Lec13:非参数统计方法（二） 张伟平 May4,2011 §1拟合优度检验 参数假设检验都是在假定总体是某种具体分布的条件下进行的，但是这个假设本身不一 定成立，我们可以通过样本(X1,·,Xn)来检验它.一般地，检验 Ho:X服从某种分布 可以采用Karl Pearson提出的x2拟合优度检验 S1.1离散总体情形 (1)理论分布不含未知参数的情形 设某总体X服从一个离散分布，且根据经验得知总体落在类别a1,·,ak的理论频率分 别为p1,·,pk,现从该总体抽得一个样本量为n的样本，其落在类别a1,·,ak的观测数分 别为1，·，k.感兴趣的问题是检验理论频率是否正确，即下面假设是否正确： Ho:P(X∈a1)=p1,…,P(X∈ak)=pk. 这类问题只提零假设而不提对立假设，相应的检验方法称为拟合优度检验.显然，在零假设 下，各类别的理论频数分别为np1,·,npk,将理论频数和观测频数列于下表： 类别 ak 理论频数 nP1nP2···nPk 观测频数 n1 n2 由大数定律知，在零假设成立时，n:/n依概率收敛于p,故理论频数np:与观测频数n:接 近.而检验统计量取为 x2=(m-npi)2 isl npi 简单地，就是 X-∑O-Y 其中O为观测频数，E为期望频数 这个统计量中每项的分母的选取有点讲究，我们可以这样粗略地解释：假设n:服从Poisson 分布，则n:的均值和方差均为np,从而(n:-np)/√mp的极限分布为标准正态分布，因此X2 1
Lec13: öÎÍ⁄Oê{() ‹ï² May 4, 2011 §1 [‹`›u ÎÍbu—¥3b½oN¥,´‰N©Ÿ^áe?1, ¥˘áb ÿò ½§·, ·Ç屜L (X1, · · · , Xn) 5uß. òÑ/, u H0 : X—l,´©Ÿ å±Ê^Karl Pearson J—χ 2 [‹`›u. §1.1 l—oNú/ (1) nÿ©Ÿÿ¹ôÎÍú/ ,oNX —lòál—©Ÿ, Ö䂲oN·3aOa1, · · · , ak nÿ™«© Oèp1, · · · , pk, ylToNƒòá ˛èn , Ÿ·3aOa1, · · · , ak *ˇÍ© Oèn1, · · · , nk. a,ØK¥unÿ™«¥ƒ(, =e°b¥ƒ(: H0 : P(X ∈ a1) = p1, · · · , P(X ∈ ak) = pk. ˘aØKêJ"b ÿJÈ·b, ÉAuê{°è[‹`›u. w,, 3"b e, àaOnÿ™Í©Oènp1, · · · , npk, Únÿ™Í⁄*ˇ™ÍueL: aO a1 a2 · · · ak nÿ™Í np1 np2 · · · npk *ˇ™Í n1 n2 · · · nk dåͽÆ, 3"b§·û, ni/n ùV«¬Òupi , nÿ™Ínpi Ü*ˇ™Íni C. u⁄O˛è χ 2 = X k i=1 (ni − npi) 2 npi . {¸/, “¥ χ 2 = X (O − E) 2 E , Ÿ•O è*ˇ™Í, E èœ"™Í. ˘á⁄O˛•zë©1¿k:˘ƒ, ·Çå±˘o—/)º: bni —lPoisson ©Ÿ, Kni ˛ä⁄ê ˛ènpi , l (ni − npi)/ √npi 4Å©ŸèIO©Ÿ, œdχ 2 1
近似为k个服从自由度为1的X2分布的随机变量之和，由于∑=1(n:-np)=0,故这k个随 机变量满足一个约束，从而X2的自由度为k-1.事实上，可以严格地证明，在一定的条件下， X2的极限分布就是自由度为k-1的X2分布，但其证明超出本课程的要求范围. 下面给出一个例子来说明拟合优度检验的应用， 例1.有人制造一个含6个面的骰子，并声称是均匀的.现设计一个实验来检验此命题：连续 投掷600次，发现出现六面的频数分别为97,104,82,110,93,114.问能否在显著性水平0.2 下认为觳子是均匀的？ 解：该问题设计的总体是一个有6个类别的离散总体，记出现六个面的概率分别为即1，·，6， 则零假设可以表示为 H0:p=1/6,i=1,…,6. 