第二节周期信号与离散频谱 信号分析的基本概念 信号由多个分量复合而成,信号分析是把信号分解为各个分量,从中找出能 代表物体状态的分量或分量组合,更清晰、准确的反映物体的状态。信号分解基 于函数内积的投影性质。两个矢量的内积的几何意义是分量或投影。 G1.G2= G1 G2 cos 0 G1-G2 矢量的内积表达式也可用矢量在N维空间的坐标来表示: G1·G2=∑(G"G2) 连续信号可视为无穷维矢量,两个同自变量的函数的内积定义为: x(t)o(t)at Cn反映了信号x(t)在基函数dn(t)上的分量、投影或相关性。n(t)为正交 基函数集,信号x(t)可表示为基函数的加权和。 npp, 16
信号分析的基本概念 信号由多个分量复合而成，信号分析是把信号分解为各个分量，从中找出能 代表物体状态的分量或分量组合，更清晰、准确的反映物体的状态。信号分解基 于函数内积的投影性质。两个矢量的内积的几何意义是分量或投影。 G1 ·G2 =|G1||G2|cosθG1-G2 矢量的内积表达式也可用矢量在N维空间的坐标来表示： 连续信号可视为无穷维矢量，两个同自变量的函数的内积定义为： Cn反映了信号x(t)在基函数Φn(t)上的分量、投影或相关性。 Φn(t)为正交 基函数集，信号x(t)可表示为基函数的加权和。 第二节周期信号与离散频谱 16 ( ) 2 1 1 2 1 n N n n G G G G = • = = b a cn x(t)n (t)dt = = 1 ( ) ( ) n n n x t c t
、傅里叶级数的三角函数展开式 在有限周期区间上,凡满足狄里赫利条件的周期信号x(t),均可展开成傅里 叶级数。 x(t)=a0+2(a, cos n@ot+b, sin n@ot) (1-7) 式中常值分量 ∫3。x()d s 2 x(t)cosnoot dt 余弦分量幅值 (18) TJTo x(Osin noot dt 正弦分量幅值 其中T0—周期 ao=2π/To(圆频率)n=1,2,3, an、bn分别是noo的两个独立的函数
一、傅里叶级数的三角函数展开式 在有限周期区间上，凡满足狄里赫利条件的周期信号x(t)，均可展开成傅里 叶级数。 = = + + 1 0 0 0 ( ) ( cos sin ) n n n x t a a n t b n t （1—7） − = 2 0 2 0 0 0 ( ) 1 T T x t dt T a x t n t dt T a T n T − = 2 2 0 0 0 0 ( )cos 2 x t n t dt T b T n T − = 2 2 0 0 0 0 ( )sin 2 式中常值分量 余弦分量幅值 正弦分量幅值 其中 T0——周期 ω0 =2π/T0 （圆频率） n=1, 2, 3, … an、bn分别是nω0的两个独立的函数。 （1—8）
将式(1-7)改写成x()=ao+∑( (an cosnoot+b,sino1) x()=a+a2+b2∑ cos na。计+ sin not mal ya,+b b x()=ao+va,+b,2(Sin n cosnot CoS (n sin noot) ∑si(no+9)(1-9) Ya,+b 式中1=yan2+b r gpp An、Φn也分别是no的两个独立的函数,A为幅值、①m为 相位移,几何意义清晰,可分别作出幅频谱和相频谱。 周期信号是由无数多个不同频率的谐波叠加而成的,各频率成分 是的整数倍,相邻频率间隔△O=O0=2丌/T,O0—基频 A sin(nO0t+n)称为n次谐波 18
将式（1—7）改写成 = = + + 1 0 0 0 ( ) ( cos sin ) n n n x t a a n t b n t = + + + = + + 1 0 2 2 0 2 2 2 2 0 ( ) ( cos sin ) n n n n n n n n n n t a b b n t a b a x t a a b = = + + + 1 0 0 2 2 0 ( ) (sin cos cos sin ) n n n n n x t a a b n t n t = = + + 1 0 0 ( ) sin( ) n n n x t a A n t （1—9） 式中 2 2 n n n A = a + b n n n b a tg = b n a n 2 2 n n a + b n An、Φn也分别是nω0的两个独立的函数， An为幅值、 Φn为 相位移，几何意义清晰，可分别作出幅频谱和相频谱。 周期信号是由无数多个不同频率的谐波叠加而成的，各频率成分 是ω0的整数倍，相邻频率间隔 An sin( n0 t + n ) 称为n 次谐波。 =0 = 2 /T0 , 0 —基频 18
例求脉冲信号的频谱x(1)=x(t+n0) x(t) 0<t<10/2 -T02 70/2<t<0 付氏级数展开 x(t)=ao+>(an cos noot+bn sin noot) T/2 40=7[「x0M=7[一4+的=7-0+2)+42]=0 /2 T/2 0 70/2 ∫ r(Ocosnootdt=[∫-4 cos no tdt+J4 1 cos notdt] 0-70/2 70/2 令式中第一项t=-t,则 [-Acosnootdt(1)+Acosn@otdr]=0 19
例 求脉冲信号的频谱 ( ) ( ) 0 x t = x t + nT − = A A x(t) / 2 0 0 / 2 0 0 − T t t T 付氏级数展开 = = + + 1 0 0 0 ( ) ( cos sin ) n n n x t a a n t b n t ] 0 2 ) 2 [( )(0 1 [ ] 1 [ ( ) 1 0 0 0 / 2 / 2 0 / 2 / 2 0 0 0 0 0 0 0 0 = = − + = − + + = − − T A T A T Adt Adt T x t dt T a T T T T − − = = − + / 2 / 2 0 / 2 / 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ cos cos ] 2 [ ( ) cos 2 T T T T n A n tdt A n tdt T x t n tdt T a 令式中第一项t =-t ,则 [ cos ( 1) cos ] 0 2 0 / 2 / 2 0 0 0 0 0 0 = − − + = T T n A n tdt A n tdt T a 19 -T0 /2 t T0 /2 0 -A A x (t)