多元函数的极值与条件极值 2003级数理基地班数学分析课教师张静 、函数的极值 1.函数的极值与最值的区别 函数的极大(小)值与整个区域上的最大(小)值不可混为一谈,前者是指函数在一点 附近的最大(小)值,是局部性的,后者是函数在整个区域上的最大(小)值,是整体性的。 2.函数取得极值的必要条 定理:设函数z=f(x,y)在点(x0,y)具有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值,则它在该 点的偏导数必然为零:fx(x0,y0)=0,f,(xo,y0)=0 注:该定理只是给出了偏导数存在时,函数取得极值的必要条件,但满足fx(x0,y0)=0, ∫(x0,y0)=0的点不一定是函数的极值点,而且取得极值的点处也可能是偏导数不存在的 例:偏导数不存在的点可能是极值点,设=1(x)=x,x≥0 xx<o 由极值的定义可以很容易得出点(0,y),vy∈R是函数的极小值点,但在点 (0,y),vy∈R函数的偏导数f(0,y)不存在。 例:满足f(x0,y0)=0,J,(x0,y0)=0的点不一定是函数的极值点。 设=f(xy)=y2-x2,则f(xy)=-2x,f,(xy)=2y,故在点(0,0)有f0.)= ∫(0.0)=0,但(0,0)点既不是这个函数的极大值点也不是极小值点。因为这个函 数在原点的值为零,而在原点附近当y=0时,f(x,0)=-x2<0,当x=0时 f(0,y)=y2>0。 3.函数取得极值的充分条件 定理:设函数〓=∫(x,y)在点(x0,y)的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,又 f(x0,y)=0,f,(x0,y)=0,令A=fx(x0,y0),B=f(xo,y0) C=/p(x,y), 则∫(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下 (1)AC-B2>0时具有极值,A<0时为极大值,A>0时为极小值; (2)AC-B2<0时没有极值 (3)AC-B2=0时可能有极值,也可能无极值,需进一步讨论。 4.典型例题 例:证明函数二=(1+e)cosx-e有无穷多个极大值,但无极小值 证明:x=-(1+e)snx 二,=e"cosx-e" sinx l=,=e"(cosx )=0解得{=6r k=0,±1,±2,±3
多元函数的极值与条件极值 2003 级数理基地班 数学分析课 教师 张静 一、函数的极值 1．函数的极值与最值的区别 函数的极大（小）值与整个区域上的最大（小）值不可混为一谈，前者是指函数在一点 附近的最大（小）值，是局部性的，后者是函数在整个区域上的最大（小）值，是整体性的。 2．函数取得极值的必要条件 定理：设函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 具有偏导数，且在点 ( , ) 0 0 x y 处有极值，则它在该 点的偏导数必然为零： f x (x0 , y0 ) = 0, f y (x0 , y0 ) = 0 。 注：该定理只是给出了偏导数存在时，函数取得极值的必要条件，但满足 f x (x0 , y0 ) = 0 ， f y (x0 , y0 ) = 0 的点不一定是函数的极值点，而且取得极值的点处也可能是偏导数不存在的 点。 例：偏导数不存在的点可能是极值点，设 − = = 0, , 0, ( , ) x x x x z f x y 由极值的定义可以很容易得出点 (0, y), yR 是函数的极小值点，但在点 (0, y), yR 函数的偏导数 f (0, y) x 不存在。 例：满足 f x (x0 , y0 ) = 0, f y (x0 , y0 ) = 0 的点不一定是函数的极值点。 设 2 2 z = f (x, y) = y − x ，则 f x y x f x y y x ( , ) = −2 , y ( , ) = 2 ，故在点 (0, 0) 有 f x (0, 0) = f y (0, 0) = 0 ，但 (0, 0) 点既不是这个函数的极大值点也不是极小值点。因为这个函 数在原点的值为零，而在原点附近当 y = 0 时， ( , 0) 0 2 f x = −x ，当 x = 0 时， (0, ) 0 2 f y = y 。 3．函数取得极值的充分条件 定理：设函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又 f x (x0 , y0 ) = 0 ， f y (x0 , y0 ) = 0 ， 令 ( , ) 0 0 A f x y = xx ， ( , ) 0 0 B f x y = xy ， ( , ) 0 0 C f x y = yy ， 则 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处是否取得极值的条件如下： （1） 0 2 AC − B 时具有极值， A 0 时为极大值， A 0 时为极小值； （2） 0 2 AC − B 时没有极值； （3） 0 2 AC − B = 时可能有极值，也可能无极值，需进一步讨论。 