行列式的定义 12 a21a22 2n anl an2 称为一个n阶行列式( determinant 用递归的方式来定义行列式的值 当n=1时定义行列式的值为a1 设n>1.设1≤i≤m,1≤j≤n.在行列式中划去第i 行第j列后剩下的元素按原来的顺序构成的(m-1)阶行 列式称为a;的余子式,将它的值记作M1将n阶行列式 的值定义为 a11M1-a21M21+…+(-1)2+an1M 记A1=(-1)+M1,称为a;的代数余子式。则上面 式子可以写成 a14 i=1 a1141+a21A21+……+anAn1 行列式通常用一个大写字母表示,一般情况下该字 母也代表行列式的值。有时也采用A=|an或A 1≤i、j≤n 这样简单的记号
1ª½Â a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · an1 an2 · · · ann ¡ n 1ª (determinant)" ^48ª5½Â1ªµ n = 1 ½Â1ª a11. n > 1. 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n. 31ª¥y1i 11 j eU5^S¤ (n − 1) 1 ª¡aij {fª§ò§P Mij . ò n 1ª ½Â X n i=1 (−1)i+1ai1Mi1 = a11M11 − a21M21 + · · · + (−1)n+1an1Mn1. P Aij = (−1)i+jMij , ¡ aij ê{fª"Kþ¡ ªf±¤ X n i=1 ai1Ai1 = a11A11 + a21A21 + · · · + an1An1. 1ªÏ~^i1L«§¹eTi 1L1ª"kæ^ A = |aij | ½ A = |aij |1≤i,j≤n ù{üPÒ"
当n=2时行列式的值是a122-a21a12 当n=3时行列式的值是 a1a32a33 a21 a12a13+a31a22a23 a11(a2203-a232)-a21(a1233-a13a32)+a1(a12023-a13a2) =a11022033+a120231+a2132013-01102303-012021033-a1322a31
• n = 2 1ª´ a11a22 − a21a12. • n = 3 1ª´ a11 a22 a23 a32 a33 − a21 a12 a13 a32 a33 + a31 a12 a13 a22 a23 = a11(a22a33−a23a32)−a21(a12a33−a13a32)+a31(a12a23−a13a22) = a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31
行列式的性质 形为 l112 0 的行列式叫做上三角行列式。也就是说a;=0对所有i j成立。下三角行列式也可类似定义。元素a1,a22,am 构成行列式的主对角线
1ª5 / a11 a12 · · · a1n 0 a22 · · · a2n · · · 0 0 · · · ann 1ªþn1ª"Ò´`aij = 0 é¤k i > j ¤á"en1ªaq½Â" a11, a22, · · · , ann ¤1ªÌé"
引理0.1.设1<k<n.则下三角行列式中ak1的余子式 仍是下三角行列式。如果k>1则ak1的余子式的左上角 元素为零。 证明:将ak1的余子式记作 h1b12 b2 bn_l1 bn-1 则 i< k ai+1+1 由于当i<j时a+1和a+1+1都等于零,因此只要讠< j,不管讠<k还是讠≥k,b总是等于零。这说明所讨论 的余子式是下三角的。 当k>1时,b11=a12=0.口
Ún0.1. 1 ≤ k ≤ n. Ken1ª¥ ak1 {fª E´en1ª"XJ k > 1 K ak1 {fªþ "" y²µòak1 {fªP b11 b12 · · · b1,n−1 b21 b22 · · · b2,n−1 · · · bn−1,1 bn−1,2 · · · bn−1,n−1 . K bij = ai,j+1 : i < k ai+1,j+1 : i ≥ k du i < j ai,j+1 Ú ai+1,j+1 Ñ u"§Ïd i < j, Ø+ i < k ´ i ≥ k, bij o´ u""ù`²¤?Ø {fª´en" k > 1 § b11 = a12 = 0. ✷
性质1)上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素 的乘积。 证明:用数学归纳法 性质2)若行列式的某行或某列中的元素全是零,则行 列式的值等于零。 证明:对行列式的阶数n进行归纳。当n=1时a1 0.结论成立。假定性质对n-1阶行列式成立 设n阶行列式的第k列中元素全是零。若k=1.则行 列式的值等于 0A11+0A21+…+0An1=0 若k>1.则根据归纳假设 An1=0. 因此行列式的值等于零。 再设n阶行列式的第k行中元素全是零。则ak1=0而 根据归纳假设An1=0对所有i≠k成立。因此anAn=0 对1<i<n成立。所以行列式的值等于零。口
51¤þ£e¤n1ª uÌéþ ¦È" y²µ^êÆ8B{" 52¤e1ª,1½,¥ ´"§K1 ª u"" y²µé1ª ê n ?18B" n = 1 a11 = 0. (ؤá"b½5é n − 1 1ª¤á" n 1ª1 k ¥ ´""e k = 1. K1 ª u 0A11 + 0A21 + · · · + 0An1 = 0. e k > 1. Kâ8Bb A11 = A21 = · · · = An1 = 0. Ïd1ª u"" 2 n 1ª1 k 1¥ ´""K ak1 = 0 â8Bb Ai1 = 0 é¤k i 6= k ¤á"Ïd ai1Ai1 = 0 é 1 ≤ i ≤ n ¤á"¤±1ª u""✷