序 序一 顾森 我本不想写这个序。因为知道多数人看书不爱看序言。特别是像本书这样 有趣的书，看了目录就被吊起了胃口，性急的读者肯定会直奔那最吸引眼球的 章节，哪还有耐心看你的序言？ 话虽如此，我还是答应了作者，同意写这个序。一个中文系的青年学生如 此喜欢数学，居然写起数学科普来，而且写得如此投入又如此精彩，使我无法 拒绝。 书从日常生活说起，一开始就讲概率论教你如何说谎。接下来谈到失物、 物价、健康、公平、密码还有中文分词，原来这么多问题都与数学有关！但有 关的数学内容，理解起来好像并不是很容易。一个消费税的问题，又是图表曲 线，又是均衡价格，立刻有了高深模样。说到最后，道理很浅显：向消费者收 税，消费意愿减少，商人的利润也就减少；向商人收税，成本上涨，消费者也 就要多出钱。数学就是这样，无论什么都能插进去说说，而且千方百计把事情 说个明白，力求返璞归真。 如果你对生活中这些事无所谓，就从第二部分开始看吧。这里有“让你立 刻爱上数学的8个算术游戏”。作者口气好大，区区5页文字，能让人立刻爱上 数学？你看下去，就知道作者没有骗你。这些算术游戏做起来十分简单却又有 趣，背后的奥秘又好像深不可测。8个游戏中有6个与数的十进制有关，这给 了你思考的空间和当一回数学家的机会。不妨想想做做，换成二进制或八进 制，这些游戏又会如何？如果这几个游戏勾起了探究数字奥秘的兴趣，那就接 1
着往下看，后面是一大串折磨人的长期没有解决的数学之谜。问题说起来很浅 显明白，学过算术就懂，可就是难以回答。到底有多难，谁也不知道。也许明 天就有人想到了一个巧妙的解答，这个人可能就是你；也许一万年仍然是个悬 案。 但是这一部分的主题不是数学之难，而是数学之美。这是数学文化中常说 常新的话题，大家从各自不同的角度欣赏数学之美。陈省身出资两万设计出版 了《数学之美》挂历，十二幅画中有一张是分形，是唯一在本书这一部分中出 现的主题。这应了作者的说法：“讲数学之美，分形图形是不可不讲的。”喜爱 分形图的读者不妨到网上搜索一下，在图片库里有丰富的彩色分形图。一边读 着本书，一边欣赏神秘而惊人美丽的艺术作品，从理性和感性两方面享受思考 和观察的乐趣吧。此外，书里还有不常见的信息，例如三角形居然有5000多 颗心，我是第一次知道。看了这一部分，马上到网上看有关的网站，确实是开 了眼界。 作者接下来介绍几何。几何内容太丰富了，作者着重讲了几何作图。从经 典的尺规作图、有趣的单规作图，到疯狂的生锈圆规作图、意外有效的火柴棒 作图，再到功能特强的折纸作图和现代化机械化的连杆作图，在几何世界里我 们做了一次心旷神怡的旅游。原来小时候玩过的折纸剪纸，都能够登上数学的 大雅之堂了！最近看到《数学文化》月刊上有篇文章，说折纸技术可以用来解 决有关太阳能飞船、轮胎、血管支架等工业设计中的许多实际问题，真是不可 思议。 学习数学的过程中，会体验到三种感觉。 一种是思想解放的感觉。从小学里学习加减乘除开始，就不断地突破清规 戒律。两个整数相除可能除不尽，引进分数就除尽了；两个数相减可能不够 减，引进负数就能够相减了；负数不能开平方，引进虚数就开出来了。很多现