4．典型例题 例：证明函数 y y z = (1+ e ) cos x − ye 有无穷多个极大值，但无极小值。 证明： z e x y x = −(1+ )sin y y y y z = e cos x − e − ye 由 = − − = = − + = (cos 1 ) 0 (1 )sin 0 z e x y z e x y y y x 解得 = − − = ( 1) 1 k y x k k = 0, 1, 2, 3, ．
即 点 为 (2nr,0)n=0,±1,±2,±3 和 (2n+1)丌,-2),n=0,±1,±2,±3 而二x=-(1+e”) Eyy=e(cosx-2-y) 在点(2nr,0) A B=0,C=-1,AC-B2=2>0 .点(2nx,0)n=0,±1,±2,±3…为极大值点,极大值为2。 在点(2n+1)丌,-2) A=1+e-,B=0.C=- 故点(2n+1)丌,-2),n=0,±1,±2,±3…不是极值点。 而函数不可能在其它点取得极值,故该函数有无穷多个极大值,但无极小值 二、函数的最值 1.求函数最值的一般方法 求函数在区域D内的最值时,首先算出函数在D内的所有驻点处和导数不存在点处的 函数值,与其在D的边界上最大值和最小值相互比较,其中最大者即为最大值,最小者即 为最小值 2.典型例题 例:在已知周长为2p的一切三角形中求出面积最大的三角形 解:设三角形的边长为x,y,z,由于周长为2p故x+y+z=2p 则由面积公式知三角形的面积为 S=√p(p-x)(p-y)(p-)=√(p-x)p-y)x+y-p) 由于三角形的三条边长分别为x,y,2p-x-y,故x,y应满足条件: 0<x<p,0<y<p,x+y>p,因此求S的最大值,相当于求函数 f(x,y)=p(p-x)p-y)x+y-p)在区域D:0<x<p,0<y<p,x+y<p上的 最大值。 f =(p-y)(2p-2x-y) f,=(p-x)(2p-x-2y) 故在区域D的内部只有点(2P,2)是驻点,而在该点f(x,y2= 而区域D的边界为x=P,y=P,x+y=p,在边界上函数f(x,y)均为0 所以(x)在区域D上在点(2,2P)取得最大值,最大值为1p 由于二=2p-r-y,此时=2p/3,故在周长为2p的一切三角形中面积最大的为 等边三角形,面积为 三、函数的条件极值 1.条件极值是指对自变量有附加条件的极值,如求函数u=∫(x,y,=)在条件
即驻点为 (2n, 0) n = 0, 1, 2, 3, 和 ((2n +1), − 2), n = 0, 1, 2, 3, ． 而 z e x y xx = −(1+ ) cos z e x y xy = − sin z e (cosx 2 y) y yy = − − 在点 (2n, 0) 2, 0, 1, 2 0 2 A = − B = C = − AC − B = - ∴ 点 (2n, 0) n = 0, 1, 2, 3, 为极大值点，极大值为 2。 在点 ((2n +1), − 2) 1 , 0, , (1 ) 0 2 2 2 2 2 = + = = − − = − + − − − − A e B C e AC B e e 故点 ((2n +1), − 2), n = 0, 1, 2, 3, 不是极值点。 而函数不可能在其它点取得极值，故该函数有无穷多个极大值，但无极小值。 二、函数的最值 1．求函数最值的一般方法 求函数在区域 D 内的最值时，首先算出函数在 D 内的所有驻点处和导数不存在点处的 函数值，与其在 D 的边界上最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即 为最小值。 2．典型例题 例：在已知周长为 2p 的一切三角形中求出面积最大的三角形。 解：设三角形的边长为 x，y，z，由于周长为 2p 故 x + y + z = 2p ． 则由面积公式知三角形的面积为 S = p( p − x)(p − y)(p − z) = p( p − x)(p − y)(x + y − p) 由于三角形的三条边长分别为 x，y， 2p − x − y ，故 x，y 应满足条件： 0 x p, 0 y p, x + y p ， 因 此 求 S 的 最 大 值 ， 相 当 于 求 函 数 f (x, y) = p(p − x)(p − y)(x + y − p) 在区域 D： 0 x p, 0 y p, x + y p 上的 最大值。 