2.579×105J·mol 显然ΔEH>△E、,但此两种能量不相等.根据量子化规则,CH2 CHCHCHCHCHCHCH2不 能产生吸收光效应。若使它产生吸收光谱,叮改换光源,例如用迕续光谱代替H原子光谱。此 时可满足量子化条件,该共轭分子可产生吸收光谱,其吸收波长为 6:626×105]·s×2.998×105m·s x(6.626×10 8×9.1095×103kgx(1120×10-12m 460nm 【2.5】计算氢原子的基态波函数在r-m0和r=2a0处的比值。 解:氢原子基态波函数为 32 该函数在r=a0和r-2a0两处的比值为 2.718 而在r=a0和r=2a两处的比值为 e≈7.38906 本题的计算结果所表明的物理意义是不言而喻的。而且,如果我们注意到ψ在r的全部 区间内随着r的增大而单调下降这个事实,计算结果的合理性也是显而易见的 【2.6】计算氢原子的1s电子出现在r=100pm的球形界面内的概率 解:根据波函数、概率密度和电子的概率分布等概念的物理意义,氢原子的1s电子出现 在r=100pm的球形界面内的概率为: piatt Ze- dr ≈0,728 那么,氢原子的1电子出现在r=100pm的球形界而之外的概率为1-0.728=0.272 若选定数个适当的r值进行计算,则可获得氢原子1s电子在不同半径的球形界面内外 及两个界面之间出现的概率。由上述计算可见,氢原子ls电子出现在半径为r的球形界面内 的概率为 当然,r的取值要考虑在物理上是否有义。 本题亦可根据径向分布函数概念,直接应用式:
P(r) rird 或 P(r) 4rrpisd 进行计算。计算时用原子单位稍方便些。 【2.7】计算氢原子的积分: P(r)ta fisrt 作出P()r图,求P(r)=0.1时的r值,说明在该r值以内电子出现的概率是90% 解:P(r)= fisr'sinAdrdedg e"r2 sinedrdadφ sniDe 1e-2rr?dr d 4(-2+2--+- =e-2(2r2+2r+1) 根据此式列出P(r)r数据表: 0.5 1.0 0 3.0 3.5 P(r) 1.0000.92 0.6770.4230.2380.1250.0620.0300.014 根据表中数据作出P(r)-图示于图2.7中。 由图可见: 10 r=2.7ao时,P(r)=0.1 0.8 2.7a0时,P(r)<0.1 r<2.7a时,P(r)>0.1 即在r=2.7ao的球面之外,电子出现的概率是 10%;而在r=2.7a的球面以内,电子出现的概率是 90%,即: °x2 sinbad ° 102.0304.05.0 0J0J0 【28】已知氢原子的归一化基态波函数为 pi=(rad)texp -r 日2.7P(r)-r图 (a)利用量子力学基本假设求该基态的能量和角动量; (b)利用维里定理求该基态的平均势能和零点能。 解 (a)根据量子力学关于“本征函数、本征值和本征方程”的假设,当用 Hamilton算符作用 27
于的时,若所得结果等于一常数乘以的,则该常数即氢原子的基态能量E1。氢原子的 Hamil ton算符为: H 由于的的角度部分是常数,因而H与,无关: h T"刀 4Er 将H作用于中、,有 H I h218 atEr T m Eor 2r, 中1 4丌E 小 h2 8z'm 1(-2x-ta +rx”ta62e)-4ro h2(r-2a) 4πE 所以 En=armao arEna (6.6262×103J·s) 8×r2×9.1095×10-31k gx(5.2917×10-1 (1.6022×10-19C)2 4r×8.8542×10~2C2·J·m1×5.2917X10-llm 2.184×10-18J-4.363×10-18J =-2.18×10-18J 也可用式E=4dr进行计算,所得结果与上法结果相同。注意,此式中dr 4xr2dr 将角动量平方算符作用于氢原子的ψ,有 Mry 所以 M=0 0 此结果是显而易见的:M2不含r项而ψ不含和中角动量平方当然为0,角动量也就为0。 通常,在计算原子轨道能等物理t时,不必一定按上述作法,只需将量子数等参数代入简
单计算公式即可,如 En=-2.18×10-8E l(l+1) h (b)对氢原子,V∞r-1,故 E1s=T〉+〈V〉 2)+()=1 V)=2E1=2×(-13.6eV)=-27.2e 1 ×(一27.2eV)=13.6eV 此即氢原子的零点能。 【2.9】已知氢原子的 exp 4√2xa3 试回答下列问题: (a)原子轨道能E=? (b)轨道角动量|M|=?轨道磁矩|p=? (c)轨道角动量M和z轴的夹角是多少度 (d)列出计箅电子离核平均距离的公式(不必算出具体的数值) (e)节面的个数、位置和形状怎样? (f)概率密度极大值的位置在何处? (g)画出径向分布示意图。 解 (a)原子轨道能为 E=一218×103×2=-545×10J b)轨道角动量为: h 轨道磁矩为: |=√1(1+1)R=√2A (c)设轨道角动tM和z轴的夹角为6则因ya的m=0,故可得: h M 0 h =90 d)电子离核的平均距离的表达式为 29
T w2, r.r2sinedrdOdyy )令 0,得 r=0,r 6=90 节面或节点通常不包括r=0和r=∞,故ψ的节面只有一个,即xy平面(当然,坐标原点也 包含在xy平面内)。亦可直接令函数的角度部分Y=√cs0=0,求得=90° (f)概率密度为: e- acos2日 32rad! ag 由式可见,若r相同,则当日=0°或日=18时p最大(亦可今=5m9=0,9=0°或180),以 p表示,即 R=(r,D=0°,180°)= 32x 将P对r做分并使之为0,有: [a2a2)句 解之得 2a(r=0和r=∞舍去) 又因: d <0 所以,当8=0°或180°,r=2a时φ有极大值。此极大值为: bra (g)D2.=r2R2=r2 根据此式列出Dr数据表: 2.Q 3.0 5.0 6.0 D/a 0.015 8.0 10.0 1.0 12.0 D/ao l 0.091 0.057 0,034 0.0191.02×10-25.3×10 按表中数据作出Dr图,得图2.8。 由图可见,氢原子n,的径向分布图有n-l=1个极大(峰》和n-l-1=0个极小(节面), 这符合一般径向分布图峰数和节面数的规律。其极大值在r=4a处这与最大概率密度对应 的r值不同,因为二者的物理意义不同。另外,由于径向分布函数只与n和有关而与m无关, 2px2py和2p2的径向分布图相同