2-1高斯( Gauss)消去法 消元过程 对线性方程组Ax=b如果det(4)≠0 对其增广矩阵施行行初等变换: 4=(4)=(4)0)2
2-1高斯（Gauss）消去法 一、消元过程 A = (A,b) = (1) (1) (1) 2 (1) 1 (1) 2 (1) 2 (1) 2 2 (1) 2 1 (1) 1 (1) 1 (1) 1 2 (1) 1 1 n n n n n n n a a a b a a a b a a a b ( , ) (1) (1) A b 记 = 对线性方程组 Ax = b 对其增广矩阵施行行初等变换: 如果det(A) 0
假定a(1)≠0 定义行乘数 1 11 第i行-第1行×m1,则 2) J (1) 0 2) (4①),b()一(4(2,b2) 22 0 2 (2)n1(2) n2 nn
0 (1) 假定 a11 定义行乘数 i n a a m i i 2,3, , (1) 1 1 (1) 1 1 = = = (2) (2) (2) 2 (2) 2 (2) 2 (2) 2 2 (1) 1 (1) 1 (1) 1 2 (1) 1 1 0 0 n n n n n n a a b a a b a a a b ( , ) (2) (2) A b 第i行−第1行mi1 ,则 (1) 1 1 (2) (1) aij = aij −mi a j (1) 1 1 (2) (1) bi = bi − mi b i, j = 2,3, ,n i = 2,3, ,n ( , ) (1) (1) A b
如果 0由于det(4)≠0 则A的第一列中至少有一个元素不为零 如a≠0,则将(,b)的第一行与第 交换后消元 11 12 (1( 1n2 0 n (2) (2)p(2) 2 因此第k-1步后(4①),b()将化为
0 (1) 如果 a11 = 由于 det(A) 0 则 A的第一列中至少有一个元素不为零 交换后消元 如 ai ( 1 1 1 ) 0,则将(A (1) ,b (1) )的第一行与第i 1 行 (2) (2) (2) 2 (2) 2 (2) 2 (2) 2 2 (1) 1 (1) 1 (1) 1 2 (1) 1 1 0 0 n n n n n n a a b a a b a a a b 且 因此,第k − 1步后,(A (1) ,b (1) )将化为
(4①),b() 2) 2)1(2) 22 2n (k) (4,b) (k) (k) nk nn ik i=k+1,… 第i行-第行×m,则 k k+1 (k+1) b =k+1
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) 2 (2) 2 (2) 2 2 (1) 1 (1) 1 (1) 1 2 (1) 1 1 k n k n n k n k k k k kn k kk n n a a b a a b a a b a a a b ( , ) (k ) (k ) A b ( , ) (1) (1) A b i k n a a m k kk k i k i k 1, , ( ) ( ) = = + 第i行−第k行mi k ,则 ( 1) ( ) (k ) ik kj k ij k aij = a −m a + ( 1) ( ) (k ) i k k k i k bi = b − m b + i, j = k + 1, , n i = k + 1, ,n
当经过k=n-1步后(A,b0)将化为 2 (4①),b()→(4m,b0) 2 2n 由于de(4)≠0 可知a≠0 因此,上三角形方程组A)x=b()有唯一解
( , ) (n) (n) A b = ( ) ( ) (2) 2 (2) 2 (2) 2 2 (1) 1 (1) 1 (1) 1 2 (1) 1 1 n n n n n n n a b a a b a a a b ( , ) (1) (1) A b 当经过k = n −1步后,(A (1) ,b (1) )将化为 由于 det(A) 0 a i n i i i 0 1,2, , 可知 ( ) = 因此,上三角形方程组 A (n) x = b (n) 有唯一解