在零假设下，理论频数都是100，故检验统计量X2的取值为 97-100)2+104-1002+82-1002+110-1002+93-100)2+L14-1002 =6.94 100 100 100 100 100 100 跟自由度为6-1=5的x2分布的上0.05分位数(0.2)≈7.29比较，不能拒绝零假设，即可 在显著性水平0.2下认为骰子是均匀的. 例2.孟德尔(Mendel)豌豆杂交试验。纯黄和纯绿品种杂交，因为黄色对绿色是显性的， 在Mendel第一定律（自由分离定律）的假设下，二代豌豆中应该有T5%是黄色的，25%是绿 色的。在产生的n=8023个二代豌豆中，有n1=6022个黄色，2=2001个绿色。我们的问题 是检验这些这批数据是否支持Mendel第一定律，要检验的假设是 H0:T1=0.75,T2=0.25 解：在Mendel2第一定律(Ho)下，黄色和绿色的个数期望值为 41=nm1=8023*0.75=6017.25,2=nπ2=8023*0.25=2005.75 则Pearson X2统计量为 z=∑0- .=(6022-6017.25)2/6017.25+(2001-2005.75)2/2005.75=0.015 E 自由度df=l,p-value为0.99996.因此可以认为这些数据服从Mendel第一定律。Fisher基 于Mendel的这些数据，发现其数据与理论值符合的太好，p-value=0.99996,但这么好的 拟合在几千次试验中才发生一次，因而Fisher断定数据可能有伪造的嫌疑。 (2)理论分布含若干未知参数的情形 当理论总体总含有未知的参数时，理论频数p:一般也与这些参数有关，此时应该用适 当的估计如极大似然估计代替这些参数以得到：的估计，得到的统计量记为 x2=m-n啦)2 npi 拟合优度检验的提出者Karl Pearson最初认为在零假设下，检验统计量的x2的极限分布仍等 于自由度为k-1的x2分布，R.A.Fisher发现自由度应该等于k-1减去估计的独立参数的 个数r,即k-1-r 2
Cqèk á—lgd›è1 χ 2 ©ŸëÅC˛É⁄, duPk i=1(ni − npi) = 0, ˘k áë ÅC˛˜vòáÂ, l χ 2 gd›èk − 1. Ø¢˛, å±ÓÇ/y², 3ò½^áe, χ 2 4Å©Ÿ“¥gd›èk − 1 χ 2 ©Ÿ, Ÿy²á— ëßá¶âå. e°â—òá~f5`²[‹`›uA^. ~ 1. k<õEòá¹6 á°f, ø(°¥˛!. yOòá¢5ud·K: ÎY ›ï600 g, uy—y8°™Í©Oè97, 104, 82, 110, 93, 114. ØUƒ3wÕ5Y²0.2 e@èf¥˛!? ): TØKOoN¥òák6 áaOl—oN, P—y8á°V«©Oèp1, · · · , p6, K"bå±L´è H0 : pi = 1/6, i = 1, · · · , 6. 3"be, nÿ™Í—¥100, u⁄O˛χ 2 äè (97 − 100)2 100 + (104 − 100)2 100 + (82 − 100)2 100 + (110 − 100)2 100 + (93 − 100)2 100 + (114 − 100)2 100 = 6.94, ãgd›è6 − 1 = 5 χ 2 ©Ÿ˛0.05 ©†Íχ 2 5 (0.2) ≈ 7.29 ', ÿU·˝"b, =å 3wÕ5Y²0.2 e@èf¥˛!. ~ 2. ä(Mendel) Œ,£"Xë⁄X…¨´,ßœèë⁄È…⁄¥w5ß 3Mendel1ò½Æ(gd©l½Æ)beßì Œ•ATk75†¥ë⁄ß25†¥… ⁄"3)n = 8023áì Œ•ßkn1 = 6022áë⁄ßn2 = 2001á…⁄"·ÇØK ¥u˘ ˘1Í‚¥ƒ|±Mendel1ò½Æßáub¥ H0 : π1 = 0.75, π2 = 0.25 ): 3Mendel1ò½Æ(H0)eßë⁄⁄…⁄áÍœ"äè µ1 = nπ1 = 8023 ∗ 