序二 序二 顾森 欣闻《思考的乐趣：Matrix67数学笔记》即将出版，应作者北大中文系的 数学侠客顾森的要求写个序。我非常荣幸也非常高兴做这个命题作业。记得几 个月前，与顾森校友及图灵新知丛书的编辑朋友们相聚北大资源楼喝茶谈此书 的出版，还谈到书名等细节。没想到图灵的朋友出手如此之快，策划如此到 位。在此也表示敬意。我本人也是图灵新知丛书的粉丝，看过他们好几本书， 比如《数学万花筒》、《数学那些事儿》、《历史上最伟大的10个方程》 等，都很不错。 我和顾森虽然只有一面之缘，但好几年前就知道并关注他的博客了。他的 博客内容丰富、有趣，有很多独到之处。诚如一篇关于他的报道所说，在百度 和谷歌的搜索框里输入matiⅸ，搜索提示栏里排在第一位的并不是那部英文名 为Matrix(《黑客帝国》)的著名电影，而是一个名为natrix67的个人博客。 自2005年6月开博以来，这个博客始终保持更新，如今已有上千篇博文。在果 壳科技的网站里（这也是一个我喜欢看的网站），他的自我介绍也很有意 思：“数学宅，能背到圆周率小数点后50位，会证明圆周率是无理数，理解欧 拉公式的意义，知道四维立方体是由8个三维立方体组成的，能够把直线上的 点和平面上的点一一对应起来。认为生活中的数学无处不在，无时不影响着我 们的生活。” 据说，顾森进入北大中文系纯属误打误撞。2006年，还在念高二的他代 表重庆八中参加了第23届中国青少年信息学竞赛并拿到银牌，获得了保送北
序 大的机会。选专业时，招生老师傻了眼：他竟然是个文科生。为了专业对口， 顾森被送入了中文系，学习应用语言学。 虽然身在文科，他却始终迷恋着数学。在他看来，数学似乎无所不能。对 于用数学来解释生活，他持有一种近乎偏执的狂热一一在他的博客上，油画、 可乐罐、选举制度、打出租车，甚至和女朋友在公园约会，都能与数学建立起 看似不可思议却又合情合理的联系。这些题目，在他这本新书里也有充分体 现。 近代有很多数学普及家，他们不只对数学有着较深刻的理解，更重要的是 对数学有着一种与生俱来的挚爱。他们的努力搭起了数学圈外人和数学圈内事 的桥梁。 这里最值得称颂的是马丁·伽德纳，他是公认的趣味数学大师。他为《科 学美国人》杂志写趣味数学专栏，一写就是二十多年，同时还写了几十本这方 面的书。这些书和专栏影响了好几代人。在美国受过高等教育的人（尤其是搞 自然科学的)，绝大多数都知道他的大名。许多大数学家、科学家都说过他们 是读着伽德纳的专栏走向自己现有专业的。他的许多书被译成各种文字，影响 力遍及全世界。有人甚至说他是20世纪后半叶在全世界范围内数学界最有影 响力的人。对我们这一代中国人来说，他那本被译成《啊哈，灵机一动！》的 书很有影响力，相信不少人都读过。让人吃惊的是，在数学界如此有影响力的 伽德纳竞然不是数学家，他甚至没有修过任何一门大学数学课。他只有本科学 历，而且是哲学专业。他从小喜欢趣味数学，喜欢魔术。读大学时本来是想到 加州理工去学物理，但听说要先上两年预科，于是决定先到芝加哥大学读两年 再说。没想到一去就迷上了哲学，一口气读了四年，拿了个哲学学士。这段读 书经历似乎和顾森有些相似之处。 当然，也有很多职业数学家，他们在学术生涯里也不断为数学的传播做着
序二 巨大努力。比如英国华威大学的lan Stewart。Stewart是著名数学教育家， 直致力于推动数学知识走通俗易懂的道路。他的书深受广大读者喜爱，包括 《数学万花筒》、《数学万花筒2》、《上帝掷骰子吗？》、《更平坦之 地》、《给青年数学家的信》、《如何切蛋糕》等。 回到顾森的这本书上。书的很多章节题目都很吸引人，比如“数学之美”、 “几何的大厦”、“精妙的证明”。书的特点就是将抽象、枯燥的数学知识，通过 创造情景深入浅出地展现出来，让读者在愉悦中学习数学。