§26误差分析 、向量范数 定义1.对于n维向量空间R中任意一个向量x 若存在唯一一个实数川∈R与x对应,且满足 (1)(正定性)x≥0,且∨x∈R",x=0分x=0; (2)(齐次性)kx=ac,Wx∈R,a∈R (3)(三角不等式)x+y≤|x+|y,x,y∈R" 则称|x为向量x的范数
一、向量范数 定义1. n R x, 对于 维向量空间 n 中任意一个向量 若存在唯一一个实数 x R与x对应，且满足 (1) ( ) x 0, x R , x = 0 x = 0; 正定性 且 n (2) ( ) x x x R , R; n 齐次性 = ， (3) ( ) , . n 三角不等式 x + y x + y ，x y R 则称 x 为向量x的范数. §2-6 误差分析
在向量空间R(C")中设x=( 常用的向量x的范数有 1-范数|x1=x1|+x2|+…+|x 2-范数|xl2=(x1+x2+…+x ∞0-范数|x max IX 1<i P-范数p≥1|n=(x+x2+…+1x") 显然|x和2是|在=1和=2时的特例
T n n n R (C ) , x (x , x , , x ) 在向量空间 中 设 = 1 2 常用的向量x的范数有 2 x 2 2 2 1 2 2 1 ( ) n 2 −范数 = x + x ++ x 1 x n = x + x ++ x 1−范数 1 2 x i i n x = 1 −范数 max p x p p n p p x x x 1 1 2 p −范数, p 1 = ( + ++ ) 2 和 x 1 显然 x 是 x p 在p = 1和p = 2时的特例
并且由于 max x,<(n,tlr p 2 ∴+x 1<i<n ≤(maxx) n'r max IX 1<i<n →>maxx|(p→>∞) ≤n x一>|x。(P→>∞O时)所以|xl也是x的特例
并且由于 p p n p p x x x 1 1 2 ( + ++ ) i i n x 1 max p p i i n n x 1 1 ( max ) i i n p n x = 1 1 max max ( ) 1 → → xi p i n x p → x ( p →时), 所以 x 也是 x p 的特例
例1求下列向量的各种常用范数 x=(1-2,3) 解:x1=x1|+x2+x3=6 x +x +lx 4 xil=max x =3 1<i<3
例1.求下列向量的各种常用范数 T x = (1,−2,3) 解: 1 x = x1 + x2 + x3 = 6 2 x 14 ( ) 2 1 2 3 2 2 2 1 = = x + x + x x max 3 1 3 = = i i x
、矩阵范数 定义2.对于空间R中任意一个矩阵A 若存在唯一一个实数川∈R与A对应,且满足 (1)(正定性)‖4‖≥0,且∨A∈R”"4=0÷A=0; (2)(齐次性)州=a川,vA∈R",a∈R (3)(三角不等式)‖4+酬≤A+1|B,VA,B∈R nxn (4)AB≤|A·|B,VA,B∈R nxn 则称‖A为矩阵A的范数
定义2. R A, 对于空间 nn 中任意一个矩阵 若存在唯一一个实数 A R与A对应，且满足 (1) ( ) 0, , = 0 = 0; A A R A A 正定性 且 n n (2) ( ) A A A R , R; n n = 齐次性 ， (3) ( ) , . n n A B A B A B R 三角不等式 + + ， 则称 A 为矩阵A的范数. (4) , . n n AB A B A B R ， 二、矩阵范数