结论: 因为N为奇数,r时整数,所以,当O=0,丌,2π时正弦项为零,且关于过零 点奇对称。因此,H2()关于o=0,x,2z三点奇对称。只适合实现带通滤波器 CASE4:h(n)=-h(N-n-1),N=偶数 与CASE3类似 HR(o)=22h(n)sin[o(n-r) (1.13) 结论: N是偶数,r= N-1 N 。所以,当O=0.,2z时正弦项为零,当=时 sn[o(n-)]=(-),为峰点。因此H()关于O=0.2奇对称,关于O=x 偶对称 CASE4不能实现低通和带阻滤波器。 表7.1.1线性相位FIR滤波器的幅度特性与相位特性一览表 相位响应 N为奇数 H2(0)=∑c(n)sin(no) c(n) N为偶数 0 H(0)
结论： 因为 N 为奇数， 时整数，所以，当 = 0, ,2 时正弦项为零，且关于过零 点奇对称。因此， H g () 关于 = 0, ,2 三点奇对称。只适合实现带通滤波器。 CASE 4：h n h N n ( ) = − − − ( 1)，N=偶数 与 CASE 3 类似 ( ) ( ) ( ) 0 2 sin M g n H h n n = = − (1.13) 结论： N 是偶数， 1 1 2 2 2 N N − = = − 。所以，当 = 0,2 时正弦项为零，当 = 时， ( ) ( ) 2 sin 1 n N n − − = − ，为峰点。因此 H g () 关于 = 0,2 奇对称，关于 = 偶对称。 CASE 4 不能实现低通和带阻滤波器。 表 7.1.1 线性相位 FIR 滤波器的幅度特性与相位特性一览表
偶对称单位脉冲响应 h(n)=h(N-1-n) 相位响应 N为奇数 m)1 (n)cosn@ 况 a(n) 0N-1 N为偶数 H,(0)=∑bno- AAA 4、线性相位FIR滤波器零点分布特点 因为对于FIR数字滤波器,有 H(-)=∑h(n) 要保持线性相位,必有h(m)=±h(N-n-1),所以有 由(1.14)可见 如二=1是H(二)的零点,其倒数z1也必然是其零点。 又因为h(n)是实序列,H(=)的零点必是共轭成对,因此三和(=)也 是其零点。 因此,线性相位FR滤波器零点分市特点是零点必须是互为倒数的共轭对 磅定其中一个,另外三个零点也就磅定。但在以下三种情况例外: 零点是实数; ●零点是纯虚数且在单位圆上 零点在单位圆上且是实数
4、线性相位 FIR 滤波器零点分布特点 因为对于 FIR 数字滤波器，有 ( ) ( ) 1 0 N n n H z h n z − − = = 要保持线性相位，必有 h n h N n ( ) = − − ( 1) ，所以有 ( ) ( ) ( ) N 1 1 H z z H z − − − = (1.14) 由(1.14)可见： ⚫ 如 i z z = 是 H z( ) 的零点，其倒数 1 i z − 也必然是其零点。 ⚫ 又因为 h n( ) 是实序列， H z( ) 的零点必是共轭成对，因此 * i z 和 ( ) * 1 i z − 也 是其零点。 因此，线性相位 FIR 滤波器零点分布特点是零点必须是互为倒数的共轭对， 确定其中一个，另外三个零点也就确定。但在以下三种情况例外： ⚫ 零点是实数； ⚫ 零点是纯虚数且在单位圆上； ⚫ 零点在单位圆上且是实数
jIm(e) Re(:) 图7.1.1线性相位FIR滤波器零点分布
图 7.1.1 线性相位 FIR 滤波器零点分布
72利用窗函数法设计FIR滤波器 1、窗函数法设计原理 设希望设计的滤波器传输函数为H(e"),h(m)是与其对应的单位脉冲响 应,因此 H(e-)=∑b(m)e ()=\H(e)2da h 如果能够由已知的H(e)求出h(n),经过Z变换可得到滤波器的系统函数 但一般情况下,通常以理想滤波器作为H(e),其幅度特性逐段恒定,在 边界频率处有不连续点,因而h(m)是无限时宽的,且是非因果序列。 例如:理想低通滤波器的传输函数H(e")为 H e-e, oso (2.1) 10.a<o≤z 相应的单位取样响应h(n)为 九()=cmm sin(on-a ) (2.2) 丌(n-a) 可以看出,理想低通滤波器的单位取样响应h(m)是无限长,且是非因果序列
7.2 利用窗函数法设计 FIR 滤波器 1、 窗函数法设计原理 设希望设计的滤波器传输函数为 ( ) j H e d ，h n d ( ) 是与其对应的单位脉冲响 应，因此 ( ) ( ) j j n d d n H e h n e − =− = ( ) ( ) 1 2 j j d d h n H e e d − = 如果能够由已知的 ( ) j H e d 求出 h n d ( ) ，经过 Z 变换可得到滤波器的系统函数。 但一般情况下，通常以理想滤波器作为 ( ) j H e d ，其幅度特性逐段恒定，在 边界频率处有不连续点，因而 h n d ( ) 是无限时宽的，且是非因果序列。 例如：理想低通滤波器的传输函数 ( ) j H e d 为 ( ) , 0, j j c d c e H e − = (2.1) 相应的单位取样响应 h n d ( ) 为 ( ) ( ( )) ( ) 1 sin 2 c c j j n c d n h n e e d n − − − = = − (2.2) 可以看出，理想低通滤波器的单位取样响应 h n d ( ) 是无限长，且是非因果序列
h (n) (N-1 AR( n) (b) 0 N-1 k(n)=h(n)R,(n) 图7.2.1理想低通滤波器的单位脉冲响应及矩形窗 为了构造一个长度为N的线性相位滤波器,只有将h(m)截取一段,并保证截取 的一段对N对称。设截取的一段用h(m)表示,即 h(n)=h(nR(n) (2.3) 当a 2 时,h(m)对一,对称,保证所设计的滤波器具有线性相位 一一这就是窗函数设计FIR数字滤波器的基本思想。 存在的问题 用一个有限长的序列h(n)去代替h(m),肯定会产生误差,表现在频域上就 是通常所说的吉布斯效应。该效应会引起通带内和阻带内的波动性,尤其使阻带 衰减减小,从而满足不了技术上的要求。这种吉布斯效应是由于将h(n)直接截 断引起的,因此,也称为截断效应
图 7.2.1 理想低通滤波器的单位脉冲响应及矩形窗 为了构造一个长度为 N 的线性相位滤波器，只有将 h n d ( ) 截取一段，并保证截取 的一段对 1 2 N − 对称。设截取的一段用 h n( ) 表示，即 h n h n R n ( ) = d N ( ) ( ) (2.3) 当 1 2 N − = 时， h n( ) 对 1 2 N − 对称，保证所设计的滤波器具有线性相位。 ——这就是窗函数设计 FIR 数字滤波器的基本思想。 存在的问题： 用一个有限长的序列 h n( ) 去代替 h n d ( ) ，肯定会产生误差，表现在频域上就 是通常所说的吉布斯效应。该效应会引起通带内和阻带内的波动性，尤其使阻带 衰减减小，从而满足不了技术上的要求。这种吉布斯效应是由于将 h n d ( ) 直接截 断引起的，因此，也称为截断效应