而 f ( p y)(2 p 2x y) x = − − − f ( p x)(2p x 2y) y = − − − 故在区域 D 的内部只有点 ) 3 2 , 3 2 ( p p 是驻点，而在该点 4 27 1 f (x, y) = p 而区域 D 的边界为 x = p, y = p, x + y = p ，在边界上函数 f (x, y) 均为 0。 所以 f (x) 在区域 D 上在点 ) 3 2 , 3 2 ( p p 取得最大值，最大值为 4 27 1 p 。 由于 z = 2p − r − y ，此时 z = 2p / 3 ，故在周长为 2p 的一切三角形中面积最大的为 等边三角形，面积为 2 9 3 p 。 三、函数的条件极值 1．条件极值是 指对自变 量有附加条 件的极值， 如求函数 u = f (x, y,z) 在条件
o(x,y,=)=0下的极值就为条件极值 2.原则上说,从条件o(x,y,z)=0中解出z=x(x,y),代入函数u=f(x,y,z)中,即化 成u=f(x,y,x(x,y)的普通极值问题,但是这种方法有时行不通,即使能从(x,y,z)=0中 解出〓,也往往比较繁,我们常用拉格朗日乘子法。 3.拉格朗日乘子法 ①如求函数u=f(x,y,)在条件q(x,y,=)=0下的极值: 构造拉格朗函数 (x, y,=)=f(x,,=+Ao(x,y,=) aL 则条件极值即化为求L(x,y,2)的普通极值问题,由{a qp(x,y,=)=0 解出x,y,x,λ,其中(x,y,z)就是可能的极值点的坐标。 ②对可能的极值点M(x,y,2)进一步判断其是否为极值 (i)可以通过讨论二阶全微分d2L的符号来进行判断,若d2L>0则该点为极小值点, 若d2L<0则该点为极大值点。在讨论d2L的符号时要注意,dx如d满足条件 dx+-d AB C (ⅱi)可以通过矩阵BDE的正、负定来进行判断,其中A= a2 B ax 若该矩阵正定,则该点为极小值点 若该矩阵负定,则该点为极大值点,但该矩阵不定时,不能说明该点不是极值点,需进一步 判断,这是因为此时没有利用条件o(x,y,)=0 4.典型例题 例:求函数∫=x-2y+2在条件x2+y2+z2=1下的极值 解:构造函数L(x,y,z)=x-2y+2z+1(x2+y2+二2-1) 则Lx=1+2x,L,=-2+2y,L=2=2+2 x -2+24y=0 解得 或 2+2=0 即函数可能在点( )和 )取得极值 (i)通过d2L的符号判断上面的点是否为极值点
(x, y,z) = 0 下的极值就为条件极值． 2．原则上说，从条件 (x, y,z) = 0 中解出 z = z(x, y) ，代入函数 u = f (x, y,z) 中，即化 成 u = f (x, y,z(x, y)) 的普通极值问题，但是这种方法有时行不通，即使能从 (x, y,z) = 0 中 解出 z，也往往比较繁，我们常用拉格朗日乘子法。 3．拉格朗日乘子法： ① 如求函数 u = f (x, y,z) 在条件 (x, y,z) = 0 下的极值： 构造拉格朗函数 L(x, y, z) = f (x, y, z) + (x, y, z) 则条件极值即化为求 L(x, y, z) 的普通极值问题，由 = = = = ( , , ) 0 0 0 0 x y z z L y L x L 解出 x, y, z, ，其中 (x, y, z) 就是可能的极值点的坐标。 ② 对可能的极值点 M(x, y, z) 进一步判断其是否为极值。 （i）可以通过讨论二阶全微分 d L 2 的符号来进行判断，若 0 2 d L 则该点为极小值点， 若 0 2 d L 则该 点为极 大值 点。在 讨论 d L 2 的符号 时要 注意， dx, dy, dz 满足 条件 = 0 + + dz z dy y dx x 。 （ii）可以通过矩阵 C E F B D E A B C 的正、负定来进行判断，其中 M x L A 2 2 = ， M x y L B = 2 ， M x z L C = 2 ， M y L D 2 2 = ， M y z L E = 2 ， M z L F 2 2 = 。若该矩阵正定，则该点为极小值点； 若该矩阵负定，则该点为极大值点，但该矩阵不定时，不能说明该点不是极值点，需进一步 判断，这是因为此时没有利用条件 (x, y, z) = 0 。 4．典型例题 例：求函数 f = x − 2y + 2z 在条件 1 2 2 2 x + y + z = 下的极值。 解：构造函数 ( , , ) 2 2 ( 1) 2 2 2 L x y z = x − y + z + x + y + z − 则 L x L y L z x =1+ 2 , y = −2 + 2 , z = 2 + 2 由 + + = + = − + = + = 1 2 2 0 2 2 0 1 2 0 2 2 2 x y z z y x 解得 = = − = = − 2 3 3 2 3 2 3 1 z y x 或 = − = = − = 2 3 3 2 3 2 3 1 z y x 即函数可能在点（ 3 2 , 3 2 , 3 1 − − ）和（ 3 2 , 3 2 , 3 1 − ）取得极值。 （i）通过 d L 2 的符号判断上面的点是否为极值点
