八数字信号处理—时域离散随机信号处理 (z)=P (12.36 由于P3(z)的收敛域包含单位圆,因此rx(m)的傅里叶变换存 在。令=exp(jo),代入(1.2.32)式,有 )=∑m(m)m(1.2.37) (e )ende (1.2.38) 2丌 将m=0代入上式,得到 Ya(0)=P(elo) (1.2.39)
数字信号处理——时域离散随机信号处理 = * * 1 ( ) z Pxy z Pyx (1.2.36) 由于Pxx(z)的收敛域包含单位圆，因此rxx(m)的傅里叶变换存 在。令z=exp(jω), 代入(1.2.32)式， 有 − − = j m Pxx rxx m (e ) ( )e j (1.2.37) (e )e d 2 1 ( ) - j j n rxx m = (1.2.38) 将m=0代入上式，得到 (e )d 2 1 (0) - = j xx Pxx r (1.2.39)
八数字信号处理—时域离散随机信号处理 (1)功率谱是o的偶函数: P(o)=P(o) (1.2.40 功率谱是o的偶函数这一结果,可直接由自相关函数是时间 差的偶函数证明。由于功率谱和自相关函数都是实、偶函数, 它们还可以表示为 P(e)=2∑r2(m)cos(am)(1241) m=0 (m)==P(e0)cos(om)da(1242)
数字信号处理——时域离散随机信号处理 （1） 功率谱是ω的偶函数： () = (−) Pxx Pxx (1.2.40) 功率谱是ω的偶函数这一结果, 可直接由自相关函数是时间 差的偶函数证明。由于功率谱和自相关函数都是实、偶函数， 它们还可以表示为 = = 0 j (e ) 2 ( )cos( ) m Pxx rxx m m (e ) cos( )d 1 ( ) 0 r m P m j xx xx = (1.2.41) (1.2.42)
八数字信号处理一时域离散随机信号处理 (2)功率谱是实的非负函数,即 Px(a20 性质(2)的证明见下节。类似地,对于互功率谱,有 P()=∑r (m) (1.2.43) n=-00 r (m P()l"d(1244) Pn(O)=P-() (1.2.45)
数字信号处理——时域离散随机信号处理 （2） 功率谱是实的非负函数， 即 Pxx(ω)≥0 性质(2)的证明见下节。 类似地，对于互功率谱, 有 ( ) ( ) ( )e d 2π 1 ( ) ( ) ( ) π -π j j = − = = =− − xy yx n xy xy m n xy xy P P r m P P r m e (1.2.43) (1.2.44) (1.2.45)
八数字信号处理—时域离散随机信号处理 12.5随机序列的各态历经性 我们知道集合平均要求对大量的样本进行平均,实际中这种 做法是不现实的。在很多情况下,可以用一条样本曲线描述随 机序列,因此可以用样本曲线进行测量和分析 设x(m)是平稳随机序列X(n)的一条样本曲线,其时间平均值 为 <x(n)>=lim x(n N→∞2N+1,=N (1.2.46) 类似地,其时间自相关函数为 <x (n)x(n+m)>=lim N→∞2N+1=N ∑x*(n)x(n+m) (1.2.47)
数字信号处理——时域离散随机信号处理 1.2.5 随机序列的各态历经性 我们知道集合平均要求对大量的样本进行平均, 实际中这种 做法是不现实的。在很多情况下，可以用一条样本曲线描述随 机序列， 因此可以用样本曲线进行测量和分析。 设x(n)是平稳随机序列X(n)的一条样本曲线，其时间平均值 为 =− → + = N n N N x n N x n ( ) 2 1 1 ( ) lim (1.2.46) 类似地，其时间自相关函数为 =− → + + + = N n N N x n x n m N x n x n m *( ) ( ) 2 1 1 *( ) ( ) lim (1.2.47)
八数字信号处理—时域离散随机信号处理 式中〈〉表示时间平均算子。如果平稳随机序列的集合平均 值与集合自相关函数值依概率趋于平稳随机序列样本函数的时 间平均值与时间自相关函数,即满足下面两式: (x(n)=m=E[X(m)] (1.2.48) (x+(n)x(n+m)=rx(m)=E[X*(n)X(n+m)](1.2,49) 则称该平稳随机序列具有各态历经性。平稳随机序列虽有各态 历经性的和非各态历经性的两种,但在实际中遇到的平稳随机 序列,一般都是各态历经性的。这样我们用研究平稳随机序列 的一条样本曲线代替研究其集合,用时间平均代替集合平均, 这给研究平稳随机序列带来很大的方便
数字信号处理——时域离散随机信号处理 式中〈·〉表示时间平均算子。 如果平稳随机序列的集合平均 值与集合自相关函数值依概率趋于平稳随机序列样本函数的时 间平均值与时间自相关函数， 即满足下面两式： 〈x(n)〉=mx =E［X(n)］ 〈x*(n)x(n+m)〉=rxx(m)=E［X*(n)X(n+m)］ (1.2.48) (1.2.49) 则称该平稳随机序列具有各态历经性。平稳随机序列虽有各态 历经性的和非各态历经性的两种，但在实际中遇到的平稳随机 序列，一般都是各态历经性的。这样我们用研究平稳随机序列 的一条样本曲线代替研究其集合，用时间平均代替集合平均， 这给研究平稳随机序列带来很大的方便