性质3)行列式的某行或某列中所有元素同乘一个常 数c后的行列式的值等于原行列式的值乘c 证明:对阶数归纳
53¤1ª,1½,¥¤kÓ¦~ ê c 1ª u1ª¦ c. y²µé ê8B"
性质4)对换行列式的两行后的行列式的值等于原行列 式的值乘 证明:当n=2通过直接计算得知结论成立。 设n>2.先假定互相对换的两行相邻,不妨设第r行 和第r+1行对换后的行列式是 b1 b1 b1 bn1 b 于是 ≠r,1≠r+1 =r+1 记N为B中b的余子式的值。则B的值等于 ∑(-1) 当i≠r,≠r+1时由归纳假设得N1=-Mn.而Nn 故 )r+bn1N1+(-1)b 1,1 +1,14r+1,1 即得所需结果
54¤é1ªü11ª u1 ª¦ −1. y²µ n = 2 ÏLO(ؤá" n > 2. kb½péü1§Ø1 r 1 Ú1 r + 1 1é1ª´ B = b11 b12 · · · b1n b21 b22 · · · b2n · · · bn1 bn2 · · · bnn . u´ bij = aij : i 6= r, i 6= r + 1 ar+1,j : i = r arj : i = r + 1 . P Nij B ¥ bij {fª"K B u X n i=1 (−1)i+1bi1Ni1. i 6= r, i 6= r + 1 d8Bb Ni1 = −Mi1. Nr1 = Mr+1,1, Nr+1,1 = Mr,1. (−1)r+1br1Nr1 + (−1)r br+1,1Nr+1,1 = (−1)r+1ar+1,1Mr+1,1 + (−1)r ar1Mr1 = −[(−1)r+1ar1Mr1 + (−1)r+2ar+1,1Mr+1,1]. =¤I(J"
般地,设B是由原行列式A的第r行和第s行互换 而得的行列式,其中r<s 通过s-r-1次相邻行的互换可以分别将A,B的第s 行换至第r+1行,所得的行列式分别记作A1,B1.则 B A1 另一方面, B=(-1)--B1 A=(-1)--A1 因此B=-A.口 例01. 325 200 200 200=-325 180=80 180 180 325
/§ B ´d1ª A 1 r 1Ú1 s 1p 1ª§Ù¥ r < s. ÏL s − r − 1 g1p±©Oò A, B 1 s 11 r + 1 1§¤1ª©OP A1, B1. K B1 = −A1. ,¡§ B = (−1)s−r−1B1, A = (−1)s−r−1A1. Ïd B = −A. ✷ ~0.1. 3 2 5 2 0 0 −1 8 0 = − 2 0 0 3 2 5 −1 8 0 = 2 0 0 −1 8 0 3 2 5 = 80.
性质5)若行列式的某两行相同,则行列式的值等于 证明:根据性质4),A=-A,故A=0.口 推论:若行列式的某两行成比例,则行列式的值等于 零
55¤e1ª,ü1Ó§K1ª u "" y²µâ54¤§A = −A, A = 0. ✷ íصe1ª,ü1¤'~§K1ª u
性质6)设A=|a,B=|b,C=|c是三个n阶行 列式,1≤r≤n.假定a=b 对所有i≠r和所 有j成立,an=bn+c对所有j成立。则A=B+C 证明:对n进行归纳。当n=1时结论成立。假设结 论对n-1阶行列式成立。 将A,B,C的代数余子式分别记作A1,B31,C1则 4 ail Ail= arial (br1+C1)An+>ail(Ba+Cu) br1Br1+Cr1Cr1+>bilBil+ ∑ ∑ 1C1=B+C.口
56¤ A = |aij |, B = |bij |, C = |cij | ´n n 1 ª§ 1 ≤ r ≤ n. b½ aij = bij = cij é¤k i 6= r Ú¤ k j ¤á§ arj = brj + crj é¤k j ¤á"KA = B + C. y²µé n ?18B" n = 1 (ؤá"b( Øé n − 1 1ª¤á" ò A, B, C ê{fª©OP Aij , Bij , Cij . K A = X n i=1 ai1Ai1 = ar1Ar1 + X i6=r ai1Ai1 = (br1 + cr1)Ar1 + X i6=r ai1(Bi1 + Ci1) = br1Br1 + cr1Cr1 + X i6=r bi1Bi1 + X i6=r ci1Ci1 = X n i=1 bi1Bi1 + X n i=1 ci1Ci1 = B + C.✷