八数字信号处理—时域离散随机信号处理 对于两个各自平稳且联合平稳的随机序列,其互相关函数为 (m)=r,(n, n+m)=ElXYnm (1.2.22) 显然,对于自相关函数和互相关函数,下面公式成立 (1.2.23) (1.2.24) 如果对于所有的m,满足公式:r3(m)=0,则称两个随机序列 互为正交。如果对于所有的m,满足公式:rx3(m)=mm,covy (m)=0,则称两个随机序列互不相关
数字信号处理——时域离散随机信号处理 对于两个各自平稳且联合平稳的随机序列, 其互相关函数为 ( ) ( , ) [ ] * xy xy n n m E Xn Yn m r m r = + = + (1.2.22) 显然, 对于自相关函数和互相关函数, 下面公式成立: ( ) ( ) ( ) ( ) * * r m r m r m r m xy yx xx xx = − = − (1.2.23) (1.2.24) 如果对于所有的m ，满足公式：rxy(m)=0，则称两个随机序列 互为正交。如果对于所有的m ，满足公式: rxy(m)=mxmy , covxy (m)=0，则称两个随机序列互不相关
八数字信号处理—时域离散随机信号处理 实平稳随机序列的相关函数、协方差函数具有以下重要性质 (1)自相关函数和自协方差函数是m的偶函数,用下式表示 m). cov x(m)=covx(m)(1.225) (m)=F2(=m)c0v2(m)=covm2(-m)(1226) (2) r(0)=ElAn (12.27) rx(O)数值上等于随机序列的平均功率
数字信号处理——时域离散随机信号处理 实平稳随机序列的相关函数、 协方差函数具有以下重要性质： （1） 自相关函数和自协方差函数是m 的偶函数, 用下式表示: ( ) ( ), cov ( ) cov ( ) ( ) ( ), cov ( ) cov ( ) r m r m m m r m r m m m xy yx xy yx xx xx xx xx = − = − = − = − (1.2.25) (1.2.26) （2） (0) [ ] 2 xx E Xn r = (1.2.27) rxx(0)数值上等于随机序列的平均功率
八数字信号处理一时域离散随机信号处理 (3) (0)2rx2(m) (4) lm r,(m)=m (1.2.29) n→)00 m m)=m.m (1.2.30) 上式说明大多数平稳随机序列内部的相关性随着时间差的变大, 愈来愈弱 (5)cOv(m)=r(m) COV(o) 1.2.31)
数字信号处理——时域离散随机信号处理 （3） r (0) |r (m) | xx xx （4） 2 lim ( ) xx x m r m = m → xy x y m r m = m m → lim ( ) (1.2.29) (1.2.30) 上式说明大多数平稳随机序列内部的相关性随着时间差的变大， 愈来愈弱。 （5） 2 2 cov ( ) ( ) , cov (0) xx xx m mx xx x m = r − = (1.2.31)
八数字信号处理一时域离散随机信号处理 124平稳随机序列的功率密度谱 我们知道,平稳随机序列是非周期函数,且是能量无限信号, 无法直接利用傅里叶变换进行分析。但自相关函数也是非周期 序列,却随着时间差m的增大,而趋近于随机序列的均值。如 果随机序列的均值为0,即m2=0,rx3(m)是收敛序列,其Z变换用 Px(=)表示如下 P()=∑r(m)=-m (12.32) 且 r(m)=27 (12.33)
数字信号处理——时域离散随机信号处理 1.2.4 平稳随机序列的功率密度谱 我们知道, 平稳随机序列是非周期函数，且是能量无限信号， 无法直接利用傅里叶变换进行分析。但自相关函数也是非周期 序列，却随着时间差m的增大，而趋近于随机序列的均值。如 果随机序列的均值为0，即mx =0, rxx(m)是收敛序列，其Z变换用 Pxx(z)表示如下: m xx xx P z r m z − − ( ) = ( ) (1.2.32) 且 − = c m xx xx P z z z j r m ( ) d 2 1 ( ) 1 (1.2.3３)
八数字信号处理一时域离散随机信号处理 将(1223)式进行Z变换,得到: P(z=Px\z (1.2.34) 如果z1是其极点,1/-1也是极点。如果z1在单位圆内, 必须 在单位圆外,收敛域一定包含单位圆,P3(=)的收敛域有以下形 式: R<zkR0R2≤1 类似地,互相关函数的Z变换用P(z)表示,有 P()=∑ h1)2 (12.35)
数字信号处理——时域离散随机信号处理 将(1.2.23)式进行Z变换，得到： = * * 1 ( ) z Pxx z Pxx (1.2.34) 如果z1是其极点，1/z * 1也是极点。如果z1在单位圆内， 必须 在单位圆外，收敛域一定包含单位圆，Pxx(z)的收敛域有以下形 式： ( ) * 1 1 − z 1 | | − a Ra R z 0≤Ra≤1 类似地, 互相关函数的Z变换用Pxy(z)表示, 有 − − = m xy xy P (z) r (m)z (1.2.35)