黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十章（10.6）高斯（Gauss）公式通量与散度

∫ aP 同理 dv=H P(x,y, z)dydz, Q ax ∑ ∑ 和并以上三式得 aP 00 aR cdy +a+o)dv=i Prydz+odzdx+rdx ax ay az ∑ 高斯公式 反回

( , , ) ,        dv P x y z dydz x P 同理 ( , , ) ,        dv Q x y z dzdx y Q                dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) ------------------高斯公式 和并以上三式得：

由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另 王种形式 王+2+m I(P cosa+2cos B+Rcosr)dS. ∑ 士 Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系 反回

Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系. ( cos cos cos ) . ( )                P Q R dS dv z R y Q x P    由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一 种形式：

生三、简单的应用 例1计算曲面积分 ∫ x-y)dxdy +(y-z)xdydz ∑ 其中∑为柱面x+y2=1及平 面=0,3=3所围成的空间闭 王区域2的整个边界曲面的外侧 y 上解P=(y-z)x,g=0,x R=x-y, 反回

二、简单的应用 例1 计算曲面积分 (x  y)dxdy  ( y  z)xdydz 其中Σ为柱面 1 2 2 x  y  及平 面z  0,z  3所围成的空间闭 区域的整个边界曲面的外侧.x oz y 1 13 解 , ( ) , 0, R x y P y z x Q     

P 00 OR =0 =0, ax =y- ay az 原式=小(-)dh TTT(sin 0-z)rdrdedz 1 y de f 2 dr.r(sin 8-z)rdz 0 9兀 2 反回

, 0,  0,       zR yQ y z xP  原式  ( y  z)dxdydz   (rsin  z)rdrddz . 29   x oz y 1 13         30 10 20 d dr r(sin z)rdz

使用Guas公式时应注意 1.P,Q,R是对什么变量求偏导数 2.是否满足高斯公式的条件 3.∑是取闭曲面的外侧 反回

使用Guass公式时应注意: 1.P,Q,R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ是取闭曲面的外侧