0.75 = 6017.25, µ2 = nπ2 = 8023 ∗ 0.25 = 2005.75 KPearson χ 2⁄O˛è Z = X (O − E) 2 E = (6022 − 6017.25)2 /6017.25 + (2001 − 2005.75)2 /2005.75 = 0.015 gd›df = 1ßp − valueè0.99996. œdå±@è˘ Í‚—lMendel1ò½Æ"Fisherƒ uMendel˘ Í‚ßuyŸÍ‚Ünÿ䌋–ßp − value = 0.99996ߢo– [‹3AZg£•‚u)ògßœ Fisher‰½Í‚åUkñEv¶" (2) nÿ©Ÿ¹eZôÎÍú/ nÿoNo¹kôÎÍû, nÿ™Ínpi òÑèܢ ÎÍk', dûAT^· OX4åq,OìO˘ Îͱpi Opˆi , ⁄O˛Pè χ 2 = X k i=1 (ni − npˆi) 2 npˆi . [‹`›uJ—ˆKarl Pearson Å–@è3"be, u⁄O˛χ 2 4Å©ŸE ugd›èk − 1 χ 2 ©Ÿ, R. A. Fisher uygd›AT uk − 1 ~O’·ÎÍ áÍr, =k − 1 − r. 2
例3.从某人群中随机抽取100个人的血液，并测定他们在某基因位点处的基因型.假设该 位点只有两个等位基因A和a,这100个基因型中AA,Aa和aa的个数分别为30,40,30，则能 否在O.05的水平下认为该群体在此位点处达到Hardy-Weinberg平衡态？ 解：取零假设为 Ho:Hardy-Weinberg平衡态成立. 设人群中等位基因A的频率为p,则该人群在此位点处达到Hardy-Weinberg平衡态指的是在 人群中3个基因型的频率分别为P(AA)=p2,P(Aa)=2p(1-p)和P(aa)=(1-p)2,即零假 设可等价地写成 Ho:P(AA)=p2,P(Aa)=2p(1-p),P(aa)=(1-p)2. 在H0下，3个基因型的理论频数为100×2,100×2×2(1-)和100×(1-)2，其中分等于 估计的等位基因频率0.5，代入X2统计量表达式，得统计量的值等于4.该统计量的值大于自 由度为3-1-1=1（恰好一个自由参数被估计）的x2分布上0.05分位数3.84，故可在0.05的 水平下认为未达到Hardy-Weinberg平衡态. S1.2列联表的独立性和齐一性检验 (1)独立性检验 下面考虑很常用的列联表.列联表是一种按两个属性作双向分类的表.例如肝癌病人可 以按所在医院（属性A)和是否最终死亡（属性B)分类.目的是看不同医院的疗效是否不同. 又如婴儿可按喂养方式（属性A,分两个水平：母乳喂养与人工喂养）和小儿牙齿发育状况（属 性B,分两个水平：正常与异常)来分类.这两个例子中两个属性都只有两个水平，相应的列 联表称为“四格表”，一般地，如果第一个属性有a个水平，第二个属性有b个水平，称为a×b 表（见教材268）.实际应用中，常见的一个问题是考察两个属性是否独立.即零假设是 H。:属性A与属性B独立 这是列联表的独立性检验问题， 假设样本量为n,第（亿，）格的频数为n·记p=P(属性A,B分别处于水平i,),4= P(属性A有水平)，：=P(属性B有水平).则零假设就是P)=:巴防：将山和v,看成参数， 则总的独立参数有a-1+b-1=a+b-2个.它们的极大似然估计为 =0,= n 正好是它们的频率（证明参看教材）.其中n.=∑=1n,n=∑1·在下，第（位，） 格的理论频数为ni=n,nj/m,因此在H下，∑-1∑=1n)-np)应该较小.故取检验 统计量为 （niy-n.nj/m)2 (ni.n.j/n) 在零假设下x2的极限分布是有自由度为k-1-r=ab-1-(a+b-2)=(a-1)(b-1)的X2 分布.对于四格表，自由度为1. 3