比如“概率论教你 说谎”、“找东西背后的概率问题”、“统计数据的陷阱”等内容，就是利用一些 趣味性的话题，一方面可以轻松地消除读者对数学的畏惧感，另一方面又可以 把概率和统计的原始思想糅合在这些小段子里。 数学是美丽的。对此有切身体会的陈省身先生在南开的时候曾亲自设计 了“数学美”的挂历，其中12幅画页分别为复数、正多面体、刘徽与祖冲之、圆 周率的计算、数学家高斯、圆锥曲线、双螺旋线、国际数学家大会、计算机的 发展、分形、麦克斯韦方程和中国剩余定理。这是陈先生心目中的数学之美。 我的好朋友刘建亚教授有句名言：“欣赏美女需要一定的视力基础，欣赏数学 美需要一定的数学基础。”此书的第二部分“数学之美"就是要通过游戏、图 形、数列等浅显概念让有简单数学基础的读者朋友们也能领略到数学之美。 我发现顾森的博客里谈了很多作图问题，这和网上大部分数学博客不同。 作图是数学里一个很有意思的部分，历史上有很多相关的难题和故事（最著名 的可能是高斯19岁时仅用尺规就构造出了正17边形的故事)。本书的第三部 分专门讲了“尺规作图问题”、“单规作图的力量”、“火柴棒搭成的几何世界”、 “折纸的学问”、“探索图形剪拼”等，愿意动动手的数学爱好者绝对会感到兴 奋。对于作图的乐趣和意义，我想在此引用本人在新浪微博上的一个小段子加 以阐述
序二 学生：“咱家有的是钱，画图仪都买得起，为啥作图只能用直尺和圆规， 有时还只让用其中的一个？” 老师：“上世纪有个中国将军观看学生篮球赛。比赛很激烈，将军却慷概 地说，娃们这么多人抢一个球？发给他们每人一个球开心地玩。” 数学文化微博评论：生活中更有意思的是战胜困难和挑战所赢得的快乐和 满足。 书的最后一部分命名为“思维的尺度”，“俄罗斯方块可以永无止境地玩下 去吗？”、“比无穷更大的无穷”、“无以言表的大数”、“不同维度的对话”等话 题一看起来就很有意思，作者试图通过这些有趣的话题使读者享受数学概念间 的联系、享受数学的思维方式。陈省身先生临终前不久曾为数学爱好者题 词：“数学好玩。”事实上顾森的每篇文章都在向读者展示数学确实好玩。数学 好玩这个命题不仅对懂得数学奥妙的数学大师成立，对于广大数学爱好者同样 成立。 见过他本人或看过他的相片的人一定会同意顾森是个美男子，有阳刚之 气。很高兴看到这个英俊才子对数学如此热爱。我期待顾森的书在不久的将来 会成为畅销书，也期待他有一天会成为马丁·伽德纳这样的趣味数学大师。 汤涛 《数学文化》期刊联合主编 香港浸会大学数学讲座教授 2012.35 9
前言 前言 顾森 依然记得在我很小的时候，母亲的一个同事考了我一道题：一个正方形， 去掉一个角，还有多少个角？记得当时我想都没想就说：“当然是三个角。”然 后，我知道了答案其实应该是五个角，于是人生中第一次体会到顿悟的快感。 后来我发现，其实在某些极端情况下，答案也有可能是四个角或者三个角。我 由衷地体会到了思考的乐趣。 从那时起，我就疯狂地爱上了数学，为一个个漂亮的数学定理和巧妙的数 学趣题而倾倒。我喜欢把我搜集到的东西和我的朋友们分享，将那些恍然大悟 的瞬间继续传递下去。 2005年，博客逐渐兴起，我终于找到了一个记录趣味数学点滴的完美工 具。2005年7月，我在MSN上开办了自己的博客，后来几经辗转，最终发展 成了一个独立网站htp:www.matrix67.com。几年下来，博客里已经累积了 上千篇文章，订阅人数也增长到了五位数。 在博客写作的过程中，我认识了很多志同道合的朋友。2011年初，我有 幸认识了图灵公司的朋友。在众人的鼓励下，我决定把我这些年积累的数学话 题整理成册，与更多的人一同分享。我从博客里精心挑选了一系列初等而有趣 的文章，经过大量的添删和修改，有机地组织成了五个相对独立的部分。如果 你是刚刚体会到数学之美的中学生，这本书会带你进入一个课本之外的数学花 园；如果你是奋战在技术行业前线的工程师，这本书或许能不断给你带来新的 灵感；如果你并不那么喜欢数学，这本书或许会逐渐改变你的看法.不管怎