第六节高斯( Gauss)公式 通量与散度 高斯公式 巴二、简单的应用 四三、物理意义一通量与散度 巴四、小结思考题 回
王一高斯公式 设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成 函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有 一阶连续偏导数,则有公式 牛。++地h:=pb+Qh+R Q ax ay a z 士 或改 aP a0 OR az H(P cos a+@ cosB+Cosy )dS 反回
设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数P( x, y,z)、Q( x, y,z)、R( x, y,z)在上具有 一阶连续偏导数, 则有公式 dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) 一 、高 斯 公 式 P Q R dS dv z R y Q x P ( cos cos cos ) ( ) 或
这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, 黑cosa,cos月,cosy是∑上点(x,y,处的法向 量的方向余弦 证明设闭区域g在面xO 上的投影区域为Dx 2 ∑由∑,Σ2和∑3三部分组成 ∑ 1: 了=x1(x,y) J Σ2=2(x,y) 0 ∑为柱面上的一部分 反回
这里是的整个边界曲面的外侧， cos,cos ,cos 是上点( x, y,z)处的法向 量的方向余弦. 证明 设闭区域在面xoy 上的投影区域为Dxy . x y z o 由1 ,2 和3 三部分组成, ( , ) 1 : 1 z z x y ( , ) 2 : 2 z z x y 1 2 3 Dxy 3为柱面上的一部分．
这里x1(x,y)≤z2(x,y),Σ取下侧,Σ2取上侧, Σ3取外侧 根据三重积分的计算法 OR =』 2(x,DOR dz jody z Gi(x,y) D z =∫Rx,y,x(x,y)-x,y,x1(x,)at小 根据曲面积分的计算法 R(x,,a)dxdy=-JRLx,y, (x, D)ldxdy, D 反回
根据三重积分的计算法 dz dxdy z R dv z R Dxy z x y z x y { } ( , ) ( , ) 2 1 { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} . 2 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy 根据曲面积分的计算法 ( , , ) [ , , ( , )] , 1 1 Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy 这里 ( , ) ( , ) 1 2 z x y z x y ，1 取下侧, 2 取上侧, 3 取外侧．
R(x, y, z )dxdy=R[x,y, z2(x, y)]dxdy, D R(x,y,孔dcdy=0 于是』R(x,y,)d ∑ JJIRLx,3,2(x,D1-R[x,3, z,(x,y)l)dxdy, D Q2 OZ 反回
( , , ) [ , , ( , )] , 2 2 Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} , 2 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy 于是 R(x, y,z)dxdy ( , , ) 0. 3 R x y z dxdy ( , , ) . dv R x y z dxdy z R