~ 3. l,<+•ëŃ100 á<…ó, øˇ½¶Ç3,ƒœ†:?ƒœ.. bT †:êk¸á †ƒœA ⁄a, ˘100 ნ.•AA, Aa ⁄aa áÍ©Oè30, 40, 30, KU ƒ30.05 Y²e@èT+N3d†:?àHardy-Weinberg ²Ô? ): "bè H0 : Hardy-Weinberg ²Ô§·. <+• †ƒœA ™«èp, KT<+3d†:?àHardy-Weinberg ²Ôç¥3 <+•3 ნ.™«©OèP(AA) = p 2 , P(Aa) = 2p(1 − p) ⁄P(aa) = (1 − p) 2 , ="b å d/§ H0 : P(AA) = p 2 , P(Aa) = 2p(1 − p), P(aa) = (1 − p) 2 . 3H0 e, 3 ნ.nÿ™Íè100 × pˆ 2 , 100 × 2 × pˆ 2 (1 − pˆ) ⁄100 × (1 − pˆ) 2 , Ÿ•pˆ u O †ƒœ™«0.5, ì\χ 2 ⁄O˛Là™, ⁄O˛ä u4. T⁄O˛äåug d›è3 − 1 − 1 = 1 (T–òágdÎÍO) χ 2 ©Ÿ˛0.05 ©†Í3.84, å30.05 Y²e@èôàHardy-Weinberg ²Ô. §1.2 ÈL’·5⁄‡ò5u (1) ’·5u e°ƒÈ~^ÈL. ÈL¥ò´U¸á·5äVï©aL. ~X_Jæ<å ±U§3ö(·5A) ⁄¥ƒÅ™k (·5B) ©a. 8¥wÿ”ö¥ƒÿ”. qX?åUûê™(·5A, ©¸áY²: 1ZûÜ<Ûû) ⁄fl¸uòG¹(· 5B, ©¸áY²: ~Ü…~) 5©a. ˘¸á~f•¸á·5—êk¸áY², ÉA ÈL°è“oÇL”, òÑ/, XJ1òá·5ka áY², 1á·5kb áY², °èa × b L(Ñ·p268) . ¢SA^•, ~ÑòáØK¥ ¸á·5¥ƒ’·. ="b¥ H0 : ·5A Ü·5B ’·. ˘¥ÈL’·5uØK. b ˛èn, 1(i, j) Ç™Íènij . Ppij = P(·5A, B ©O?uY²i, j), ui = P(·5A kY²i), vi = P(·5B kY²j). K"b“¥pij = uivj . Úui ⁄vj w§ÎÍ, Ko’·ÎÍka − 1 + b − 1 = a + b − 2 á. ßÇ4åq,Oè uˆi = ni· n , vˆj = n·j n . –¥ßÇ™«(y²Îw·) . Ÿ•ni· = Pb j=1 nij , n·j = Pa i=1 nij . 3H0 e, 1(i, j) Çnÿ™Íènpˆij = ni·n·j/n, œd3H0 e, Pa i=1 Pb j=1(nij − npˆij ) AT. u ⁄O˛è χ 2 = Xa i=1 X b j=1 (nij − ni·n·j/n) 2 (ni·n·j/n) . 3"beχ 2 4Å©Ÿ¥kgd›èk − 1 − r = ab − 1 − (a + b − 2) = (a − 1)(b − 1) χ 2 ©Ÿ. ÈuoÇL, gd›è1. 3
(2)齐一性检验 跟列联表有关的另一类重要的检验是齐一性检验，即检验某一个属性A的各个水平对应 的另一个属性B的分布全部相同，这种检验跟独立性检验有着本质的区别.独立性问题中两 属性都是随机的：而齐一性问题中属性A是非随机的，这样涉及到的分布实际上是条件分布 虽然如此.所采用的检验方法跟独立性检验完全一样 例4.下面表是甲乙两医院肝癌病人生存情况.需要根据这些数据判断两医院的治疗效果是 否一样 甲、乙两院肝癌的近期疗效 生存 死亡 合计 甲院 150(n11) 88n12)】 238(m1.) 乙院 36(n21) 18(m22） 54(n2.) 合计 186m.1) 106(m.2 292(n) 解：这是一个齐一性检验问题.检验统计量X2的观测值为02524，远远小于自由度为1的X2 分布的上0.05分位数，故可以接受零假设，即在水平0.05下可以认为两个医院的疗效无差别 的 当有某个格子的频数较小时，如果允许的话可以合并格子是每个格子的频数足够大，实 际问题中不允许合并格子（合并后失去了实际意义），此时可以用Fisher的精确检验法. S1.3连续总体情形 设(X1,·,X)是取自总体X的一个样本，记X的分布函数为F(x),需要检验的那种分 布中含有r个总体参数01，…，0，.