些点的同面投影依次光滑连接起来,即可 得到曲线的投影,如图2-1l。 为了保证曲线投影的准确和清晰,在绘制曲线投影图时,通常是先作出曲线上一些特殊 点的投影,如曲线的端点、最高点、最低点、最左点、最右点和转向点(如图2-12a中的点 M)、回折点(如图2-12b中的点N)、自交点(如图2-12c中的点L)等,然后求出适当数 量的一般点的投影,以便用曲线板光滑连接成曲线
图 2-8 一般位置直线的投影 （3）一般位置直线的实长及对投影面的倾角 求一般位置直线的实长和对投影面的倾角常采用直角三角形法。 将图 2-8a 中△ABC、△ABD、△ABE 分别取出，可得到三个直角三角形。只考虑直角 三角形的组成关系，如图 2-9 所示，经分析可以得出：直角三角形的斜边为直线的实长，一 直角边为 Z（或 Y、X）方向的坐标差，另一直角边为直线水平（或正面、侧面）投影；实 长与某一投影面上的投影的夹角即直线与对该投影面的倾角，一个直角三角形只能求出直线 对一个投影面的倾角。 图 2-9 直角三角形法的三种三角形 利用直角三角形法，只要知道四个要素中的两个要素，即可求出其它两个未知要素。 例 2-2 如图 2-10a，已知直线 AB 对 H 面的倾角α=30º，试求 AB 的正面投影。 图 2-10 求直线的正面投影 解 如图 2-10b 所示，依据 AB 的水平投影 ab 和α角，求出 A、B 两点的 Z 坐标差；依 据点的投影规律求出 b′，即可得到 AB 的正面投影。有两解。 2.2.3 曲线的投影 （1）曲线的分类 一般情况下，曲线是指一动点在空间作连续运动时形成的轨迹。 按动点的运动有无规则，曲线可分为规则曲线和不规则曲线两类。规则曲线可以用代数 方程式或投影图表示；不规则曲线可以用计算几何方法来描述，也可以用投影图来表示。 按曲线上所有点是否在同一个平面上，曲线又可分为平面曲线和空间曲线。平面曲线指 曲线上所有点都在同一个平面上的曲线；空间曲线指曲线上任意四个点不在同一平面上的曲 线。 （2）曲线的投影 一般情况下，曲线至少需要两个投影才能确定其在空间的形状和位置。按照曲线形成的 过程，依次画出曲线上一系列点的投影，然后把这些点的同面投影依次光滑连接起来，即可 得到曲线的投影，如图 2-11。 为了保证曲线投影的准确和清晰，在绘制曲线投影图时，通常是先作出曲线上一些特殊 点的投影，如曲线的端点、最高点、最低点、最左点、最右点和转向点（如图 2-12a 中的点 M）、回折点（如图 2-12b 中的点 N）、自交点（如图 2-12c 中的点 L）等，然后求出适当数 量的一般点的投影，以便用曲线板光滑连接成曲线