高等数学教案 第四章不定积分 第二节换元积分法 教学内容：第一类换元法，第二类换元法 教学目标：使学生熟练掌握第一类换元法，掌握第二类换元法.会用线性函数和三角函数等 一些简单的初等函数作为换元函数来计算某些不定积分， 教学重点：熟练使用第一类换元法和变量代换法求不定积分 教学难点：如何根据具体的积分式子选择适当的第一类换元法和变量代换法， 教学方法：讲授 作 业：P2072(1)-(33) 教学过程： 把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的 积分法，称为换元积分法，简称换元法通常分成两类 一、第一类换元法（凑微分法） 设f(u)有原函数F(u),即 F(u)=f(u).f(u)du=F(u)+C 如果u=p(x)且设p(x)可微，那么，根据复合函数微分法，有 dFlo(x)]=fo(x)lo'(x)dx, 从而根据不定积分的定义就得 ((d=FT(+C=[Jf(du 于是有下述定理： 定理1设)具有原函数，=x)可导，则有换元公式 (xp(x)dx=[f(u)dul 被积表达式中的k可当作变量x的微分来对待，从而微分等式o(x)k=d:可以应用到被 积表达式中 在求积分「g(x)d时，如果函数g(x)可以化为gx)=几x)]@(x)的形式，那么 ig(dx=(x)(x)dxf(u)du
高等数学教案 第四章不定积分 例1∫2cos2xdc=Jcos2x(2x)ydk=cos2xd(2x) =cos udu =sin u+C=sin 2x+C. 例2j3+2=号3+2x6+2w=号3+26+2 =k=la+c-3+2+c 4 2xes'dx=Jer'(x2Y'dx=Jerd(x2)=fe"du =e"+C=er+C. 例5j-x=2i-(x2ys=-r2 =rd0-=22d加=+c =3-2+c. 例6求jn十字血 =f1dE=Larctan+c al+(aa (0). dx=arcsin x+C 例8求ea 解a。aha-4a -2alJx-ad(x-a)-fsiad(x+a -al-Inlx+all+CC. x+a 2
高等数学教案 第四章不定积分 例9x0+2n9 dx 益 2J 1+2Inx +2nx+C. 例10定=2ecaG=号e -2e+C. 3 含三角函数的积分： 11 [sin3 xdx=[sin2x-sinxdx=-[(1-cos2x)dcosx =-fdcosx+fcos2xdcosx =-cosx+cosx+C. 3 12 [sin2xcos5 xdx=[sin2xcos4xdsinx =sin2x(1-sin2x)2dsinx =[(sin2x-2sin4x+sin x)dsinx =sinx-sinx+mx+c. 例13求tan xdx 解 j小an xdx=jdk=-∫.dcosx cosx =-fdu=-Inlul+C =-In cos x+C 类似地可得∫cotxdx=In sinxl+C. 例14as-e25kk+小os2d -f+fcos2xd2x-x+isin2x+C. 例18求∫cscxdx 1 sinx 2sin5cos号 2 tancos2 de吃-nlan}+C 2 tan 2 3
高等数学教案 第四章不定积分 =In csc x-cotx |+C. 例19求[secxd=In secx+tanx|+C 解js小cxd=小esc6x+k=-injesc6r+-coi(r++c =In |secx tanx+C. 20 [cos3xcos2xdx=[(cosx+cos5x)dx sinx++C. 10 二、第二类换元法 定理2设x=y(t)是单调的、可导的函数，并且w'(t)≠0.又设f[y(t)]w'(t)具有原 函数，则有换元公式 Srods-d 其中w(x)为x=y(t)的反函数. 证设f[w(t)]w'(t)的原函数为①(t),记 D(t)=D[w-(x】=F(x) 利用复合函数及反函数的求导法则，得到 F')=地立=fw0w'o=fwe1=f) dt dx w'() 即Fx)是f(x)的原函数.所以有 Sf()d=F)+Cc- 例21求W2-xdk(a>0. 解设asi血t,受<1<受，那么 √a-r2=√a2-a2sin2i=acost,dk-acostd1,于是 adx=facost-acostdt -acod(+sin2)+C. 因为1=arcsin兰，5in21=2sin1cos1=2匠=卫，所t以 aa 小匠-rk=a+sin20+C=号aresin+2后-+c. 2 a 2
高等数学教案 第四章不定积分 例2求产 解设=aank-受<1<受，那么 √x2+a2=√a2+a2tan2i=aW1+tan2t-a sec t,d=asec2fdt,于是 5车72=ce=h+a小c asect 因为sc1=2+正，an1=兰，所以 a 产。he1anC=h+-C-s原+G 其中C=C-lna. 例23求产0， 解当>a时，设x=asec1(0<1<),那么 √x2-a2=√a2sec2t-a2=asec21-l=a tan t, 于是 产-e巴h-5e=nac1+mc 因为ant=R-a ,sect=x，所以 a =In sec t+antHC C =(x+)+C. a 其中C=C-lna, 当x<a时，令=-u,则>a,于是 =-之。=c =-ln(-x+/x2-a2)+C =I-g+C-Im(-x--d)+G. a2 其中C1=C-2na. 综合起米有 5