我们要在显著性水平α下检验 H0:F(x)=Fo(x;01,…,0r) 其中F6(x;01,·,0,)表示需要检验的那种分布的分布函数.例如，当我们要检验 Ho:XN(4,σ2) 时，r=2,01=4,02=02 上述假设可以通过适当的离散化总体分布，采用拟合优度法来做检验.首先把实数轴分 成k个子区间(aj-1,al,=1,·,k,其中ao可以取-o,ak可以取oo.这样构造了一个离散 总体，其取值就是这k个区间.记 p5=PHn(aj-1<X≤aj)=F(a:01,·,0r)-F(aj-1;01,…,0r),j=1,…,k 如果Ho成立，则概率p5应该与数据落在区间(aj-1,al的频率fj=n/n接近，其中n表示 相应的频数.当：的取值不含未知参数时，取检验统计量 X2=(-p)2 npi
(2) ‡ò5u ãÈLk',òaáu¥‡ò5u, =u,òá·5A àáY²ÈA ,òá·5B ©Ÿ ‹É”, ˘´uã’·5ukX ü´O. ’·5ØK•¸ ·5—¥ëÅ; ‡ò5ØK•·5A ¥öëÅ, ˘9©Ÿ¢S˛¥^á©Ÿ. è,Xd, §Ê^uê{ã’·5u ò. ~ 4. e°L¥`ظö_Jæ<)ú¹. Iá䂢 Í‚‰¸ö£J¥ ƒò. `!ظ_JCœ ) k ‹O ` 150(n11) 88(n12) 238(n1·) Ø 36(n21) 18(n22) 54(n2·) ‹O 186(n·1) 106(n·2) 292(n) ): ˘¥òá‡ò5uØK. u⁄O˛χ 2 *ˇäè0.2524, ugd›è1 χ 2 ©Ÿ˛0.05 ©†Í, å±…"b, =3Y²0.05 eå±@è¸áöà O . k,áÇf™Íû, XJ#N{屋øÇf¥záÇf™Ív å, ¢ SØK•ÿ#N‹øÇf(‹øî ¢Sø¬), dûå±^Fisher °(u{. §1.3 ÎYoNú/ (X1, · · · , Xn) ¥goNX òá , PX ©ŸºÍèF(x), Iáu@´© Ÿ•¹kr áoNÎÍθ1, · · · , θr. ·Çá3wÕ5Y²α eu H0 : F(x) = F0(x; θ1, · · · , θr), Ÿ•F0(x; θ1, · · · , θr) L´Iáu@´©Ÿ©ŸºÍ. ~X, ·Çáu H0 : X ∼ N(µ, σ2 ) û, r = 2, θ1 = µ, θ2 = σ 2 . F0(x; µ, σ2 ) = Z x −∞ 1 √ 2πσ2 exp − 1 2σ 2 (t − µ) 2 dt. ˛„b屜L·l—zoN©Ÿ, Ê^[‹`›{5âu. ƒkr¢Í¶© §k áf´m(aj−1, aj ], j = 1, · · · , k, Ÿ•a0 å±−∞, ak å±∞. ˘E òál— oN, Ÿä“¥˘k á´m. P pj = PH0 (aj−1 < X ≤ aj ) = F0(aj ; θ1, · · · , θr) − F0(aj−1; θ1, · · · , θr), j = 1, · · · , k. XJH0 §·, KV«pj ATÜÍ‚·3´m(aj−1, aj ] ™«fj = nj/n C, Ÿ•nj L´ ÉA™Í. pi äÿ¹ôÎÍû, u⁄O˛ χ 2 = X k j=1 (nj − npj ) 2 npj , 4
