1p1p2=2p1p23 (21-2)p1p2=0 但≠，故pp2=0,即p,与p,正交 定理7设A为阶对称测必有胶 阵P,使PAP-PTAP=A,其中A 是以A的n个特征对角元的对角阵 堆腌接端称裤是A的特红 方程的重根则矩阵A一E的秩 R(A-E)=n-k,从而对应特征值
, 2 p1 p2 T 1 p1 p2 = T 1 2 1 2 ( )p p T − = 0 但1 2 ，故 0, p1 p2 = T . 即p1与p2正交 定理7 设A为n阶对称阵，则必有正交 阵P, = − P AP 使 1 P AP T = ，其中 是 以A的n个特征值为对角元的对角阵。 此定理不予证明。 推论由此定理 设A 得下面 为n阶对称阵， 的推论。是A的特征 方程的k重根，则矩阵A− E的秩 R(A− E) =n − k, 从而对应特征值
恰有k个线性无关的特征向星 证明 按定理7知对称阵A与对角阵 A=dig(1,.,m)相似，从而A-2E 与Λ-E=diag(21-九，.，2n-2)相 岁是的k重特征根时九1，.几，这n个 特征值中有个等孔，有n-k个不等， 从而对角阵一2E的对角元恰衸等： 于是R(A-元E)=n-k.而R(A-2E) = R(A-2E),所以R(A-2E)=n-k
恰有k个线性无关的特征向量。 证明 按定理7知对称阵 A 与对角阵 ( , , ) = diag 1 n 相似，从而A− E 与 − E = diag(1 − , , n − )相似。 （为什么？） 当 是 的 重特征根时，1 ， n A k 这n个 特征值中有k个等于，有n − k个不等于， 从而对角阵 − E 的对角元恰有k个等于0， 于是 R(−E) = n− k.而R(A− E) = R(− E), 所 以R(A− E) = n− k
二、利用正交矩阵将对称矩阵对 角化的方法 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 1.求A的特征值； 2.由(A-,E)x=0,求出A的特征向量； 3.) 将特征向量正交化； 4.将特征向量单位化. (p125步骤)
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 二、利用正交矩阵将对称矩阵对 角化的方法 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化. 2. 由(A E)x 0,求出A的特征向量; − i = 1. 求A的特征值; （p125步骤）