一 象是不确定的，引进概率就有规律了。浏览本书过程中，心底常常升起数学无 禁区的感觉。说谎问题，定价问题，语文句子分析问题，都可以成为数学问 题；摆火柴棒，折纸，剪拼，皆可成为严谨的学术。好像在数学里没有什么问 题不能讨论，在世界上没有什么事情不能提炼出数学。 一种是心灵震撼的感觉。小时候读到棋盘格上放大米的数学故事，就感到 震撼，原来24一1是这样大的数！在细细阅读本书第五部分时，读者可能 一次一次地被数学思维的深远宏伟所震撼。一个看似简单的数字染色问题，推 理中运用的数字远远超过佛经里的“恒河沙数”，以至于数字仅仅是数字而无实 际意义！接下去，数学家考虑的“所有的命题”和“所有的算法”就不再是有穷个 对象。而对于无穷多的对象，数学家依然从容地处理之，该是什么就是什么。 自然数已经是无穷多了，有没有更大的无穷？开始总会觉得有理数更多。但错 了，数学的推理很快证明，密密麻麻的有理数不过和自然数一样多。有理数都 是整系数一次方程的根，也许加上整系数2次方程的根，整系数3次方程的根 等等，也就是所谓代数数就会比自然数多了吧？这里有大量的无理数呢！结果 又错了。代数数看似声势浩大，仍不过和自然数一样多。这时会想所有的无穷 都一样多吧，但又错了。简单而巧妙的数学推理得到很多人至今不肯接受的结 论：实数比自然数多！这是伟大的德国数学家康托的代表性成果。 说这个结论很多人至今不肯接受是有事实根据的。科学出版社去年出了一 本书名为《统一无穷理论》，该书作者主张无穷只有一个，不赞成实数比自然 数多，希望建立新的关于无穷的理论。他的努力受到一些研究数理哲学的学者 的支持，可惜目前还不能自圆其说。我不知道有哪位数学家支持“统一无穷理 论”，但反对“实数比自然数多”的数学家历史上是有过的。康托的老师克罗内 克激烈地反对康托的理论，以致康托得了终身不愈的精神病。另一位大数学家 布劳威尔发展了构造性数学，这种数学中不承认无穷集合，只承认可构造的数 3
序 学对象。只承认构造性的证明而不承认排中律，也就不承认反证法。而康托证 明“实数比自然数多”用的就是反证法。尽管绝大多数的数学家不肯放弃无穷集 合概念，也不肯放弃排中律，但布劳威尔的构造性数学也被承认是一个数学分 支，并在计算机科学中发挥重要作用。 平心而论，在现实世界确实没有无穷。既没有无穷大也没有无穷小。无穷 大和无穷小都是人们智慧的创造物。有了无穷的概念，数学家能够更方便地解 决或描述仅仅涉及有穷的问题。数学能够思考无穷，而且能够得出一系列令人 信服的结论，这是人类精神的胜利。但是，对无穷的思考、描述和推理，归根 结底只能通过语言和文字符号来进行。也就是说，我们关于无穷的思考，归根 结底是有穷个符号排列组合所表达出来的规律。这样看，构造数学即使不承认 无穷，也仍然能够研究有关无穷的文字符号，也就能够研究有关无穷的理论。 因为有关无穷的理论表达为文字符号之后，也就成为有穷的可构造的对象了。 话说远了，回到本书。本书一大特色，是力图把道理说明白。作者总是用 自已的语言来阐述数学结论产生的来龙去脉，在关键之处还不忘给出饱含激情 的特别提醒。数学的美与数学的严谨是分不开的。数学的真趣在于思考。不少 数学科普，甚至国外有些大家的作品，说到较为复杂深刻的数学成果，常常不 肯花力气讲清楚其中的道理，可能认为讲了读者也不会看，是费力不讨好。本 书讲了不少相当深刻的数学工作，其推理过程有时曲折迂回，作者总是不畏艰 难，一板一眼地力图说清楚，认真实践着古人“诲人不倦”的遗训。这个特点使 本书能够成为不少读者案头床边的常备读物，有空看看，常能有新的思考，有 更深的理解和收获。 信笔写来，已经有好几页了。即使读者有兴趣看序言，也该去看书中更有 趣的内容并开始思考了吧。就此打住。祝愿作者精益求精，根据读者反映和自 己的思考发展不断丰富改进本书；更希望早日有新作问世
外洲 2012年4月29日 5