dL=dx-2dy+2d=+ 2/xdx+ 2nydy+2/d d2L=2a(dx2+ dy2+d=2) 对于点(-12-2),=3 d2L=3(x2+d2+2)>0故在点(-1,2,-2)有极小值,极小值为-3 对于占(122)2=3 d2L=-3d2+db2+d2)<0故f在点(1-2.2 333)有极大值,极大值为3。 (i)通过矩阵BDE的正、负定来判断上面的点是否为极值点。 Lx=2,Lx=0,L=0Lm=2,L=0,L==2A 对于点(-122 33·3,2=3 ABC||200 ∴4=(24)=3>0, 9>0,BDE|=020=27>0 B D03 E FI0 022 故矩阵BDE正定,点( 22 为函数的极小值点,极小值为-3。 CE F 对于点( 4=(2)=-3<0 BDE|=0-30=-27<0 CE FIO 0-3 故矩阵|BDE负定,∴点(3,-21,23)为函数的极大值点,极大值为3 例:求函数∫=x在条件x+y=1下的极值 解:构造函数L(x,y)=xy+(x+y-1) 则Lx=y+,L,=x+2 +A=0 由{x+=0 解得 2 即函数可能在点(,)取得极值 (i)通过d2L的符号判断点(,)是否为极值点
dL = dx − 2dy + 2dz + 2xdx + 2ydy + 2zdz 2 ( ) 2 2 2 2 d L = dx + dy + dz 对于点（ 3 2 , 3 2 , 3 1 − − ）， 2 3 = ∴ 3( ) 0 2 2 2 2 d L = dx + dy + dz 故 f 在点（ 3 2 , 3 2 , 3 1 − − ）有极小值，极小值为–3。 对于点（ 3 2 , 3 2 , 3 1 − ） 2 3 = − ∴ 3( ) 0 2 2 2 2 d L = − dx + dy + dz 故 f 在点（ 3 2 , 3 2 , 3 1 − ）有极大值，极大值为 3。 （ii）通过矩阵 C E F B D E A B C 的正、负定来判断上面的点是否为极值点。 Lxx = 2 ， Lxy = 0， Lyz = 0 Lyy = 2 ， Lyz = 0 ， Lzz = 2 对于点（ 3 2 , 3 2 , 3 1 − − ）， 2 3 = ∴ A = (2) = 3 0， 9 0 0 3 3 0 = = B D A B ， 27 0 0 0 2 0 2 0 2 0 0 = = C E F B D E A B C ， 故矩阵 C E F B D E A B C 正定，∴点（ 3 2 , 3 2 , 3 1 − − ）为函数的极小值点，极小值为–3。 对于点（ 3 2 , 3 2 , 3 1 − ）， 2 3 = − ∴ A = (2) = −3 0 ， 9 0 0 3 3 0 = − − = B D A B ， 27 0 0 0 3 0 3 0 3 0 0 = − − − − = C E F B D E A B C ， 故矩阵 C E F B D E A B C 负定，∴点（ 1 3, − 2 3, 2 3 ）为函数的极大值点，极大值为 3。 例：求函数 f = xy 在条件 x + y =1 下的极值 解：构造函数 L(x, y) = xy + (x + y −1) 则 Lx = y + ， Ly = x + 由 + = + = + = 1 0 0 x y x y 解得 = − = = 2 1 2 1 2 1 y x 即函数可能在点 ) 2 1 , 2 1 ( 取得极值。 （i）通过 d L 2 的符号判断点 ) 2 1 , 2 1 ( 是否为极值点
dL= yox+ xd y+ 1dx+ 1dy d-L=2dxdy =x在点(1,)处有极大值 (ⅱi)通过 正、负定来判断 ∴AC-B2=-1<0不能判定(,-)点是否为极值点
dL = ydx + xdy + dx + dy d L 2dxdy 2 = 由 x + y =1 知 dx + dy = 0 故 2 0 2 2 d L = − dx ∴ f = xy 在点 ) 2 1 , 2 1 ( 处有极大值 4 1 。 （ii）通过 B C A B 正、负定来判断 Lxx = 0, Lxy =1, Lyy = 0 ，即 A = 0, B =1, C = 0 ∴ 1 0 2 AC − B = − 不能判定 ) 2 1 , 2 1 ( 点是否为极值点