否则取 X2=卢血- 1=1 其中；是将p:中的未知参数换成适当的估计后得到的p:的估计.拒绝域取为 {x2>X2-r-1(a)} 如果p:中不含未知参数，则r=0. 使用x2进行拟合优度检验时一般要求n≥50，n≥5，j=1,·,k,如果不满足这个条 件，最好把某些组作适当合并 例5.从某连续总体中抽取一个样本量为100的样本，发现样本均值和样本标准差分别为-0.225 和1.282，落在不同区间的频数如下表所示： 区间 (-00,-1) [-1,-0.5) [-0.5,0) [0,0.5) [0.5,1) [1,oo) 观测频数 25 10 18 24 10 13 理论频数 27 14 15 14 13 17 可否在显著性水平0.05下认为该总体服从正态分布？ 解：设理论正态分布的均值和方差分别为μ和σ2，记第i个区间为(a-1,a,i=1,·,6,则 样本落在第i个格子的理论概数为100P(a-1<X≤a),其中X~N(μ，o2).将μ=-0.225 和σ=1.282代入得到估计的理论频数，列于上表中. H0:总体服从正态分布 由此算得检验统计量x2的值约为9.34与自由度为5的x2分布的上0.1分位数(0.1)≈9.24 比较可以拒绝零假设，即可以在显著性水平0.1下认为该总体不服从正态分布. S2 其他常用检验方法 一、柯尔莫哥洛夫检验 尽管Pearson x检验对任何类型的分布检验都可以用.不过对于连续型的随机变量，柯 尔莫哥洛夫检验效果更好些.这是因为Pearsonx2检验依赖于把(-oo,+oo)分成r个区间的具 体划分方法，包括r的选择和区间的位置.前苏联著名数学家柯尔莫哥洛夫1933年提出了一种 新的关于总体分布的拟合优度检验方法一柯尔莫哥洛夫检验（简称柯氏检验法）· 设r.u.X的分布函数F(x)未知，X1,·,Xn为从F中抽取的简单随机样本，Fo(x)为给定 的某个分布函数.我们来研究下列检验问题： Ho:F(x)=Fo(). (2.1) 首先从样本出发求出F(x)的经验分布函数如下： 0,x≤X(u) F(X) k/m,X(<x≤X(k+1)k=1,2,…,n-1 (2.2) 1, I>X(n)
ƒK χ 2 = X k j=1 (nj − npˆj ) 2 npˆj , Ÿ•pˆi ¥Úpi •ôÎÍܧ·Opi O. ·˝çè χ 2 > χ2 k−r−1 (α) . XJpi •ÿ¹ôÎÍ, Kr = 0. ¶^χ 2 ?1[‹`›uûòÑá¶n ≥ 50, npˆj ≥ 5, j = 1, · · · , k, XJÿ˜v˘á^ á, Å–r, |ä·‹ø. ~ 5. l,ÎYoN•ƒòá ˛è100 , uy ˛ä⁄ IO ©Oè−0.225 ⁄1.282, ·3ÿ”´m™ÍXeL§´: ´m (−∞, −1) [−1, −0.5) [−0.5, 0) [0, 0.5) [0.5, 1) [1, ∞) *ˇ™Í 25 10 18 24 10 13 nÿ™Í 27 14 15 14 13 17 åƒ3wÕ5Y²0.05 e@èToN—l©Ÿ? ): nÿ©Ÿ˛ä⁄ê ©Oèµ ⁄σ 2 , P1i á´mè(ai−1, ai , i = 1, · · · , 6, K ·31i áÇfnÿVÍè100P(ai−1 < X ≤ ai), Ÿ•X ∼ N(µ, σ2 ). Úµ = −0.225 ⁄σ = 1.282 ì\Onÿ™Í, u˛L•. H0 : oN—l©Ÿ ddéu⁄O˛χ 2 äè9.34, Ügd›è5 χ 2 ©Ÿ˛0.1 ©†Íχ 2 5 (0.1) ≈ 9.24 'å±·˝"b, =å±3wÕ5Y²0.1 e@èToNÿ—l©Ÿ. §2 Ÿ¶~^uê{ ò!Ö#x‚Åu ¶+Pearson χ 2uÈ?¤a.©Ÿu—å±^. ÿLÈuÎY.ëÅC˛, Ö #x‚ÅuJç– . ˘¥œèPearsonχ 2uù6ur(−∞, +∞)©§rá´m‰ Ny©ê{, ù)r¿J⁄´m†ò. cÄÈÕ¶ÍÆ[Ö#x‚Å1933cJ— ò´ #'uoN©Ÿ[‹`›uê{®Ö#x‚Åu({°Öºu{) . r.v. X©ŸºÍF(x)ô, X1, · · · , XnèlF•ƒ{¸ëÅ , F0(x)èâ½ ,á©ŸºÍ. ·Ç5ÔƒeuØK: H0 : F(x) = F0(x). (2.1) ƒkl —u¶—F(x)²©ŸºÍXe: Fn(X) = 0, x ≤ X(1); k/n, X(k) < x ≤ X(k+1); k = 1, 2, · · · , n − 1 1, x > X(n) . (2.2) 5